1、江苏省苏北四市江苏省苏北四市 20202020 届高三数学上学期期末考试试题届高三数学上学期期末考试试题 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 20201 参考公式： 1. 样本数据 x1，x2，xn的方差 s 21 n n i1(xix) 2，其中 x1 n n i1xi； 2. 圆锥的体积 V1 3Sh，其中 S 是圆锥的底面圆面积，h 是圆锥的高 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 已知集合 Ax|00)的右顶点为 A，过点 A 作直线 l 与圆 O：x 2y2b2相切，与椭圆 C 交于另一点 P，与右准线交于点 Q.设直线 l 的斜率为 k.
2、 (1) 用 k 表示椭圆 C 的离心率； (2) 若OP OQ0，求椭圆 C 的离心率 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)(a1 2)ln x(aR R) (1) 若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 xy10，求 a 的值； (2) 若 f(x)的导函数 f(x)存在两个不相等的零点，求实数 a 的取值范围； (3) 当 a2 时，是否存在整数 ，使得关于 x 的不等式 f(x) 恒成立？若存在，求 出的最大值；若不存在，请说明理由 20. (本小题满分 16 分) 已知数列an的首项 a13，对任意的 nN N * *，都有 a n1kan1(k0)，数列
3、an1是 公比不为 1 的等比数列 (1) 求实数 k 的值； (2) 设 bn 4n，n为奇数， an1，n为偶数，数列b n的前 n 项和为 Sn， 求所有正整数 m 的值， 使得 S2m S2m1 恰好为数列bn中的项 20202020 届高三模拟考试试卷(四) 数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分若多做， 则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 A. (选修 42：矩阵与变换) 已知矩阵M M 23 t1 的一个特征值为 4，求矩阵M M的逆矩阵M M 1
4、 1. B. (选修 44：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直 线 l 的极坐标方程为 (cos sin )12，曲线 C 的参数方程为 x2 3cos ， y2sin ( 为参数，R R)在曲线 C 上求点 M，使点 M 到 l 的距离最小，并求出最小值 C. (选修 45：不等式选讲) 已知正数 x，y，z 满足 xyz1，求 1 x2y 1 y2z 1 z2x的最小值 【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤 22. 如图，在三棱柱 ABCA1B
5、1C1中，侧面 AA1B1B 为正方形，侧面 BB1C1C 为菱形，BB1C1 60，平面 AA1B1B平面 BB1C1C. (1) 求直线 AC1与平面 AA1B1B 所成角的正弦值； (2) 求二面角 BAC1C 的余弦值 23. 已知 n 为给定的正整数，设(2 3x) na 0a1xa2x 2a nx n，xR R. (1) 若 n4，求 a0，a1的值； (2) 若 x1 3，求 n k0(nk)akx k的值 20202020 届高三模拟考试试卷(四)(苏北四市) 数学参考答案及评分标准 1. x|11. 因为 g(1)a1e 2) 因为 y2t t e 2)单调递减， 所以 y0
6、，所以 f(x)单调递增， 所以 xx0时，f(x)取得极小值，也是最小值， 此时 f(x0)(21 x0)ln x 0(2 1 x0)(12x 0)(4x0 1 x0)4.(14 分) 因为 x0(1 2，1)，所以 f(x 0)(1，0) 因为 f(x)，且 为整数，所以 1，即 的最大值为1.(16 分) 20. 解：(1) 由 an1kan1，a13 可知，a23k1，a33k 2k1. 因为an1为等比数列，所以(a21) 2(a 11)(a31)， 即(3k2) 22(3k2k2)，即 3k210k80，解得 k2 或 k4 3.(2 分) 当 k4 3时，a n134 3(a n
7、3)，所以 an3，则 an12， 所以数列an1的公比为 1，不符合题意； 当 k2 时，an112(an1)，所以数列an1的公比 qa n11 an1 2， 所以实数 k 的值为 2.(4 分) (2) 由(1)知 an12 n，所以 b n 4n， n为奇数， 2 n， n为偶数， 则 S2m(41)4(43)4 24(2m1)4m (41)(43)4(2m1)44 24m m(4m)4 m14 3 ，(6 分) 则 S2m1S2mb2mm(4m)4 m4 3 . 因为 b2mb2m132m4 m，又(b 2m2b2m3)(b2mb2m1)34 m20， 且 b2b350，b130，所
8、以 S2m10，则 S2m0. 设 S2m S2m1b t0，tN N * *，(8 分) 则 t1，3 或 t 为偶数，因为 b31 不可能，所以 t1 或 t 为偶数 当 S2m S2m1b 1时， m（4m）4 m14 3 m（4m）4 m4 3 3，化简得 6m 224m84m4， 即 m 24m20，所以 m 可能取值为 1，2，3， 验证S 2 S1 7 3， S4 S33， S6 S5 87 23，得当 m2 时， S4 S3b 1成立(12 分) 当 t 为偶数时， S2m S2m1 m（4m）4 m14 3 m（4m）4 m4 3 1 3 3m 212m4 4 m1 ， 设
9、cm3m 212m4 4 m，则 cm1cm9m 242m21 4 m1. 由知 m3，当 m4 时，c5c43 4 54 时，cm1cm0，所以 c4c5c6，所以 cm的最小值为 c5 19 1 024， 所以 0 S2m S2m11 3 19 1 0241 5. 令 S2m S2m14b 2，则 1 3 3m 212m4 4 m1 4，即3m 212m40，无整数解 综上，正整数 m 的值 2.(16 分) 20202020 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷( (苏北四市苏北四市) ) 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 解：矩阵M M的特征多项式
10、为 f() 23 t1 (2)(1) 3t.(2 分) 因为矩阵M M的一个特征值为 4，所以 f(4)63t0，所以 t2.(5 分) 所以M M 23 21 ，所以M M 1 1 1 2132 3 2132 2 2132 2 2132 1 4 3 4 1 2 1 2 .(10 分) B. 解：由 l：cos sin 120，及 xcos ，ysin ， 所以 l 的直角坐标方程为 xy120. (2 分) 在曲线 C 上取点 M(2 3cos ，2sin )，则点 M 到 l 的距离 d |2 3cos 2sin 12| 2 4sin（ 3 ）12 2 124sin（ 3 ） 2 ，(6
11、分) 当 6 时，d 取最小值 4 2，(8 分) 此时点 M 的坐标为(3，1)(10 分) C. 解：因为 x，y，z 都为正数，且 xyz1， 所以由柯西不等式，得 3( 1 x2y 1 y2z 1 z2x) ( 1 x2y 1 y2z 1 z2x)(x2y)(y2z)(z2x)(5 分) ( 1 x2y x2y 1 y2z y2z 1 z2x z2x) 29， 当且仅当 xyz1 3时等号成立， 所以 1 x2y 1 y2z 1 z2x的最小值为 3.(10 分) 22. 解：(1) 因为四边形 AA1B1B 为正方形，所以 ABBB1. 因为平面 AA1B1B平面 BB1C1C，平面
12、 AA1B1B平面 BB1C1CBB1， AB 平面 AA1B1B，所以 AB平面 BB1C1C. (2 分) 以点 B 为坐标原点， 分别以 BA， BB1所在的直线为 x， y 轴， 以过点 B 且垂直于平面 AA1B1B 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz. 不妨设正方形 AA1B1B 的边长为 2， 则 A(2，0 ，0)，B1(0，2，0) 在菱形 BB1C1C 中，因为BB1C160， 所以 C1(0，1， 3)，所以AC1 (2，1， 3) 因为平面 AA1B1B 的一个法向量为n n(0，0，1)， 设直线 AC1与平面 AA1B1B 所成角为 ， 则 s
13、in |cosAC1 ，n n| 3| 2 21 6 4 ， 即直线 AC1与平面 AA1B1B 所成角的正弦值为 6 4 .(6 分) (2) 由(1)可知，C(0，1， 3)，所以CC1 (0，2，0) 设平面 ACC1的一个法向量为n n1(x1，y1，z1)， 因为 n n1 1AC1 0， n n1 1CC1 0，即 （x1，y1，z1）（2，1， 3）0， （x1，y1，z1）（0，2，0）0， 取 x1 3 2 ，y10，z11，即n n1 1( 3 2 ，0，1) 设平面 ABC1的一个法向量为n n2 2(x2，y2，z2)， 因为BA (2，0，0)，BC 1 (0，1,
14、3)， 所以 （x2，y2，z2）（2，0，0）0， （x2，y2，z2）（0，1， 3）0，取 n n2 2(0， 3，1)(8 分) 设二面角 BAC1C 的平面角为 ， 则 cos cosn n1 1，n n2 2 n n1 1n n2 2 |n|n1 1| |n|n2 2| | 1 3 41 31 7 7 ， 所以二面角 BAC1C 的余弦值为 7 7 .(10 分) 23. 解：(1) 因为 n4，所以 a0C 0 4(2 3) 416 81，a 1C 1 4(2 3) 332 27.(2 分) (2) 当 x1 3时，a kx kCk n(2 3) nk(1 3) k， 因为 kC k nk n！ k！（nk）！n （n1）！ （k1）！（nk）！nC k1 n1，(4 分) n1 3n( 2 3 1 3) n1 2 3n，当 n1 时，也符合 所以(nk)akx k的值为2 3n.(10 分)
