1、小学数学解题策略（46）整除及数字整除特征46、整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 4228是99的倍数，这个数除以99所得的商是_。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为16+（a+b）。要使原数能被9整除，必须使16+（a+b）是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。所以a-b=3。又a+b=2或11，可
2、求得a=7，b=4。从而很容易求出商为42728499=4316。例2 某个七位数1993能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是_。（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。而19930002520=790余2200。于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。例3 七位数17562的末位数字是_的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字
3、和与偶位上各数字之和的差是3+（b-a）或（a-b）-3。要使原数是11的倍数，只需3+（b-a）或（a-b）-3是11的倍数。则有 b-a=8，或者a-b=3。当 b-a=8时，b可取9、8；当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。例4 下面这个四十一位数555999（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是_。（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：注意到1111117=15873，所以555555与999999也能被7整除。则18个5或18个9组成的数，也能被7整除。要
4、使原四十一位数能被7整除，只需5599这个五位数是7的倍数。容易得出，中间方格内的数字是6。【整除】例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是_。（天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题）讲析：所求这个数分别除以3和7时，余数相同。3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3，23是本题的答案。例2 一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。这个整数是_。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7整除了。因为3、5和7
5、的最小公倍数是105。3600105=34余30，105-30=75，所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。例3 在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。这样的两位数共有_个。（中南地区小学数学竞赛试题）讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。结合被9整除的数字特征，不难找到符合要
6、求的两位数有45、35、25和15共4个。例4 a是一个自然数，已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是_。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以7以后，肯定余1。只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。例5 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除
7、后余7，最后得到的一个商是a见图5.43（1），又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是2a见图5.43（2），求这个自然数。（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：可从最后的商步步向前推算。由图5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8（8a+7）+1=64a+57；所求的自然数是8（64a+57）+1=512a+457由图5.43（2）得，所求的自然数是578a+259所以，512a+457=578a+259。解得a=3。故，这个自然数是5123+457=1993。例6 某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是1、2、3、12。他们的电话号
8、码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。问这一家的电话号码是什么数？（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）讲析：设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、，a+12。因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除，所以数a能同时被1、2、3、12整除。而1、2、3、12的最小公倍数是27720，所以六位数中，能同时被1、2、3、12整除的最小自然数是277204=110880现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题。因为11088013，余数是12；2772013，余数是4。也就是在110889的基础上，再加上n个27720之后的和，能被13整除的数，就是所求的数。即12+4n，是13的倍数。显然，当n=10时，12+4n是13的倍数。所以，门牌号码是9的这家电话号码是：110889+2772010=388089。8
