1、小学数学解题策略（63）数阵图63、数阵图【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。（l+2+3+9）3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一数填“5”。再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既
2、能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。每列为（917）4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。三个奇数和为21的有两种：21=19+11=35+13。经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个22的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的最小值是_。（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9
3、、10、11。它们的和是65。在三个22的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65ab）之和必须是 3的倍数。所以，（ab）之和至少是7。故，和数的最小值是24。【其他数阵】例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3、5、8和“”四个数，那么“”代表的数是_。（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可先看竖格。因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、1
4、0、8。同理可推导出横格各数，其中“”=5。例2 如图5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圆内的数之和都是15。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。（如图5.25）显然a=5，g=9。则有：bc=10，ef=6，cde=15。经适当试验，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。例3 如图5.26，将六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。那么，这六个质数的积是_。（全国第
5、一届“华杯赛”决赛试题）讲析：最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个小三角形顶点上三数之和相等。所以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。202=10，102+3+5。所以，六个质数积为223355=900。例4 在图5.27的七个中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个数是两边两个数的平均数。现已填好两个数，那么X=_。（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：如图5.28，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。则d=15。由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。所以，b=13+2=15。进而容易算出，x=19。例5 图5.29中8个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得 即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=07
