1、n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂问题1请同学们阅读教材第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：整体感知整体感知（1）本章要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？（2）如何研究这些函数？研究这些函数的哪些方面？（3）这些函数可以解决哪些实际问题？问题1请同学们阅读教材第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：整体感知整体感知（1）本章要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？指数函数与对数函数，并学会利用它们解决实际问题问题1请同学们阅读教材第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：整体感知整体感知（2）如何研究这些函数？研究这些函数的哪些方面？类比幂函数的学习，根据研究一类函数的过程和方法，对指数函数
2、和对数函数按照“背景概念图象和性质应用”的路径进行研究需要研究它们的概念、图象、性质问题1请同学们阅读教材第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：整体感知整体感知（3）这些函数可以解决哪些实际问题？比如细胞分裂的数量随时间的变化的规律是成指数增长的；未受控制的传染病在大量人群中传播的初期都是成指数增长的；利用放射性物质的衰减测定遗址及文物的年代；地震的强度单位震级是用对数进行运算的创设情境创设情境问题2为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义及其运算性质根据整数指数幂的意义和运算性质，你觉得指数的范围还能进一步拓展吗？正
3、整数指数幂来源于数的自乘运算，负整数指数幂来源于数的自乘运算的倒数，这种指数运算在表示方式上更加简洁在幂函数的学习时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数 记作 ，因此猜测，指数的范围还能进一步拓展cS12cS新知探究新知探究问题3初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，试着说说4次方根、5次方根由此可以得出n次方根的概念吗？解：(2)416，我们把2叫做16的4次方根；2532，我们把2叫做32的5次方根；(2)532，我们把2叫做32的5次方根；n次方根：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*追问1在实数范
4、围内，负数有没有偶次方根？为什么？在实数范围内，负数没有偶次方根因为任何实数的偶数次方幂都是正数，从而负数的偶数次方根找不到对应的实数如果要讨论负数的偶次方根，就必须将数域从实数再进行扩充，此时暂不做讨论新知探究新知探究追问2观察所举的例子，当n为偶数时，被开方数的符号、n次方根分别是什么？当n为奇数时呢？新知探究新知探究式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数na当n为偶数时，被开方数是非负数正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数正数a的正n次方根用 表示，负n次方根用 表示合并写成 nana当n为奇数时，被开方数是实数，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的
5、n次方根用 表示nana追问30的n次方根该如何定义？新知探究新知探究0的任何次方根都是0，记作 00n新知探究新知探究nnaannanna解：（1）由 ，无意义，可以抽象得到：只要 有意义，则 一定成立255552=25533 664nnannaa问题4 一定成立吗？表示an的n次方根，一定成立吗？如果不一定成立，那么 等于什么？新知探究新知探究nnaannanna解：（2）由 ，可以抽象得到：当n为奇数时，一定成立33225533 5500nnaa问题4 一定成立吗？表示an的n次方根，一定成立吗？如果不一定成立，那么 等于什么？由 ，可以抽象得到：当n为偶数时，442266336600,
6、0,0nnaaaaaa新知探究新知探究例1求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）3382104432ab解：（1）；3388（2）210=1010；（3）443=33；（4）2.ababababbaab，新知探究新知探究问题5负整数指数幂是用于表示分式的，例如 ，其本质是把指数的范围从正整数拓展到全体整数如果把指数的范围从整数拓展到分数，那么分数指数幂的意义又是什么呢？它与根式有什么关系？尝试给出一个合理的规定，在分数指数幂和根式之间建立起联系，并谈谈你这样规定的合理性11()nnnaaa追问1根据n次方根的定义和数的运算，我们知道新知探究新知探究1051022555124123344
7、400aaaaaaaaaa这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式那么当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，比如 ，这样的根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？2534abc，新知探究新知探究215253432400aaabbbcc，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是01mmnnaaamnnN，*于是，在条件a0，m，nN*，n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式追问2阅读教科书，并结合正数的负整数指数幂、正数的正分数指数幂的意义，你能说出正数的负分数指数幂的意义吗？新知探究新知探究因为正数的负整数指数幂是在正整数指数幂的
8、基础上取倒数，所以正数的负分数指数幂也是在正分数指数幂的基础上取倒数我们规定1101mnmmnnaamnnaaN，*例如，4233424233331111555aaa，追问30与负数有分数指数幂吗？为什么？新知探究新知探究与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，0的正分数指数幂等于0而因为0不能做分母，所以0的负分数指数幂没有意义对于负数，根据前面的讨论已知，在实数范围内负数没有偶次方根，所以对于负数的分数指数幂，此时暂不做讨论新知探究新知探究问题6规定了分数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？为什么？整数指数幂
9、的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质（1）0rsr sa aaarsQ，；（2）0srrsaaarsQ，；（3）00rrraba babrQ，新知探究新知探究问题6规定了分数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？为什么？可以通过n次方根与有理数指数幂的关系，对上述三个性质进行证明下面以性质（1）为例首先考虑r0，s0的情况由于r，s是有理数，所以可设 ，其中m，n，p，q都是正整数，且m与n互质，p与q互质，所以nqrsmp，新知探究新知探究问题6规定了分数指数幂的意义
10、以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？为什么？对于r0，s0的情形，可以转化为正分数指数幂的情形进行证明qnpmqnmpmpmpmprsnpmqnpmqnp mqpmpmpma aa aaaaaa aanp mqnqr smpmpaaa新知探究新知探究例2求值：（1）；（2）2383416()81解：（1）；22233233382224（2）333344344444168133327()()()()()81162228新知探究新知探究例3用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a0）：（1）；（2）223aa3a a解：（1）2
11、2822223333aaa aaa；（2）14211333322()()a aa aaa新知探究新知探究例4计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）；（2）；（3）211511336622(2)(6)(3)a ba ba b 31884()m n23234aaa（2）331128882388443()()()mm nmnm nn；解：（1）21152 1 11 1 51133663 2 62 3 622(2)(6)(3)263a ba ba bab 044aba；新知探究新知探究例4计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）；（2）；（3）211511336622(2)(6)(3)a ba ba
12、 b 31884()m n23234aaa解：（3）2231131232343322222()aaaaaaaaaa2 113 163 262 2aaaaaa归纳小结归纳小结问题7本节课研究了哪些内容？怎样研究的？有理数指数幂运算性质有什么特点？研究内容和路径可以用下图表示：归纳小结归纳小结问题7本节课研究了哪些内容？怎样研究的？有理数指数幂运算性质有什么特点？分数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到有理数后，其运算性质保持不变其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的目标检测目标检测用根式的形式表示下列各式（a0）：1（1）；（2）；（3）；（4）12a34a35a23a答案：（1）；（2）；（3）；（4）a34a351a231a目标检测目标检测用分数指数幂的形式表示下列各式：2（1）；（2）；（3）；（4）230 xx 45mnmn650ppp 30aaa答案：（1）；（2）；23x45mn（3）；（4）6522pp312aa目标检测目标检测计算下列各式：3（1）；（2）；（3）；（4）3236()49632 33 1.512111824a a a11233312(2)2xxx答案：（1）；（2）18；（3）；（4）21634358a41x敬请各位老师提出宝贵意见！
