1、第第 3 节节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1.结合具体函数， 了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数的图像理解和 研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单 函数的周期性. 知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 图像关于原点对称的函数叫作奇函数. 图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函数. 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在非零常数 T，对定义域内的任意一个 x 值，都有 f(xT)f(x)，就把函数 f(x)称为周期函数，称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小
2、的正数，那么这 个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期. 微点提醒 1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具 有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0). (2)若 f(xa) 1 f（x），则 T2a(a0). (3)若 f(xa) 1 f（x），则 T2a(a0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数 yf(
3、xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图像关于直线 xa 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)， 则 yf(x)的图像关 于直线 xa 对称. (3)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图像关于点(b，0)中心对称. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数 yx2在 x(0，)时是偶函数.( ) (2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)0.( ) (3)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期.( ) (4)若函数 yf(xb)是奇函数， 则函数 yf(x)的图像
4、关于点(b， 0)中心对称.( ) 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故 yx2在(0，)上不具有奇偶 性，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在 x0 处有意义时才满足 f(0)0，(2) 错. (3)由周期函数的定义，(3)正确. (4)由于 yf(xb)的图像关于(0，0)对称，根据图像平移变换，知 yf(x)的图像关 于(b，0)对称，正确. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 1P50 练习改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.yx2sin x B.yx2cos x C.y|ln x| D.y2 x 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足
5、 f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A 选 项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，)，不具有奇偶性；D 选 项既不是奇函数，也不是偶函数. 答案 B 3.(必修 1P28 练习引申改编)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1， 1)时，f(x) 4x22，1x0， |x2|2，得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称. x20 时，x220.8，且 ag(log25.1)g(log25.1)， g(3)g(log25.1)g(20.8)，则 cab. 法二 (特殊化)取 f(x)x，则 g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又 3log25.12
6、0.8， 从而可得 cab. 答案 C 5.(2019 山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)在1，)上 单调递减，且 f(x1)是偶函数，不等式 f(m2)f(x1)对任意的 x1，0恒 成立，则实数 m 的取值范围是( ) A.3，1 B.4，2 C.(，31，) D.(，42，) 解析 因为 f(x1)是偶函数，所以 f(x1)f(x1)，所以 f(x)的图像关于 x1 对称， 由 f(m2)f(x1)得|(m2)1|(x1)1|， 即|m1|x2|在 x1， 0恒成立，所以|m1|x2|min，所以|m1|2，解得3m1. 答案 A 二、填空题 6.若函数 f(
7、x)xln(xax2)为偶函数，则 a_. 解析 f(x)为偶函数，则 yln(xax2)为奇函数， 所以 ln(xax2)ln(x ax2)0， 则 ln(ax2x2)0，a1. 答案 1 7.若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数， 当 00f(x1)f(1)或 f(x1)f(1). x11 或 0x11， 解之得 x2 或 0x1. 答案 A 12.(2018 合肥调研)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在0，1上是 减函数，则有( ) A.f 3 2 f 1 4 f 1 4 B.f 1 4 f 1 4 f 3 2 C.f 3 2 f 1 4 f
8、 1 4 D.f 1 4 f 3 2 f 1 4 解析 由题设知：f(x)f(x2)f(2x)，所以函数 f(x)的图像关于直线 x1 对 称；函数 f(x)是奇函数，其图像关于坐标原点对称，由于函数 f(x)在0，1上是减 函数，所以 f(x)在1，0上也是减函数，综上函数 f(x)在1，1上是减函数； 又 f 3 2 =f 2 3 2 =f 1 2 ，1 4 1 4 1 2， f 1 2 f 1 4 f 1 4 ，即 f 3 2 f 1 4 f 1 4 . 答案 C 13.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1)f(x1)， 已知当 x0，1时，f(x)
9、2x，则有 2 是函数 f(x)的周期； 函数 f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数； 函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是_. 解析 在 f(x1)f(x1)中，令 x1t， 则有 f(t2)f(t)， 因此 2 是函数 f(x)的周期，故正确； 当 x0，1时，f(x)2x是增函数， 根据函数的奇偶性知，f(x)在1，0上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f(x) 在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故正确； 由知，f(x)在0，2上的最大值 f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值 f(x)minf(0)f(2) 201
10、 且 f(x)是周期为 2 的周期函数，f(x)的最大值是 2，最小值是 1，故错 误. 答案 14.设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x. (1)求 f()的值； (2)当4x4 时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积. 解 (1)由 f(x2)f(x)得， f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2f(x1)f(x1)， 即 f(1x)f(1x). 故知函数 yf(x)的图像关于直线 x1 对称. 又当 0x1 时，f(x)x，且 f(x)的图像关于原点成中心对称，则 f(x)的图像如下 图所示. 当4x4 时，f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S， 则 S4SOAB4 1 221 4.
