1、第1课时集合的概念学习目标1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号导语在体育课上，体育老师常说的一句话就是“集合”，这个时候，同学们从四面八方集合到一起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子一、元素与集合的概念问题1看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？(1)110之间的所有偶数；(2)立德中学今年入学的全体高一学生；(3)所有的
2、正方形；(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；(5)方程x23x20的所有实数根；(6)地球上的四大洋提示以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等知识梳理1元素：一般地，我们把研究对象统称为元素元素通常用小写拉丁字母a，b，c，表示；2集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)集合通常用大写拉丁字母A，B，C，表示二、集合中元素的特征问题2问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？提示都能构成集合(1)2,4,6,8,10；(2)立德中学今年入学的每一位高一学生；(3)正方形；(4)到直线l的距
3、离等于定长d的点；(5)1,2；(6)太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋知识梳理1集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的2集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的注意点：(1)集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关(2)利用集合相等求参时，已知元素是突破口例1(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是()A中国古代四大发明B周长为10 cm的三角形C方程x22x30的实数根D地球上的小河流(2)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若PQ，则a_.答案(1)ABC(2)2解析(1)在A中，中国古代四大发明
4、具有确定性，能构成集合；在B中，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合；在C中，方程x22x30的实数根为3和1，能构成集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合(2)由题意得a24，a2.延伸探究若将例1(2)改为“若集合Q中含有两个元素1和a2，求a的取值范围解由元素是互不相同的，得a21，即a1.反思感悟(1)判断一组对象能构成集合的条件能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素；任何两个对象都是不同的；对元素出现的顺序没有要求(2)判断两个集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等跟
5、踪训练1(1)下列说法中正确的是()A与定点A，B等距离的点不能构成集合B由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是ABC的三边长，则ABC不可能是等腰三角形D高中学生中的游泳能手能构成集合(2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，ab三个元素，且集合A与集合B相等，则a2b_.答案(1)C(2)1解析(1)A不正确，与定点A，B等距离的点在AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由title中的字母构成的元素为t，i，l，e共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构
6、成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合(2)由题意知ab0，所以1，所以b1，a1，所以a2b1.三、元素和集合之间的关系问题3如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？提示是男生就去，不是男生就不去知识梳理1元素和集合之间的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素aAa属于集合A不属于如果a不是集合A的元素aAa不属于集合A2.常用数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或NZQR注意点：(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写(2)0属于自然数集例2(1)下列结论中，不正
7、确的是()A若aN，则aNB若aZ，则a2ZC若aQ，则|a|QD若aR，则a3R(2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2_ B，1_B(用符号“”或“”填空)答案(1)A(2)解析(1)A中当a0时，显然不成立(2)2，2B，(1)23232411，10，aR，若2A，则实数a的取值范围为_答案(1)(2)a4解析(1)略(2)因为2A，所以22a0，即a4.1.知识清单：(1)元素与集合的概念(2)集合中元素的特征(3)元素与集合的关系(4)常用数集的记法2方法归纳：直接法、推理法3常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素1(多选)下列各组对象能构成集合的有()A接近于1的所有正整数B小于
8、0的实数C(2 022,1)与(1,2 022)D未来世界的高科技产品答案BC解析A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 022,1)与(1,2 022)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合2集合M是由大于2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是()A.M B. 0MC1M D. M答案D解析1，故A错；201，故B错；1M，故C错；21，故D正确3设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_A，美国_A，印度_A，英国_A(用符号“”或“”填空)答案4设集合A含有两个元素x，y，B含有
9、两个元素0，x2，若AB，则实数x_；y_.答案10解析由题意得或即或又当xy0时，不满足集合元素的互异性，所以x1，y0.1下面给出的四类对象中，能构成集合的是()A某班视力较好的同学B长寿的人C的近似值D倒数等于它本身的数答案D解析此题考查集合概念的确定性，只有D中的元素是确定的2设不等式32x0的解集为M，下列关系中正确的是()A0M，2M B0M，2MC0M，2M D0M，2M答案B解析本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式32x0，所以0M；当x2时，32x10，所以2M.3下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()AP是由元素1，构成的集合，Q是由元素，
10、1，|构成的集合BP是由构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合CP是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合DP是满足不等式1x1的自然数构成的集合，Q是方程x21的解集答案A解析由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合4已知集合M是方程x2xm0的解组成的集合，若2M，则下列判断正确的是()A1M B0MC1M D2M答案C解析由2M知2为方程x2xm0的一个解，所以222m0，解得m2.所以方程为x2x20，解得x11，x22.故方程的另一根为1.5(多选)集合A中含有三个元素2,4,6，若a
11、A，且6aA，那么a为()A2 B2 C4 D0答案AC解析若a2，则624A；若a4，则642A；若a6，则660A.6(多选)下列说法正确的是()AN*中最小的数是1B若aN*，则aN*C若aN*，bN*，则ab的最小值是2Dx244x的实数解组成的集合中含有2个元素答案AC解析因为N*表示正整数集，容易判断A，C正确；对于B，若a，则满足aN*，但aN*，B错误；对于D，x244x的实数解只有2，所以解集中只有一个元素，D错误7若由a，1组成的集合A与由a2，ab，0组成的集合B相等，则a2 022b2 022的值为_答案1解析由已知可得a0，因为两集合相等，又10，所以0，所以b0，所
12、以a21，即a1，又当a1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a1.所以a2 022b2 0221.8以方程x25x60和方程x2x20的根为元素的集合中共有_个元素答案3解析方程x25x60的根是2,3，方程x2x20的根是1,2.根据集合中元素的互异性知，以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素9判断下列元素的全体是否能组成集合，并说明理由：(1)平面上到AOB两边等距离的点；(2)高中学生中的灌篮高手解(1)到AOB两边等距离的点在AOB的角平分线上，故元素是明确的，可以组成集合(2)对于灌篮高手，概念模糊，无法明确界定，故不能组成集合10已知集合A含有两个元素a3和2a1，
13、aR.(1)若3A，试求实数a的值；(2)若aA，试求实数a的值解(1)因为3A，所以3a3或32a1.若3a3，则a0.此时集合A含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则a1.此时集合A含有两个元素4，3，符合题意综上所述，实数a的值为0或1.(2)因为aA，所以aa3或a2a1.当aa3时，有03，不成立；当a2a1时，有a1，此时A中有两个元素2，1，符合题意综上，实数a的值为1.11集合A的元素y满足yx21，集合B的元素(x，y)满足yx21(A，B中xR，yR)则下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A2A，且2BB(1,2)A，且(1,2)BC2A，且(3,10)BD(3,
14、10)A，且2B答案C解析集合A中的元素为y，是数集，又yx211，故2A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足yx21，经验证，(3,10)B.12(多选)由a2，2a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是()A1 B2 C1 D2答案ABD解析由题意知a24,2a4，a22a，解得a2，且a1，即a的取值不可能是1，2.13设集合A含有2,1两个元素，B含有1,2两个元素，定义集合AB，满足x1A，x2B，且x1x2AB，则AB中所有元素之积为()A8 B16 C8 D16答案C解析集合AB中有2，4，1三个元素，故所有元素之积为8.14已知集合A含有两个元素1
15、和2，集合B表示方程x2axb0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a_；b_.答案32解析因为集合A与集合B相等，且1A，2A，所以1B，2B，即1,2是方程x2axb0的两个实数根所以即15已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则M中元素个数为_答案3解析针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4,0,0，4，则M中的元素共3个16设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若aA，则A(a1，且a0)求证：(1)若2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集证明(1)由题意知若aA，则A.又因为2A，所以1A.因为1A，所以A.因为A，所以2A.所以A中另外两个元素为1，.(2)若A为单元素集，则a，即a2a10，方程无实数解所以a，所以集合A不可能是单元素集
