1、人教版九年级上册数学期末复习21-25章知识点复习提纲第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注：一元二次方程必须同时满足三个条件1、是整式方程；2、只含有一个未知数；3、未知数的最高次数是1。（二）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)其中：二次项为ax2；二次项系数为a；一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。注：1、指出方程各项的系数时要带上前面的符号。2、一元二次方程中“未知数的最高次数是2，二次项系数a0”是针对整理合并的方程而言的。3、
2、确定一元二次方程的项及系数时，必须先将方程化成一般形式，习惯上把二次项系数化为正数。（三）一元二次方程的特殊形式：1、c=0，ax2+bx=0 2、b=0，ax2+c=0 3、b=0，c=0，ax2=0（四）一元二次方程的解（根）1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根。注：若一元二次方程有解，则解一定有两个。3、关于一元二次方程根的三个重要结论（1）a+b+c=0一元二次方程ax2+
3、bx+c=0(a0)有一个根为x=1。（2）a-b+c=0一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为x=1。（3）c=0一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为x=0。二、解一元二次方程（一）直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。2、方程x2=p的根（1）当p0时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不相等的实数根x1=p，x2=p。（2）当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0。（3）当p0时，方程(x+n)2=p有两个不等的实数根x1=n+p，x2=np；（2）当p=0时，方程(x
4、+n)2=p有两个相等的实数根x1=x2=n；（3）当p0时，因为对任意实数x，都有(x+n)20，所以方程(x+n)2=p无实数根。3、用配方法解一元二次方程的一般步骤（2x27x+3=0）依据：完全平方公式的逆用a22ab+b2=(ab)2和直接开平方法。2x27x=3（1）移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。x272x=32（2）二次项系数化为1：左、右两边同时除以二次项系数。x272x+(72)2=32+(72)2即(x72)2=2516（3）配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方。x74=54（4）开平方求根：利用平方根的意义直接开平方。（三）公式法解一元二次
5、方程1、推导：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)x2+bx=c x2+bax=ca x2+bax+(b2a)2=(b2a)2ca (x+b2a)2=b24ac4a2，当b24ac0时x+b2a=b24ac4a2 x=b2ab24ac2a x=bb24ac2a x1=b+b24ac2a x2=bb24ac2a 2、一元二次方程根的判别式（1）内容：一般地，式子b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即=b24ac。（2）方程ax2+bx+c=0(a0)的根的情况0方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根。=0方程ax2+bx
6、+c=0(a0)有两个相等的实数根。0方程ax2+bx+c=0(a0)无实数根。注：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，当a，c异号时，方程一定有两个不相等的实数根；当c=0时，方程一定有一个根为0。（2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，不能说“此时方程只有一个实数根”；当0故方程有两个不相等的实数根；计算根的判别式：=b24ac，并判断的符号。x=bb24ac2a=(4)(4)245(1)25=4610求根：当=b24ac0时，将各项系数代入求根公式x=bb24ac2a。即x1=1，x2=15写解：x1=b+b24ac2a，x2=bb24ac2a注：当=b24ac=
7、0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，即x1=x2=b2a。公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有的一元二次方程，但并不一定是最高效的解法。（四）因式分解法解一元二次方程1、因式分解法：先对方程ax2+bx+c=0(a0)的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。2、用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）移项将方程化为一般形式。（2）分解将方程的左边分解为两个一次式的乘积。（3）转化令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程。（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是
8、一元二次方程的解。3、因式分解为常见类型常见类型因式分解方程的解x2+bx=0x(x+b)=0x1=0，x2=bx2a2=0(xa)(x+a)=0x1=a，x2=ax22ax+a2=0(xa)2=0x1=x2=ax2+(a+b)x+ab=0(a，b为常数)(x+a)(x+b)=0x1=a，x2=b（五）一元二次方程的根与系数的关系1、推导x1+x2=b+b24ac2a+bb24ac2a=2b2a=ba x1x2=b+b24ac2abb24ac2a=4ac4a2=ca 2、内容（1）文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。（
9、2）数学语言若ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=ba，x1x2= ca。3、重要结论（1）若一元二次方程x2+px+q=0(a0)的两根为x1，x2，则x1+x2=p，x1x2=q。（2）以实数x1，x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是x2(x1+x2)+x1x2=0。4、重要变形（1）1x1+1x2=x1+x2x1x2 （2）|x1x2|=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2 （3）x2x1+x1x2=x22+x12x1x2=(x1+x2)22x1x2x1x2 （4）(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2 （5）x12+x22=(x1+x2)22
10、x1x2 （6）(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2三、实际问题与一元二次方程（一）列一元一次方程解决实际问题的一般步骤1、审题找相等关系2、设未知数3、列方程4、解方程5、检验（1）检验所得结果是不是方程的解。（2）检验方程的解是否符合实际意义。6、写出答案（二）常见实际问题1、平均增长率（降低率）问题：a(1+x)2=n2、几何图形问题3、存款利息问题4、数字问题5、存款利息问题6、传播、比赛与握手问题（1）比赛单循环、握手：12x(x1)=n（2）比赛双循环、互发短信：x(x1)=n（3）传播问题：1+x+(1+x)x=n(1+x)=n第二十二章 二次函数一、二次函
11、数概念（一）内容：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数；其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。（二）二次函数一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）（三）二次函数成立的条件1、函数解析式是整式；2、化简后自变量的最高次数为2；3、二次项系数不为0。二、二次函数的图像和性质图像：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y=ax2+bx+c。抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。（一）、二次函数y=ax2(a0)的图像和
12、性质1、用描点法画二次函数y=ax2的图象的一般步骤（1）列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y值，列出表格，一般取原点（0，0），在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点。（2）描点：在平面直角坐标系内，描出相应的点，一般先描出y轴一侧的几个点，再根据对称性找出y轴另一侧的几个点。（3）连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线（顶端不能画成尖的）依次连各点，并向两端无限延伸（注意曲线两端要出头）。注：一般来说，取的点越多，图像越精确。抛物线是向两端无限延伸的，左右两侧应关于对称轴对称。2、二次函数y=ax2(a0)的图像和性质y=ax2(a0)a0a0图像开口方向向上向下对称轴y轴或
13、直线x=0顶点坐标（0，0）增减性当x0时，y随x的增大而增大。当x0）或向下（k0a0k0k0图像开口方向向上向下对称轴y轴或直线x=0顶点坐标（0，k）增减性当x0时，y随x的增大而增大。当x0时，y随x的增大而减小。最值当x=0时，y最小=k当x=0时，y最大=k注：（1）对于二次函数y=ax2或y=ax2+k，当a0时，若A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上，若|x1|x2|，则有y1y2，若|x1|x2|，则有y1y2。（2）对于二次函数y=ax2或y=ax2+k，当a|x2|，则有y1y2，若|x1|y2。（三）二次函数y=a(xh)2的图象和性质1、二次函数y=a(xh)
14、2与y=ax2图象间的关系二次函数y=a(xh)2的图象可以由二次函数y=ax2沿x轴向右（h0）或向左（h0a000图像开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标（h，0）增减性当x时，y随x的增大而增大。当x时，y随x的增大而减小。最值当x=h时，y最小=0当x=h时，y最大=0（四）二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质1、二次函数y=a(xh)2+k（顶点式）与y=ax2图象间的关系（1）二次函数y=ax2沿x轴向右（h0）或向左（h0）或向下（k0a000k0k0k0k0k0k0k0开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标（h，k）增减性当x时，y随x的增大而增大。当x时，y随x的增
15、大而减小。最值当x=h时，y最小=k当x=h时，y最大=k注：（1）从y=a(xh)2+k中可以直接看出抛物线的顶点坐标是(h，k)，所以通常把它称为二次函数的顶点式。其中h，k决定顶点坐标；a决定开口方向和大小；h决定对称轴；k决定最值。（2）二次函数y=a(xh)2与y=a(xh)2+k的图像关于直线x=h对称，当a0时，若A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上，且|x1h|hx2|，则有y1y2，若|x1h|hx2|，则有y1y2。（3）二次函数y=a(xh)2与y=a(xh)2+k的图像关于直线x=h对称，当a|hx2|，则有y1y2，若|x1h|y2。（五）二次函数y=ax2+
16、bx+c的图象和性质1、二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴及顶点坐标（1）推导y=ax2+bx+cy=a(x2+bax)+cy=ax2+bax+(b2a)2(b2a)2+cy=ax2+bax+(b2a)2a(b2a)2+cy=a(x+b2a)2b24a+cy=a(x+b2a)2b24ac4ay=a(x+b2a)2+4acb24a即二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=b2a，顶点坐标为(b2a，4acb24a)。2、画二次函数y=ax2+bx+c的图象的方法（1）描点法二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=b2a，顶点坐标为(b2a，4acb24a)。确定抛物线的开口方
17、向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线。（2）平移法把二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方法化成y=a(xh)2+k的形式，明确顶点坐标(h，k)；做出y=ax2的图像；将抛物线y=ax2平移，使其定点平移到(h，k)处。（3）在具体的做题过程中，画简单图像时必须标出：顶点坐标；对称轴；与x轴的两个交点坐标；与y轴的交点坐标。3、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)图像开口方向向上向下对称轴x=b2a顶点坐标(b2a,4acb24a)增减性当xb2a时，y随x的增大而增大。当xb2a时，
18、y随x的增大而减小。最值当x=b2a时，y最小=4acb24a当x=b2a时，y最大=4acb24a4、二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与字母系数的关系字母符号图象的特征a0开口向下a0与y轴交于正半轴c0，则a+b+c0，若此时y=0，则a+b+c=0，若此时y0，则a+b+c0，则ab+c0，若此时y=0，则ab+c=0，若此时y0，则ab+c0b24ac=0b24ac0a0二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的公共点有两个公共点(x1，0)，(x2，0)有一个公共点（b2a，0）无公共点一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况有两个不相等的实数根x1，x2；x1=b+b24a
19、c2ax2=bb24ac2a有两个相等的实数根x1=x2=b2a没有实数根注：1、如果y=ax2+bx+c(a0)的函数值y=m，求y=m时的自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m可以看成已知y=ax2+bx+c的函数值为m，求自变量x的值。2、方程ax2+bx+c=m的解是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的公共点的横坐标。3、抛物线y=ax2+bx+c与直线y= kx+b的交点的坐标是方程组y=ax2+bx+cy= kx+b的解；反之，求方程组y=ax2+bx+cy= kx+b的解，也是抛物线y=ax2+bx+c与直线y= kx+
20、b的交点的坐标。（四）用图象法求一元二次方程的解1、利用二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点求方程的解的方法二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解。2、利用二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点求方程ax2+bx+c=0的解步骤（1）在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；（2）观察图象，确定抛物线与x轴的公共点的坐标；（3）公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解。3、当函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的解；（
21、1）观察函数图象与x轴的一个公共点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范围。（2）由（1）可确定方程y=ax2+bx+c的一个根在m、n（m kx+b（y1y2）的解集；抛物线y1=ax2+bx+c在直线y2= kx+b下方的点对应的x的所有值是不等式ax2+bx+c kx+b（y1y2时，自变量x的取值范围为xn；（2）当y1y2时，自变量x的取值范围为mx0（y0）的解集；抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式ax2+bx+c0(y0（y0）的解集为xn或xm。不等式ax2+bx+c0（y0）的解集为mxm（ym）的解集；抛物线y=ax2
22、+bx+c在y=m下方的点对应的x的所有值是不等式ax2+bx+cm(ym)的解集。四、实际问题与二次函数1、步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检。2、常见问题（1）图形面积最值问题（2）最大利润问题（3）抛物线形建筑物问题第二十三章 旋转一、图形的旋转（一）旋转的相关概念1、旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转；点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。注：初中阶段研究的平移、轴对称、旋转都是针对平面内的图形变换，他们是平面图形的全等变换，即变换前后的图形全等。2、旋转的三要素（描
23、述图形的旋转时缺一不可）：旋转中心、旋转方向和旋转角；旋转方向有顺时针和逆时针两种。3、旋转的对应元素对应元素：一个图形绕旋转中心旋转一定角度后得到旋转后的图形；如图所示，ABC绕点O逆时针旋转90得到ABC，在这一旋转中，点O是旋转中心，AOA，BOB，COC都是旋转角，点A，B，C分别与点A，B，C是对应点，ABC，ACB，BAC分别与ABC，ACB，BAC是对应角，线段AB，BC，CA分别与线段AB，BC，CA是对应边。（二）旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等：AO=AO；BO=BO；CO=CO；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。AOA=BOB=COC；即旋转时，图形上的每一点
24、都绕旋转中心旋转相同的角度；旋转前、后的图形全等。ABCABC；即旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；对应线段的延长线的夹角也等于旋转角。证明：AB=AB；OB=OB；OA=OA；ABOABO；BAO=BAO；又ADE=ADO；ADE+BAO+AED=180；BAO+ADO+AOA=180；AED=AOA；（三）旋转中心的确定根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点。（四）旋转作图1、确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出图形的关键点（一般是图形中的转折点）。2、将旋转中心与图形中的每个关键点
25、分别相连。3、把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）。4、在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心距离相等的线段，得到各个关键点的对应点。5、按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。（五）旋转中常见的几何模型1、以等边三角形或等腰三角形为背景的旋转问题，可利用旋转，将已知的三条线段转移到同一个三角形中，构造直角三角形，并利用勾股定理求解。例一：如图，ABC是等边三角形，AO=4，BO=3，CO=5，求AOB的度数。解：将AOB绕点B顺时针旋转60得到CPB，连接OP；BO=BP，OBP=60；OBP是等边三角形；OP=BO=3，OPB=60；又AO=CP=4，
26、CO=5；OP2+CP2=32+42=52=CO2COP是直角三角形，OPC=90。AOB=CPB=60+90=150例二：如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AO=1，BO=3，CO=2，求AOC的度数。解：将AOC绕点C顺时针旋转90得到CPB，连接OP；CO=CP，OCP=90；OCP是等腰直角三角形；OP=CO2+CP2=22+22=22，OPC=45；又AO=BP=1，BO=3；OP2+BP2=(22)2+12=32=BO2BOP是直角三角形，OPB=90。AOC=CPB=45+90=1352、利用旋转的性质求角度的大小或线段的长度时：（1）利用旋转前后对应边相等，对应点与旋
27、转中心所连线段相等可得到等腰三角形。（2）当旋转角为60时，对应点与旋转中心所构成的三角形为等边三角形，当旋转角为90，对应点与旋转中心所构成的三角形为等腰直角三角形。3、旋转中的半角模型：有一个角固定，另一个与之顶点重合的角（等于固定角的一半般）进行旋转。（1）半角旋转中的a+b=c结论例三：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC，CD上的点，且EAF=12BAD。猜想线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由。解：使旋转角等于BAD，将ADF绕点A顺时针旋转得到ABG；ABE+D=180，ABG=DABE+ABG=180E，B，G三点共线；EAF=12
28、BAD；DAF+BAE=12BAD又DAF=BAGDAF+BAE=BAG+BAEEAG=12BAD=EAFEAFEAG(SAS)EG=EF又DF=BGBE+BG=BE+DF=EG=EF（2）有关等腰直角三角形的半角旋转中a2+b2=c2的问题例四：如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E在边BC上，DAE=45，若BD=3，CE=1，求DE的长。解：将ACE绕点A顺时针旋转90得到ABF，连接DF；BAC=90，DAE=45；EAC+DAB=45又BAF=CAEDAF=BAF+BAD=DAE=45又AF=AE，AD=ADDACDAF(SAS)DF=DEBAC=90，AB=ACC
29、AB是等腰直角三角形C=ABD=ABF=45DBF=90DF=BF2+BD2=12+32=10（3）有关正方形的半角旋转中的a+b=c的结论例五：如图，在正方形ABCD中，E，F是边BC、DC边上的点，且EAF=45，求证：（1）DF+BE=EF；（2）CEF 的周长等于正方形周长ABCD的一半。证明：（1）将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG；AD=AB，D=ABG=90；E，B，G三点共线；又EAF=45，DAB=90DAF+BAE=45又BAG=DAFBAG+BAE=EAG=EAF=45AG=AF，AE=AEEAFEAG(SAS)EG=EF又DF=BGBE+BG=BE+DF=EG=EF
30、（2）由（1）可知EG=EFCCEF=CE+CF+EFCCEF=CE+CE+EG=CE+CF+BE+BG又DF=BGCCEF=CE+CF+BE+BG=CE+CF+BE+DFCCEF=(CE+BE)+(CF+DF)=CB+CDCCEF=12C四边形ABCD例六：如图，在正方形ABCD中，E，F是BC、DC边上的点，连接AF、AE、EF，且EAF=45；BD为对角线，分别交AF、AE于M、N点，连接ME、NF；求证：（1）ANF与AME是等腰三角形；（2）SAEF=2SAMN；证明：（1）将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG；AD=AB，ADF=ABG=90；E，B，G三点共线；又FAN=45，
31、DAB=90DAF+BAE=45又BAG=DAFBAG+BAE=GAN=FAN=45AG=AF，AN=ANFANGAN(SAS)AGN=AFN，GN=FNGAF为等腰三角形，AN为GAF的底边GF上的中线。ANG=90AGN=GAN=45ANG为等腰直角三角形；AN=GN=FNANF为等腰直角三角形；同理：AME为等腰直角三角形；（2）由（1）知ANF为等腰直角三角形；AME为等腰直角三角形；ANAF=22，AMAE=22；ANAF=AMAE，MAN=FAE=45MANEAFSMANSEAF=(22)2=12SAEF=2SAMN（4）有关正方形的半角旋转中的a2+b2=c2的结论例七：如图，在
32、正方形ABCD中，E，F是BC、DC边上的点，连接AF、AE、EF，且EAF=45；BD为对角线，分别交AF、AE于M、N点，连接ME、NF；求证：DM2+BN2=MN2；证明：将ADM绕点A顺时针旋转90得到ABG；MAN=45，DAB=90DAM+BAN=45又BAG=DAMBAG+BAN=GAN=MAN=45AG=AM，AN=ANMANGAN(SAS)MN=GN又ABG=ADM=45，ABD=45GBN=90GBN是直角三角形又BG=DMGN2=MN2=BG2+BN2=DM2+BN2二、中心对称（一）中心对称1、中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）；这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。注：（1）中心对称是指两个图形间的位置关系，必须涉及两个图形；（2）中心对称是特殊的旋转，旋转角为180；（3）中心对称是指两个图形的（位置）关系，成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，
