1、第第 5 节节 函数函数 yAsin(x)的的图像图像及应用及应用 最新考纲 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出 yAsin(x)的图 像，了解参数 A， 对函数图像变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实 际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 知 识 梳 理 1.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所 示. x 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 2.函数 yAsin(x)的有关概念 yAsin(x)(A0，0)， x0， )表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T2
2、f1 T 2 x 3.函数 ysin x 的图像经变换得到 yAsin(x)的图像的两种途径 微点提醒 1.由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长度. 2.函数 yAsin(x)的对称轴由 xk 2(kZ)确定；对称中心由 x k(kZ)确定其横坐标. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)将函数 y3sin 2x 的图像左移 4个单位长度后所得图像的解析式是 y 3sin 2x 4 .( ) (2)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度 一致.( ) (3)函数 yAcos(x)的最
3、小正周期为 T，那么函数图像的两个相邻对称中心之 间的距离为T 2.( ) (4)由图像求解析式时， 振幅 A 的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点 的值确定的.( ) 解析 (1)将函数y3sin 2x的图像向左平移 4个单位长度后所得图像的解析式是y 3cos 2x. (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移单位 长度为 .故当 1 时平移的长度不相等. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 4P56T3 改编)y2sin 1 2x 3 的振幅、频率和初相分别为( ) A.2，4， 3 B.2， 1 4， 3 C.2， 1 4， 3 D.2
4、，4， 3 解析 由题意知 A2，f1 T 2 1 4，初相为 3. 答案 C 3.(必修 4P60B 组改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价 格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况： 月份 x 1 2 3 4 收购价格 y(元/斤) 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为 _. 解析 设 yAsin(x)B(A0，0)， 由题意得 A1，B6，T4，因为 T2 ，所以 2， 所以 ysin 2x 6. 因为当 x2 时，y7， 所以 sin()67，即 sin 1， 即 22k(kZ)，可取 2. 所以 ysi
5、n 2x 2 66cos 2x. 答案 y6cos 2x 4.(2019 宝鸡模拟)函数 y2cos 2x 6 的部分图像大致是( ) 解析 由 y2cos 2x 6 可知，函数的最大值为 2，故排除 D；又因为函数图像过 点 6，0 ，故排除 B；又因为函数图像过点 12，2 ，故排除 C. 答案 A 5.(2016 全国卷)若将函数 y2sin 2x 6 的图像向右平移1 4个周期后，所得图像 对应的函数为( ) A.y2sin 2x 4 B.y2sin 2x 3 C.y2sin 2x 4 D.y2sin 2x 3 解析 函数 y2sin 2x 6 的周期为 ， 将函数 y2sin 2x
6、6 的图像向右平移1 4个 周期即 4个单位，所得函数为 y2sin 2 x 4 6 2sin 2x 3 ，故选 D. 答案 D 6.(2018 上饶模拟改编)ycos(x1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是 _. 解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之差恰为半个周期 ，故 它们之间的距离为 24. 答案 24 考点一 函数 yAsin(x)的图像及变换 【例 1】 某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x) 0，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图像. 若 yg(x)图像的一个对称中心为 5 12，0 ，求 的最小值. 解 (1)根据表中已知数据，解得 A5，2，
7、 6.数据补全如下表： x 0 2 3 2 2 x 12 3 7 12 5 6 13 12 Asin(x) 0 5 0 5 0 且函数解析式为 f(x)5sin 2x 6 . (2)由(1)知 f(x)5sin 2x 6 ， 得 g(x)5sin 2x2 6 . 因为函数 ysin x 图像的对称中心为(k，0)(kZ). 令 2x2 6k，kZ，解得 x k 2 12(kZ). 由于函数 yg(x)的图像关于点 5 12，0 成中心对称，所以令 k 2 12 5 12 (kZ)，解得 k 2 3(kZ). 由 0 可知，当 k1 时， 取得最小值 6. 规律方法 作函数 yAsin(x)(A
8、0，0)的图像常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换， 设 zx，由 z 取 0， 2， 3 2，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五 点坐标，描点后得出图像； (2)图像的变换法，由函数 ysin x 的图像通过变换得到 yAsin(x)的图像有 两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 【训练 1】 (1)(2017 全国卷)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin 2x2 3 ，则下 面结论正确的是( ) A.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平 移 6个单位长度，得到曲线
9、C2 B.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平 移 12个单位长度，得到曲线 C2 C.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平 移 6个单位长度，得到曲线 C2 D.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平 移 12个单位长度，得到曲线 C2 (2)(2018 石家庄调研)若把函数 ysin x 6 的图像向左平移 3个单位长度，所得 到的图像与函数 ycos x 的图像重合，则 的一个可能取值是( ) A.2 B.3 2 C.2 3 D.1 2 解析 (1)易知 C1：ycos
10、xsin x 2 ，把曲线 C1上的各点的横坐标缩短到原来 的1 2倍，纵坐标不变，得到函数 ysin 2x 2 的图像，再把所得函数的图像向左 平移 12个单位长度，可得函数 ysin 2 x 12 2 sin 2x2 3 的图像，即曲线 C2，因此 D 项正确. (2)ysin x 3 6 和函数 ycos x 的图像重合，可得 3 6 22k，kZ， 则 6k2，kZ. 2 是 的一个可能值. 答案 (1)D (2)A 考点二 求函数 yAsin(x)的解析式 【例 2】 (1)(一题多解)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图像如 图所示，则函数 f(x)的解析式为_.
11、(2)(2019 长郡中学、衡阳八中联考)函数 f(x)sin(x) 0，|0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值. 解 (1)f(x)2sin xcosx 3(2sin2x1) sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 . 由最小正周期为 ，得 1， 所以 f(x)2sin 2x 3 ， 由 2k 22x 32k 2(kZ)， 整理得 k 12xk 5 12(kZ)， 所以函数 f(x)的单调递增区间是 k 12，k 5 12 (kZ). (2)将函数 f(x)的图像向左平移 6个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y2sin 2x1 的图像； 所以 g(x)2sin 2x1.
12、 令 g(x)0，得 xk7 12或 xk 11 12 (kZ)， 所以在0，上恰好有两个零点，若 yg(x)在0，b上有 10 个零点，则 b 不小于 第 10 个零点的横坐标即可. 所以 b 的最小值为 411 12 59 12 . 规律方法 1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问 题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有 关知识解决问题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数. 3.研究 yAsin(x)的性质时可将 x 视为一个整体，利用换元法和数形结 合思想进行解题. 【训练 3】 (1)某城市一年中 12 个月的平均气
13、温与月份的关系可近似地用函数 y aAcos 6（x6） (x1，2，3，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最 高为 28 ，12 月份的月平均气温最低为 18 ，则 10 月份的平均气温为 _. 解析 因为当 x6 时，yaA28； 当 x12 时，yaA18，所以 a23，A5， 所以 yf(x)235cos 6（x6） ， 所以当 x10 时，f(10)235cos 64 2351 220.5. 答案 20.5 (2)已知函数 f(x)5sin xcos x5 3cos2x5 2 3(其中 xR)，求： 函数 f(x)的最小正周期； 函数 f(x)的单调区间； 函数 f(x)图像的
14、对称轴和对称中心. 解 因为 f(x)5 2sin 2x 5 3 2 (1cos 2x)5 3 2 5(1 2sin 2x 3 2 cos 2x)5sin 2x 3 ， 所以函数的最小正周期 T2 2 . 由 2k 22x 32k 2(kZ)， 得 k 12xk 5 12(kZ)， 所以函数 f(x)的递增区间为 k 12，k 5 12 (kZ). 由 2k 22x 32k 3 2 (kZ)， 得 k5 12xk 11 12 (kZ)， 所以函数 f(x)的递减区间为 k5 12，k 11 12 (kZ). 由 2x 3k 2(kZ)，得 x k 2 5 12(kZ)， 所以函数 f(x)的对
15、称轴方程为 xk 2 5 12(kZ). 由 2x 3k(kZ)，得 x k 2 6(kZ)， 所以函数 f(x)的对称中心为 k 2 6，0 (kZ). 思维升华 1.五点法作图及图像变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向； (2)图像变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x 而言，而不是看角 x 的变化. 2.由图像确定函数解析式 解决由函数 yAsin(x)的图像确定 A， 的问题时，常常以“五点法”中 的五个点作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零 点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 易错防范 1.由函数 ysin x 的图像经过变换得到
16、yAsin(x)的图像，如先伸缩再平移 时，要把 x 前面的系数提取出来. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 yAsin(x)(A0，0)的单调 区间的确定， 基本思想是把 x 看作一个整体.若 0)在区间0，1上至少出现 50 次最大值，则 的最小值为( ) A.98 B.197 2 C.199 2 D.100 解析 由题意，至少出现 50 次最大值即至少需用 491 4个周期，所以 197 4 T197 4 2 1，所以 197 2 . 答案 B 评析 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期 T2 与所给区间的关系，从 而建立不等关系. 类型 2 三角函数的单调性与 的关系 【
17、例 2】 若函数 f(x)sin x(0)在区间 3， 2 上单调递减，则 的取值范围是 ( ) A.02 3 B.03 2 C.2 33 D.3 23 解析 令 22kx 3 22k(kZ)，得 2 2k x 3 2 2k ，因为 f(x)在 3， 2 上单调递减， 所以 2 2k 3， 2 3 2 2k ， 得 6k3 24k3. 又 0，所以 k0， 又 6k3 22 3 ，若函数 f(x)图像的 任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(，2)，则 的取值范围是 _.(结果用区间表示) (2)已知函数 f(x)2sin x 在区间 3， 4 上的最小值为2，则 的取值范围是 _
18、. 解析 (1)f(x)sin xcos x 2sin x 4 ， 令 x 4 2k(kZ)，解得 x 3 4 k (kZ). 当 k0 时，3 4，即 3 4， 当 k1 时，3 4 2，即 7 8. 综上，3 4 7 8. (2)显然 0，分两种情况： 若 0，当 x 3， 4 时， 3x 4. 因函数 f(x)2sin x 在区间 3， 4 上的最小值为2，所以 3 2，解得 3 2. 若 0)图像上的一个 最低点，M，N 是与点 P 相邻的两个最高点，若MPN60 ，则该函数的最小正 周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 由 P 是函数 yAsin(x)(0)图像上的一个
19、最低点，M，N 是与 P 相邻 的两个最高点，知|MP|NP|， 又MPN60 ，所以MPN 为等边三角形. 由 P 3 2， 3 3 2 ，得|MN| 23 3 2 3 26. 该函数的最小正周期 T6. 答案 D 4.(2018 天津卷)将函数 ysin 2x 5 的图像向右平移 10个单位长度，所得图像对 应的函数( ) A.在区间 4， 4 上单调递增 B.在区间 4，0 上单调递减 C.在区间 4， 2 上单调递增 D.在区间 2， 上单调递减 解析 ysin 2x 5 sin 2 x 10 ，将其图像向右平移 10个单位长度，得到函数 ysin 2x 的图像.由 2k 22x2k
20、2，kZ，得 k 4xk 4，kZ.令 k0，可知函数 ysin 2x 在区间 4， 4 上单调递增. 答案 A 5.(2019 张家界模拟)将函数 f(x) 3sin 2xcos 2x 的图像向左平移 t(t0)个单位 后，得到函数 g(x)的图像，若 g(x)g 12x ，则实数 t 的最小值为( ) A.5 24 B.7 24 C.5 12 D.7 12 解析 由题意得，f(x)2sin 2x 6 ， 则 g(x)2sin 2x2t 6 ， 从而 2sin 2x2t 6 2sin 2 12x 2t 6 2sin(2x2t)2sin(2x2t)， 又 t0， 所以当 2t 62t2k 时，
21、即 t 7 24 k 2 (kZ)，实数 tmin 7 24. 答案 B 二、填空题 6.将函数 ysin x 的图像上所有的点向右平移 10个单位长度，再把所得各点的横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) ， 所 得 图 像 的 函 数 解 析 式 是 _. 横坐标伸长到 原来的2倍 ysin 1 2x 10 . 答案 ysin 1 2x 10 7. (2018 沈阳质检)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，0)的部分图像如图所 示，则 f 4 _. 解析 由图像可知 A2，3 4T 11 12 6 3 4 ，T，2. 当 x 6时，函数 f(x)取得最大
22、值， 2 6 22k(kZ)， 62k(kZ)， 00)，f 6 f 3 ，且 f(x)在区间 6， 3 上有最小值，无最 大值，则 _. 解析 依题意，x 6 3 2 4时，y 有最小值， sin 4 3 1， 4 32k 3 2 (kZ). 8k14 3 (kZ)， 因为 f(x)在区间 6， 3 上有最小值，无最大值， 所以 3 4 ，即12， 令 k0，得 14 3 . 答案 14 3 三、解答题 9.某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t) 10 3cos 12tsin 12t，t0，24). (1)求实验室这一天上午 8 时的温度； (2)
23、求实验室这一天的最大温差. 解 (1)f(8)10 3cos 128 sin 128 10 3cos 2 3 sin 2 3 10 3 1 2 3 2 10. 故实验室上午 8 时的温度为 10 . (2)因为 f(t)102( 3 2 cos 12t 1 2sin 12t)102sin 12t 3 ， 又 0t24，所以 3 12t 3 7 3 ，1sin 12t 3 1. 当 t2 时，sin 12t 3 1； 当 t14 时，sin 12t 3 1. 于是，f(t)在0，24)上取得最大值 12，取得最小值 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ，最低温度为 8 ，最大温差为 4 .
24、10.已知函数 f(x) 3sin(x) 0， 2 2 的图像关于直线 x 3对称， 且 图像上相邻最高点的距离为 . (1)求 f 4 的值； (2)将函数 yf(x)的图像向右平移 12个单位后，得到 yg(x)的图像，求 g(x)的单调 递减区间. 解 (1)因为 f(x)的图像上相邻最高点的距离为 ， 所以 f(x)的最小正周期 T，从而 2 T 2. 又 f(x)的图像关于直线 x 3对称， 所以 2 3k 2(kZ)， 因为 2 2，所以 k0， 所以 2 2 3 6，所以 f(x) 3sin 2x 6 ， 则 f 4 3sin 2 4 6 3sin 3 3 2. (2)将 f(x
25、)的图像向右平移 12个单位后，得到 f x 12 的图像， 所以 g(x)f x 12 3sin 2 x 12 6 3sin 2x 3 . 当 2k 22x 32k 3 2 (kZ)， 即 k5 12xk 11 12 (kZ)时，g(x)单调递减. 因此 g(x)的单调递减区间为 k5 12，k 11 12 (kZ). 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2019合肥调研)已知 x 12是函数 f(x) 3sin(2x)cos(2x)(0)图 像的一条对称轴，将函数 f(x)的图像向右平移3 4 个单位长度后得到函数 g(x)的图 像，则函数 g(x)在 4， 6 上的最小值为(
26、 ) A.2 B.1 C. 2 D. 3 解析 x 12是 f(x)2sin 2x 6 图像的一条对称轴， 3k 2(kZ)， 即 k 6(kZ). 00)的最小正周期为 ，当 x 0， 2 时，方程 f(x)m 恰有两个不同的实数解 x1，x2，则 f(x1x2)( ) A.2 B.1 C.1 D.2 解析 函数 f(x)2 3sin x 2 cos x 2 2cos2x 2 1 3sin xcos x2sin x 6 . 由 T2 ，可得 2，f(x)2sin 2x 6 . x 0， 2 ， 62x 6 7 6 ，1f(x)2. 画出 f(x)的图像(图略)，结合图像知 x1x2 3， 则
27、 f(x1x2)f 3 2sin 2 3 6 2sin 5 6 1. 答案 B 13.(2019 广东省际名校联考)将函数 f(x)12 3 cos2x(sin xcos x)2的图像向 左平移 3个单位，得到函数 yg(x)的图像，若 x 2， 2 ，则函数 g(x)的单调递 增区间是_. 解析 f(x)12 3cos2 x(sin xcos x)2 sin 2x 3cos 2x 32sin 2x 3 3， g(x)2sin 2 x 3 3 32sin 2x 3 3， 由 22k2x 3 22k(kZ)， 得5 12kx 12k(kZ)， x 2， 2 ， 函数 g(x)在 2， 2 上的单
28、调递增区间是 5 12， 12 . 答案 5 12， 12 14.已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，| 2)的部分图像如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)将函数 yf(x)的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1 2倍，再 把所得的函数图像向左平移 6个单位长度，得到函数 yg(x)的图像，求函数 g(x) 在区间 0， 8 上的最小值. 解 (1)设函数 f(x)的最小正周期为 T，由题图可知 A1，T 2 2 3 6 2， 即 T，所以 2 ，解得 2， 所以 f(x)sin(2x)，又过点 6，0 ， 由 0sin 2 6 可得 32k(kZ)， 则 2k 3(kZ)，因为| 2，所以 3， 故函数 f(x)的解析式为 f(x)sin 2x 3 . (2)根据条件得 g(x)sin 4x 3 ， 当 x 0， 8 时，4x 3 3， 5 6 ， 所以当 x 8时，g(x)取得最小值，且 g(x)min 1 2.
