1、 填空压轴之几何图形多解问题填空压轴之几何图形多解问题 1. 已知正方形 ABCD 的边长为 4，如果 P 是正方形对角线 BD 上一点，满足 2 ABPCBP，若PCB 为直角三角形，则 BP 的长为_ 2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB8，AD6，E 为 AB 边上一点，将BEC 沿 CE 翻 折，点 B 落在点 F 处，当AEF 为直角三角形时，BE_ 第 2 题图 第 4 题图 3. 在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，若点 P 在 AD 边上，连接 PB、PC，BPC 是 以 PB 为腰的等腰三角形，则 PB 的长为_ 4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 P、
2、Q 分别为直线 AB、BC 上的点， 满足 PDPQ，则当PDQ 为等腰三角形时，AP 的长为_ 5. 已知ABC 中，tanB ，BC6，过点 A 作 BC 边上的高，垂足为点 D，且满足 2 3 BDCD21，则ABC 面积的所有可能值为_ 6. 如图，有一张面积为 10 的三角形纸片，其中一边 AB 为 4，把它剪开两次拼成一个 矩形(无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与 AB 平行，则矩形的周长为_ 第 6 题图 第 7 题图 7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD8，MN 为对角线 BD 的垂直平分线，以 BD 为底边作等腰三角形 BPD，使得点 P 落在直线 MN 上，且 PD
3、5，则 AP_ 8. 在 RtABC 中，A90，ABAC2，D 是边 AC 上的动点，满足 BD 的垂 2 直平分线交 BC 于点 E，若CDE 为直角三角形，则 BE 的长为_ 9. 如图，在四边形 ABCD 中，AABC90，AD1，BC3，E 是边 CD 的中 点，连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 F，若BCD 是等腰三角形，则四边形 BDFC 的 面积为_ 第 9 题图 第 10 题图 10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD2，E 是 AB 边上一点，AE2，F 是直 3 线 CD 上一动点，将AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 的对应点为点 A，当点 E、A、C
4、三点在 一条直线上时，DF 的长度为_ 11. 已知在 RtABC 中，斜边 AB5，BC3，以点 A 为旋转中心，旋转这个三角形 至ABC的位置，那么当点 C落在直线 AB 上时，BB_ 12. ABC 中，AB4，BC6，B60，将ABC 沿射线 BC 方向平移得到 ABC，使得 BC4，连接 AC，则ABC 的周长为_ 13. 如图，在ABCD 中，A60，AB3，点 E、F 分别为 AD、BC 的中点，沿 EF 折叠平行四边形，使 CD 落在直线 AB 上，点 C 的对应点为 C，点 D 的对应点为 D， 若 BD1，则 AD 的长为_ 第 13 题图 第 14 题图 14. 定义：有
5、一组对角互补的四边形叫做互补四边形如图，在互补四边形纸片 ABCD 中，BABC，ADCD，AC90，ADC30.将纸片先沿直线 BD 对折， 再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸 片中有一个面积为 4 的平行四边形，则 CD 的长为_ 15. 如图，在 RtABC 中，B90，BC2AB8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的 中点，连接 DE，将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，当EDC 旋转到 A，D，E 三点共 线时，线段 BD 的长为_ 第 15 题图 1. 4 或 8 【解析】由题可知，ABPCBP，点 P 一定处于正方形对角线 BD 上
6、， 共存在两种情况使PBC 为直角三角形，(1)如解图，当 CPPB 时，有 PC2PB2BC2.又CBP45，PBPC，BP4；(2)如解图，当 P 点与 D 点重 合时PBC 为直角三角形，BPBC8. 2 第 1 题解图 2. 3 或 6 【解析】如解图，当AFE90时，设 BEx，则 EFx，AE8x，FCBC6，由勾股定理得 AC10，AF1064，在 RtAEF 中，42x2(8x)2，解得 AB2BC2 x3，BE3；如解图，当AEF90时，四边形 BCFE 是正方形，BEBC6.综上 所述，BE3 或 6. 第 2 题解图 3. 5 或 6 【解析】如解图，当 PBPC 时，点
7、 P 是 BC 的中垂线与 AD 的交点，则 APDP AD3，在 RtABP 中，由勾股定理可得 PB5；如 1 2AP2AB23242 解图，当 PBBC6 时，BPC 也是以 PB 为腰的等腰三角形综上所述，PB 的长度 为 5 或 6. 第 3 题解图 4. 1 或 7 【解析】PDQ 是等腰三角形，分三种情况：如解图，若点 P 在线段 AB 上，DPQ90，PDPQ，APDBPQ90，在矩形 ABCD 中， 参考答案参考答案 AB90，APDADP90，ADPBPQ，DAPPBQ(AAS)， PBAD3，AP431；如解图，若点 P 在线段 AB 的延长线上，PQ 交 CB 的延长线
8、于点 Q，PDPQ，同理可证ADP BPQ，ADPB，APABAD347；当 P 在线段 BA 的延长线上时，显然不 成立，故 AP 的长为 1 或 7. 第 4 题解图 5. 8 或 24 【解析】如解图，BC6，BDCD21，BD4，在 RtABD 中， ADBDtanB4 ，SABC BCAD 6 8；如解图 2 3 8 3 1 2 1 2 8 3 ，BC6，BDCD21，BD12，在 RtABD 中， ADBDtanB12 8，SABC BCAD 6824.ABC 面积的所有可能值 2 3 1 2 1 2 为 8 或 24. 第 5 题解图 6. 13 或 14 【解析】分为两种情况：
9、如解图，沿 MN 剪开，再沿 CQ 剪开(CDAB 于点 D，MN 为ABC 的中位线，CD 交 MN 于点 Q)，将CQN 放在BFN 的位置上， CQM 放在AEM 的位置上，由三角形面积公式得 10 4CD，解得 CD5，MN 为 1 2 ABC 的中位线，CQDQ CD2.5，矩形 AEFB 的周长为(2.54)213；如 1 2 解图，沿 NQ、MT 剪开(N、M 分别为 AC、BC 中点，EQBA 于点 Q，FTAB 于点 T，CDAB 于点 D)，将AQN 放在CEN 的位置上，BTM 放在CFM 的位置上，由 三角形面积公式得 10 4CD，解得 CD5，N 为 AC 中点，
10、1 2 CDEQ，AQDQ，同理 BTDT，QT AB2，矩形 EQTF 的周长为(52) 1 2 214.故答案为 13 或 14. 第 6 题解图 7. 3 或 【解析】如解图，连接 BM，DN，AN，得到四边形 BNDM 为菱形， 41 BMMD，AMMDAMBMAD8，在 RtABM 中，设 AMx，则 BM8x，AB4，根据勾股定理得：x242(8x)2，解得 x3，AM3，MD5.当 PB 和 PD 在 BD 上方时，点 P 与点 M 重合，则 APAM3；当 PB 和 PD 在 BD 下方时， 点 P 与点 N 重合，由对称性得到 PDNDBNMD5，在 RtABN 中， AB4
11、，BN5，根据勾股定理得：AN，此时 APAN. AB2BN242524141 综上所述，AP 的长为 3 或. 41 第 7 题解图 8. 1 或 2 【解析】当CED90时，点 D 与点 A 重合，E 是 BC 的中点，如解图 2 .BCAB(2)2(1)，BE BC 2(1)1；当 2222 1 2 1 222 CDE90时，如解图，A90，ABAC，C45，CDE 是等腰直角三 角形，CEDE，易得 2 BEDE，CEBE，CEBEBEBE2(1)BE2.综上所述，若 222 CDE 为直角三角形，则 BE 的长为1 或 2. 2 第 8 题解图 9. 6或 3 【解析】AABC90，
12、 25 BCAD，CBEDFE，BECFED，CEDE，BECFED(AAS)， BEFE，四边形 BDFC 是平行四边形，当 BCBD3 时，在 RtABD 中，AB 2，S四边形 BDFC326；当 BCCD3 时，如解图，过点 C 作 3212222 CGAF 于点 G，则四边形 ABCG 是矩形，AGBC3，DGAGAD312， 在 RtCDG 中，CG，S四边形 BDFC33；BDCD 时，BC 边 3222555 上的中线应与 BC 垂直，从而 BC2AD2，矛盾，此时不成立故四边形 BDFC 面积为 6或 3. 25 第 9 题解图 10. 62或 62 【解析】如解图，F 是线
13、段 CD 上一动点，由翻折可知， 77 FEAFEA，CDAB，CFEAEF，CFECEF，CECF，在 RtBCE 中， EC2，CFCE2，ABCD6，DFCDC BC2EB2（2 3）24277 F62；如解图，F 是 DC 延长线上一点，由翻折可知， 7 FEAFEA，CDAB，CFEBEF，CFECEF，CECF，在 Rt BCE 中， EC2，CFCE2，ABCD6，DFCDC BC2EB2（2 3）24277 F62，故答案为 62或 62. 777 图 图 第 10 题解图 11. 或 3 【解析】如解图，当点 C在线段 AB 上时，AB5，BC3，在 1010 RtABC 中
14、，AC4，以点 A 为旋转中心，旋转这个三角形至ABC的位 AB2BC2 置，AC4，BC1，BC3，BB；如解图，当点 C （BC）2（BC）210 在线段 BA 的延长线上时，AB5，BC3，AC4，以点 A 为旋转中心，旋转这个 三角形至ABC的位置，BC9，BC3，BB3.故长 BB （BC）2（BC）210 长为或 3. 1010 图 图 第 11 题解图 12. 12 或 84 【解析】当点 B在线段 BC 上，如解图，ABC 沿射线 BC 方向平 3 移得到ABC，ABAB4，BCBC6，ABCABC60， BC4，ABBC，ABC 为等边三角形，ABC 的周长为 12；当点 B
15、在线 段 BC 的延长线上，如解图，作 BHAC，ABC 沿射线 BC 方向平移得到 ABC，ABAB4，ABCABC60， BC4，ABBC，BCABAC，CHAH，而 ABCBCABAC，BCA30，在 RtBCH 中，BCH30， BH CB2，CHBH2，AC2CH4，ABC 的周长 1 2333 44484.故答案为 12 或 84. 333 第 12 题解图 13. 4 或 8 【解析】如解图，当点 D在线段 AB 上时，ADABBD312，E 是 AD 的中点，AEDE，由折叠的性质得 EDED，EDAE，A60， AED是等边三角形，AEAD2，AD4.如解图，当点 D在 AB
16、 的延长线上时， ADABBD4.同理可知AED是等边三角形，AEAD4，AD8. 图 图 第 13 题解图 14. 2或 42 【解析】如解图，作 CEAB 交 BD 于点 E，延长 CE 交 AD 于 2626 点 F，连接 AE，过点 B 作 BGAE 于点 G，BABC，此时的平行四边形 ABCE 为菱 形，BADBCD90，ADC30，ABCF，CFD90， BCEBAEAEF30，设 BGm，则 BA2m，菱形 ABCE 的面积为 4，2mm4，解得 m(负值舍去)，AECEBA2，EFAEcos30 22 ，CF2，在 RtCFD 中，CD2CF42；如解图，作 BEAD 交 6
17、2626 CD 于点 E，作 BFCD 交 AD 于点 F，根据折叠与裁剪可知 BEBF，此时的平行四边形 BEDF 也是菱形，BEFD，BECADC30，AC90，设 BCn，则 BE2n，CEn，菱形 BEDF 的面积为 4，2nn4，解得 n(负值舍去)， 32 BC，DEBE2，CE，CDCEDE2，综上所述，CD 的长为 22626 2或 42. 2626 第 14 题解图 15. 4或 【解析】如解图，易得 5 12 5 5 AC4，CD4，CDAD，AD AB2BC25AC2CD2（4 5）2428016 8，ADBC，ABDC，B90，四边形 ABCD 是矩形，BDAC4；如解 5 图，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P，AC4，CD4，CDAD，AD8，点 D、E 分 5AC2CD2（4 5）242 别是边 BC、AC 的中点， DE AB2，AEADDE826，CE2，ECDACB 1 2ED2CD25 ，ECADCB，又，ECADCB，BD EC DC AC BC AE BD EC DC 5 2 6 5 2 ，综上所述，BD 的长为 4或. 12 5 55 12 5 5 第 15 题解图 第 15 题解图
