1、第二十四章第二十四章 圆圆复复 习习01OPTION工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.8mmABCDO平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.连结圆上任意两点的线段.经过圆心的弦是圆的直径,直径是最长的弦.小于半圆周的圆弧.大于半圆周的圆弧.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧.顶点在圆心,角的两边与圆相交.顶点在圆上,角的两边与圆相交.(1)确定圆的要素：圆心决定位置,半径决定大小 (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的 .平分
2、弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆心角相等弧相等弦相等1.如图,在O中,半径OD垂直于弦AB,垂足为C,OD=13cm,AB=24 cm,则CD=_cm.2.如图.M是CD的中点.EMCD.若CD=4.EM=8.则弧CED所在圆的半径为_4173.如图a,点C是扇形OAB上的AB的任意一点,OA=2,连接AC,BC,过点O作OEAC,OFBC，垂足分别为E,F,连接EF，则EF
3、的长度等于 .4.下列说法正确的是()A.平分弦的直径垂直于弦 B.半圆(或直径)所对的圆周角是直角 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.垂直于弦的直线平分弦（2A AO OB BC CE EF F图a a3ABCDP O图b1.如图b,AB是O的直径,且AB=2,C,D是同一半圆上的两点,并且AC与BD的度数分别是96和36,动点P是AB上的任意一点,则PC+PD的最小值是 .（在图中,BC是O的直径,ADBC,若D=36,则BAD的度数是()A.72 B.54 C.45 D.36B BA AB BC CD DO O圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的
4、圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”90的圆周角所对的弦是直径.圆的内接四边形的对角互补.1.如图1,四边形ABCD为O的内接正方形,点P为劣弧BC上的任意一点(不与B,C重合),则BPC的度数是 .2.如图2,线段AB是直径,点D是O上一点,CDB=20,过点C作O的切线交AB的延长线于点E,则E等于 .3.如图3,O的直径AE=4cm,B=30,则AC=_.（135135C CD DB BA AP PO O图1 1O OC CA AB BE ED D图2 250502cm2cmA
5、AB BC CE EO O图3 34.在O中,圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半,则弦AB所对圆心角的大小为()A.30 B.45 C.60 D.905.如图.O是ABC的外接圆,连接OA,OB,OBA=48,则C的度数为_6.如图,已知A、B、C、D是O上的四点,延长DC,AB相交于点E.若BC=BE.求证：ADE是等腰三角形7.如图,四边形ABCD内接于O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.(1)若CBD=39,求BAD的度数；(2)求证：1=2.1.在O中,弦AB所对的圆心角AOB=100则弦AB所对的圆周角为_2.如图,AB是O的直径,弦BC=2,F是弦BC的中点,ABC=60.
6、若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着ABA的方向运动,设运动时间为t(s)(0t3)连接EF,当t=s时,BEF是直角三角形.49471或或A AB BC CE EO OF F02OPTION如图在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点A、B、C.(1)请完成如下操作：以点O为原点,竖直和水平方向为坐标轴,网格边长为单位长,建立平面直角坐标系；利用网格,仅用直尺画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法,保留作图痕迹),并连接AD、CD.ABCODxy解:(1)如图所示；(2)作弦ABAB、BCBC的垂直平分线,它们的交点就是弧ACAC所在圆的圆心.如图在单位长度为1的正方形网
7、格中,一段圆弧经过网格的交点A、B、C.(2)请在(1)的基础上,完成下列问题：点C的坐标是 ;点D的坐标是 ；D的半径=(结果保留根号).ABCODxy(6,2)(6,2)(2,0)(2,0)2 5点P在圆内 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到.设O的半径是r.点P到圆心的距离为d.则有dr 点P在圆上dr 点P在圆外dr 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系1.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆；2
8、.三角形的外接圆；三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.3.三角形的内切圆 三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.【注意】【注意】(1)(1)三角形的三角形的是三角形是三角形的交点的交点.(2)(2)一个三角形的外接圆是唯一的一个三角形的外接圆是唯一的.(3)(3)三角形的三角形的是三角形是三角形线的交点线的交点 (4)(4)一个三角形的内切圆是唯一的一个三角形的内切圆是唯一的.1.在ABC中,C=90,AC=1,BC=2,M是AB的中点,以点C为圆心,1为半径作C,则()A.点M在C上 B.点M在C内 C.点M在C外 D.点M与C的位置关系不能确定2.O的半径为R,圆心到点A
9、的距离为d,且R、d分别是方程x2-6x+8=0的两根,则点A与O的位置关系是()A.点A在O内部 B.点A在O上 C.点A在O外部 D.点A不在O上3.点O是ABC的外心,若BOC=80,则BAC的度数为()A.40 B.100 C.40或140 D.40或1004.已知RtABC,C=90,AC=3,BC=6,则ABC的外接圆面积是_5.如图,已知O和直线L,过圆心O作OPL,P为垂足,A,B,C为直线L上三个点,且PA=2cm,PB=3cm,PC=4cm,若O的半径为5cm,OP=4cm,判断A,B,C三点与O的位置关系445OPL如图,O为正方形对角线上一点,以点O为圆心,OA长为半径
10、的O与BC相切于点M.(1)求证：CD与O相切；(2)若正方形ABCD的边长为1,求O的半径.A AB BC CD DO OM MN N22r 证切线时添加辅助线的解题方法有两种：有公共点,连半径,证垂直；无公共点,作垂直,证半径；位置关系 图形 d与r的关系 公共点个数 公共点名称 直线名称2 2个交点割线1 1个切点切线0 0个相离相切相交dr d=r dr 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.1.在ABC中，已知ACB=90,AC=BC=10,以点C为圆
11、心,分别以5,和8为半径作圆，那么直线AB与这三个圆的位置关系分别是_、_、_.2.如图,ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则C的半径为()A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.63.点O是ABC的内切圆的圆心,若BAC=70,则BOC=_.4.已知ABC的三边长分别为3,4,5,则ABC的内切圆半径的长为_.255.如图,AD是BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.求证：PA与O相切EPBCOA6.如图,射线PA切O于点A,连接PO.(1)在PO的上方作射线PC,使OPC=OPA(用尺规作图,保留痕迹,不写作法),并证明:PC是O的切线;
12、(2)在(1)的条件下,若PC切O于点B,AB=AP=4，求AB的长7.已知:如图,PA,PB是O的切线,A、B为切点,过 上的一点C作O的切线,交PA于D,交PB于E.(1)若P=70,求DOE的度数；(2)若PA=4cm,求PDE的周长ABPCDEBA(1)DOE55(2)PDE的周长PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm)如图,直线AB,CD相交于点O,AOD=30,半径为1cm的P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6cm,如果P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么 秒钟后P与直线CD相切.A AB BD DC CP PP P1 1P P2 2E E4 4或8 8根本题应
13、分为两种情况：(1)P在直线AB下面与直线CD相切；(2)P在直线AB上面与直线CD相切.03OPTION若正方形的边长为6.则其外接圆与与内切圆组成的圆环的面积是 (结果保留).ABDCEO99任何一个正多边形都有一个外接圆和内切圆,它们是同心圆.又知圆环的面积=(R2-r2)=AE2=9.1.正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.2.外接圆的半径叫做正多边形的半径.3.中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.4.正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等,叫做正多边形的中心角.5.圆内接正多边形的计算(1)正n边形的中心角为_.(2)正n边形的边长a,半径R,
14、边心距r之间的关系_.(3)边长a,边心距r的正n边形的面积为_.11.22Snarlr360n222().2aRr1.若一个正六边形的周长为6,则该六边形的面积是()A.B.C.D.2.如图,四边形ABCD是O的内接正方形,若 正方形的面积等于4,则O的面积等于_.3.如图,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(-1,0),则点C的坐标为_9 33321343 3B B)23,21(4.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为5的O,四边形EFGH是正方形.求正方形EFGH的面积；连接OF、OG，求OGF的度数解：正六边形的边长与其半径相等,EF=OF=5
15、.四边形EFGH是正方形,FG=EF=5，正方形EFGH的面积是25.正六边形的边长与其半径相等,OFE=60.正方形的内角是90,OFG=OFE+EFG=60+90=150.由得OF=FG,OGF=0.5(180-OFG)=0.5(180-150)=15.04OPTION(1)一条弧所对的圆心角为135,弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍,则这条弧的半径为 .(2)一个底面直径为10cm,母线长为15cm的圆锥,它的侧面展开图圆心角是 度.40cm40cm1201201.弧长公式：l=_.180n R2.扇形面积公式：S=_.2360nR12lR或3.弓形面积公式：O OO O弓形的面积
16、扇形的面积三角形的面积4.圆锥的侧面积(1)圆锥的侧面展开图是一个 .(2)如果圆锥母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为 .(3)圆锥的侧面积为 .(4)圆锥的全面积为_ .1.如图的扇形是一个圆锥的侧面展开图,若AOB=120,AB的长为12cm,则该圆锥的侧面积为_cm2.2.如图,点A,B,C在O上,O的半径为9,AB的长为2,则ACB的大小是_3.用一个圆心角为120,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是_4.(1)一条弧所对的圆心角为135,弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍,则这条弧的半径为 .(2)若一个正六边形的周长为24,则该
17、正六边形的面积为_.5.如图,已知C,D是以AB为直径的半圆周上的两点,O是圆心,半径OA=2,COD=120,则图中阴影部分的面积等于_40cm24 323p解：四边形OABC为菱形 OC=OA=1 AOC=120，1=2 FOE=120 又点C在以点O为圆心的圆上 21201=3603S扇形OEFpp创=5.如图,四边形OABC为菱形,点B、C在以点O为圆心的圆上,OA=1,AOC=120,1=2,则扇形OEF的面积?如图,在正方形ABCD内有一条折线段,其中AEEF,EFFC,已知AE=6,EF=8,FC=10,求图中阴影部分的面积.CAEFDCB22=4 54 10=80160S阴影（
18、）（）如下图是一纸杯,它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥,该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB,经测量,纸杯上开口圆的直径为6cm,下底面直径为4cm,母线长EF=8cm,求(1)扇形OAB的圆心角；(2)这个纸杯的表面积.(面积计算结果保留用).A AB BC CD DO OE EF F6cm6cm4cm4cm8cm8cmS S纸杯表=44(cm=44(cm2 2).).05OPTION圆圆圆的有关性质圆的有关性质圆的对称性圆的对称性弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系同弧上的圆周角和圆心角的关系同弧上的圆周角和圆心角的关系点、直线和圆点、直线和圆的位置关系的位置关系正多边形和圆正多边形和圆弧长和扇形面积弧长和扇形面积扇形面积扇形面积弧长弧长等分圆周等分圆周圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积点和圆的位置关系点和圆的位置关系直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 切线切线三角形的内切圆三角形的内切圆三角形的外接圆三角形的外接圆
