1、1 2019 年江苏省中学生数学夏令营测试卷 考试时间：2019 年 7 月 20 日 8:30 至 11:00 一填空题：本答题共一填空题：本答题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1计算： 2若虚数 满足，则 3设为坐标原点，点为直线上一动点，过点作直线 的垂线， 与以为直径的相交于两点 若线段长为， 则 的方程为 4设是的外心，满足 ， 若，则面积的最大值为 5 设非零实数满足， 则的最小值为 6在中，是线段上的点， 若的面积为，当取到最大值时， 7在中，的最小值为 8一个圆桌有十二个座位，编号为 1 至 12现有四个学生和四个家长入 座， 要求学生坐在偶数位
2、， 家长与其孩子相邻 满足要求的坐法共有 种 【答案】 1； 2； 3； 4 ； 5 ； 6； 7； 8 2 二解答题：本答题共二解答题：本答题共 4 小题，每小题小题，每小题 20 分，共分，共 80 分分 9设数列（）满足： ， ， 试比较与的大小 【析】由得2= +1 ，代入2 得 +2 +1= 2+ +1 ， 即：+2= 2+1+ ，且1= 1,2= 3 另一方面由得到= +1 ，代入得 +2 +1= +1 + 2， 即：+2= 2+1+ ，且1= 1,2= 2 令 = 1 + 2, = 1 2，注意到 + = 2, = 22, = 1， 于是= + + ，= 进而可以得到 2 2 2
3、 = ()= (1) 根据上述,的递推关系及初始条件， 我们知道,均为递增的 正整数数列，且 | +1 2 2+1 2 | = | 2 2 2|， 1 +1+2+1 1 +2， 1 +1 1 把上述式相乘得 |+1 +1 2| | 2| 取，整理即得 3 10求所有的正整数，使得为素数的 次幂 【析】易知，不妨设，则 设为素数，使得， 若， 则， 矛盾 故 即 ， 注意到，且 为的倍数，故 若，由于，故进而 ， 所以，于是， 若，则： 而，故： 注意到，故： 再注意到，于是： ， 矛盾！ 综上所述，满足条件的仅有或 4 11 如图，的内切圆与边相切于 点，为边的高，为中点，点为直 线与的交点（
4、异于点） 求证：平分 【析】 直线比较特殊， 我们先研究这条直线 的性质延长交于、交的延长线于 如图 考察直线截，并注意到， 由 Menelaus 定理 而为的内角平分线，所以为的外角平分线，从而 为中边的旁心 进而四点共圆， 设为， 圆心为与 外接圆的交点，为直径取中点 ，则，故点在上如图 由圆幂定理 注意到，取中点，则 ， 这表明四点共圆如图 F M ED I A B C T J F M ED I B A C N S O T F J M ED I B A C 5 由鸡爪定理，为中点而为中点，所以 从而， 而， 故点在的中垂线上， 所以 在圆内接四边形中， 由于， 所以平分， 即 平分 N K S O T F J M ED I A B C 6 12设正实数满足证明： 【析】由均值不等式 所以只要证明： 熟知 所以只要证明：， 由已知等式得到 所以只要证明： 整理后即证： 熟知， 故 于是只要证明：事实上，由于 故原不等式成立
