1、第十八章 平行四边形,18.2.2 菱 形,第2课时 菱形的判定,一组邻边相等,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,菱形的性质,菱形,两组对边平行,四条边相等,两组对角分别相等,邻角互补,两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角,边,角,对角线,复习引入,导入新课,问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？,根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：,AB=AD，,四边形ABCD是平行四边形，,四边形ABCD是菱形.,数学语言,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,思考 还有其他的判定方法吗？,讲授新课,前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周
2、围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？,猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,你能证明这一猜想吗？,已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，ACBD. 求证：ABCD是菱形.,证明： 四边形ABCD是平行四边形. OA=OC. 又ACBD, BD是线段AC的垂直平分线. BA=BC. 四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.,证一证,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,几何语言描述： 在ABCD中，ACBD, ABCD是菱形.,菱形的判定定理：,归纳总结,又四边形ABCD是平行四边形，, OA=4,OB=
3、3,AB=5，,证明：,即ACBD，, AB2=OA2+OB2，,AOB是直角三角形，,典例精析,四边形ABCD是菱形.,例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形,A,B,C,D,E,F,O,1,2,证明: 四边形ABCD是矩形, AEFC，1=2. EF垂直平分AC， AO = OC . 又AOE =COF， AOECOF，EO =FO. 四边形AFCE是平行四边形. 又EFAC 四边形AFCE是菱形.,练一练,在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ） AA
4、BC=90 BACBD CAB=CD DABCD,B,小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.,已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？,C,A,B,D,想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？,猜想：四条边相等的四边形是菱形.,证明：AB=BC=CD=AD; AB=CD , BC=AD. 四边形ABCD是平行四边形. 又AB=BC, 四边形ABCD是菱形.,已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形.,证一证,四条边都
5、相等的四边形是菱形,AB=BC=CD=AD,几何语言描述： 在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，,四边形 ABCD是菱形.,菱形的判定定理：,归纳总结,下列命题中正确的是 （ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形,C,练一练,证明： 1= 2, 又AE=AC,AD=AD, ACD AED (SAS). 同理ACFAEF(SAS) . CD=ED, CF=EF. 又EF=ED,CD=ED=CF=EF, 四边形ABCD是菱形.,2,例3 如图,在ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上
6、,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形.,A,C,B,E,D,F,1,典例精析,例4 如图，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm.将ABC沿射线BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形,证明：由平移变换的性质得CFAD10cm，DFAC. B90，AB6cm，BC8cm， ACDFADCF10cm， 四边形ACFD是菱形,四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便,证明：连接AC、BD.,四边形ABCD是矩形，,AC=BD.,点E、F、G、H为各边中点，,
7、EF=FG=GH=HE，,四边形EFGH是菱形.,例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.,【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？,解：四边形EFGH是菱形.,又AC=BD,点E、F、G、H为各边中点，,EF=FG=GH=HE，,四边形EFGH是菱形.,顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.,理由如下：连接AC、BD,拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？,解：连接AC、BD.,点E、F、G、H为各边中点，,四边形EFGH是平行
8、四边形.,拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？,四边形EFGH是矩形.,同学们自己去解答吧,思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？,A,C,D,B,分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.,由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，,然后通过证ABEADF，即得AB=AD.,请补充完整的证明过程,E,F,例3 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接
9、CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形；,(1)证明：D、E分别是AB、AC的中点， DEBC且2DEBC. 又BE2DE，EFBE， EFBC，EFBC， 四边形BCFE是平行四边形 又EFBE， 四边形BCFE是菱形；,(2)解：BCF120， EBC60， EBC是等边三角形， 菱形的边长为4，高为 ， 菱形的面积为 .,(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面积,判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形,练一练,如图，在平行四边形ABCD中，AC平分DA
10、B，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.,解：四边形ABCD为平行四边形， ADBC，ABCD， DAC=ACB，BAC=ACD， AC平分DAB， DAC=BAC， DAC=ACD， AD=DC， 四边形ABCD为菱形， 四边形ABCD的周长=42=8,当堂练习,1.判断下列说法是否正确 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形,2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为 24cm和26cm，那么平行四边形的面积是 .,31
11、2cm2,3.如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ） AAB=BC BAC=BC CB=60 DACB=60,B,解析：将ABC沿BC方向平移得到DCE， ACDE，AC=DE， 四边形ABED为平行四边形. 当AC=BC时， 平行四边形ACED是菱形 故选B,4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC, CE BD.求证：四边形OCED是菱形.,证明：DEAC，CEBD， 四边形OCED是平行四边形. 四边形ABCD是矩形， OC=OD， 四边形OCED是菱形,证明：MN是AC的垂直平分线， AE=CE，AD=CD，OA=OC
12、， AOD=EOC=90. CEAB， DAO=ECO， ADOCEO（ASA） AD=CE，OD=OE， OD=OE，OA=OC， 四边形ADCE是平行四边形 又AOD=90，四边形ADCE是菱形,5.如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.,B,C,（1）证明：由尺规作BAF的平分线的过程可得AB=AF，BAE=FAE， 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，FAE=AEB， BAE=AEB，AB=BE， BE=FA，四边形ABEF为平行四边形， AB=AF， 四边形ABEF为菱形；,6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作BAD的 平分线交BC于点E，连接EF （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长,（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长,解：四边形ABEF为菱形， AEBF，BO= FB=3，AE=2AO， 在RtAOB中，由勾股定理得AO =4， AE=2AO=8,课堂小结,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,四边相等的四边形是菱形.,运用定理进行计算和证明,菱形的判定,定义法,判定定理,
