1、第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式第0章 矢量分析下 页返 回Vector Analysis第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析正交坐标系-直角坐标系下 页上 页返 回xyzOMxyzeeeA 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析ddddxyzMMxyz leee(d,d,d)M xx yy zz(,)M x y z第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析元面积元面积dd dxxy zSedd dyyx zSedd dzzx ySedd dd dd dxyzy zx zy zSeee第第 零零 章章
2、矢矢 量量 分分 析析dd d dVx y z元体积元体积第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析正交坐标系-柱坐标系下 页上 页返 回zOMzeeeA 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析ddddzMMz leee(d,d,d)Mzz(,)Mz 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析元面积元面积dd dz Sedd dzSedd dzz Sedd dd dd dzzz Seee第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析元体积元体积dd d dVz 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析正交坐标系-球坐标系下 页上 页返 回rOMreeeA 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析dddsin dr
3、MMrrr leee(d,d,d)M rr(,)M r 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析元面积元面积2d(sin d)(d)sin d drrrrrr Seed(sin d)(d)sin d drrrr Seedd dd drrr rSee2dsin d dsin d dd drrrrr r Seee第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析元体积元体积2d(d)d(sin d)sin d d dVrr rrr 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析坐标系间单位矢量的换算投影原则投影原则能理解书中第322页表附1-1所列公式之间的关系可参考书籍：BHag Singh Guru,Huseyin
4、 R.Hiziroglu，周克定等译.，电磁场与电磁波.北京：机械工业出版社，2000第二章 矢量分析（Page1047）第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。例如，在直角坐标下：0.1 标量场和矢量场)2()1(45),(222zyxzyx 标量场zyxxyzzxxyzyxeee222),(A矢量场如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。Scalar Field and Vector Field下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析const),(zyxh其方程为:图0.1.1 等高线
5、(1)标量场-等值线(面)形象描绘场分布的工具场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？下 页上 页返 回(,)x yconst或第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析zAyAxAzyxddd三维场二维场yAxAyxdd图0.1.2 矢量线矢量场-矢量线线上每一点处的切线方向都与矢量场在该点的方向相同d0Al其方程为：在直角坐标系下：下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field 设一个标量函数(x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 的方向导数为lcoscoscoslxyz),z,y,x(
6、g)cos,cos,(cosle设 式中 ,分别是任一方向 与 x,y,z 轴的夹角l下 页上 页返 回),cos(|llleggeg则有：当 ，最大0),(lg el第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析gradzyxzyxeee梯度(gradient)哈密顿算子xyzxyz eee式中图0.1.3 等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率（增加的方向），即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意义下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析，例 0.2.1 试证明在点电荷q产生的静电场中，电位函数的负梯度等于
7、电场强度 。E第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.2 电位场的梯度图0.2.2 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例例:设一标量点函数设一标量点函数 (1)该点函数该点函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；方向的单位矢量；22()(,)rx y zxyz描述了空间标量场。试求：描述了空间标量场。试求：(2)求该点函数求该点函数 沿单位矢量沿单位矢量 方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处
8、该方处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。cos60zecos60cos45lxyeee第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 解解 (1)由梯度定义由梯度定义,可解出待求可解出待求 P 点的梯度为点的梯度为22(1,1,1)()(22)22xyzPPxyzxyzeeexyzyxzxeyeeeee+222(1,1,1)coscoscos22(2)(2)(1)221333GxyzPPxyzxyzeeeexeyeexyeee 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析(2)211(22)222122lxyzxyzG elxeyeeeeexy
9、(1,1,1)12212 22Pxyl第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析222222(1,1,1)(2)(2)(1)3Pxyzxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量点函数点处标量点函数 的最大变化率，的最大变化率，即系最大方向导数，故即系最大方向导数，故 ，恒成立。恒成立。PPPl 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3 矢量场的通量与散度0.3.1 通量 (Flux)矢量E 沿有向曲面 S 的面积分SE dS若 S 为闭合曲面 根据通量的大小判断闭合面中源的性质：SSE dFlux and Divergence of Vector 0(有正源)0(有负源)=0(无源
10、)图0.3.2 矢量场通量的性质 下 页上 页返 回图0.3.1 矢量场的通量 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3.2 散度 (Divergence)如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时：ASAdivdlim10SVV散度(divergence)zAyAxAzyxAAdiv下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析散度的意义 在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。(无源）0 A (正源)A (负源)A图0
11、.3.3 通量的物理意义 下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3.3 散度定理(Divergence Theorem)SVVSA Adlim10图0.3.4 散度定理 通量密度 高斯公式VSVASA d d矢量函数的面积分与体积分的相互转换。VSdV Vlimd1nn0VnnAASA 下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4 矢量场的环量与旋度0.4.1 环量(Circulation)矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分环量LlAd 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。Circulation and Rotation of
12、Vector Field下 页上 页返 回图0.4.1 环量的计算第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。例：流速场图0.4.2 流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析d(ddd =()d d()d d ()d dxyzLLyxzzSyxAxAyAzAAAAyzxzyzzxAAxyxyAlzyxzyxAAAzyxeeeASA)lAd(dSl第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4.2 旋度 (Rotation)1.环量密度 过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与
13、曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限LSSSl d1limdd0环量密度环量密度是单位面积上的环量。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2.旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向AArot 旋度(curl)zyxzyxAAAzyxeeeAn)(ddeA Sne S 的法线方向它与环量密度的关系为在直角坐标下:下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3.旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度
14、场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处 A=0，称之为无旋场。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 4、斯托克斯定理(Stockes Theorem)矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图 0.4.3 斯托克斯定理n)(ddeA SSAeAd)(d)(dnSSA)lAd(dSl斯托克斯定理下 页上 页 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：在有限区域V内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋涡源密度场域边界条件
15、（矢量 A 惟一地确定）电荷密度电流密度 J 场域边界条件在电磁场中Hymherze Theorem下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.5.1 试判断下列各图中矢量场的性质。FF00FF00FF00下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析(1)无旋场无旋场(irrotational field)0A0A例如例如 静电场静电场 0ED从而由矢量恒等式从而由矢量恒等式 0可定义可定义 （电位函数）电位函数）grad E无旋场中，矢量沿场域中任意闭合路径的环量等于零无旋场中，矢量沿场域中任意闭合路径的环量等于零无旋场可以表示为某一标量函数梯度场无旋场可以表
16、示为某一标量函数梯度场第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析(2)无散场无散场(无源场、管量场无源场、管量场 solenoidal field)0A0A例如例如 恒定电流的磁场恒定电流的磁场 0 BH J无源场中穿过场域中任一个矢量管的所有截面的通量都相等无源场中穿过场域中任一个矢量管的所有截面的通量都相等无源场存在着矢势（磁矢位）无源场存在着矢势（磁矢位）()0 A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析(4)(4)一般的场一般的场 0A0A例如例如 时变电磁场时变电磁场()()FA无旋部分无散部分（3 3）调和场：散度和旋度都等于零的矢量场）调和场：散度和旋度都等于零的矢量场 调和场位函数满
17、足拉普拉斯方程调和场位函数满足拉普拉斯方程第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.6 特殊形式的电磁场 如果在经过某一轴线(设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（x，y），则称这个场为平行平面场。1.平行平面场Special Forms of Electromagnetic Field如无限长直导线产生的电场。下 页上 页返 回0第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 如果在经过某一轴线(设为 z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（r,），则称这个场为轴对称场。2.轴对称场 如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。下 页上 页返 回
18、第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3.球面对称场 如果在一族同心球面上（设球心在原点），场 F 的分布都相同，即 F=f（r），则称这个场为球面对称场。如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。上 页0返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析矢量分析常用的恒等式（矢量分析常用的恒等式（P332335）0 2()A=AA()AA+A2 ()0 A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析作 业131100 rrrrrrrrrrAzzyyxxzyxzyxAAAzyxzyxzyxeeeAeeereeer),(式中：试证明下列各题:上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析23322xyzxy zx zx yAeee22cossinAee求求 A和和 A
