1、专题四专题四 二次函数压轴题二次函数压轴题 类型三类型三 特殊三角形问题特殊三角形问题例例 3（2018山西）如图，抛物线y x2 x4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F.例3题图 1313典例精析解解：令y0，得 x2 x40，解得x13，x24，点A，B的坐标分别为(3，0)，(4，0)由x0，得y4，点C的坐标为(0，4)；1313【思维教练思维教练】已知抛物线的解析式A，B，C三点均为抛物线与坐标轴的交点
2、，分别令y0，x0，求解即可（1）求A，B，C三点的坐标；例3题图（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练思维教练】利用待定系数法可求得直线BC的解析式，利用勾股定理计算出AC的长，设点Q的坐标为(m，m4)(0m4)，进而用含m的式子分别表示出CQ2，AQ2，要使ACQ为等腰三角形，需分三种情况讨论：CQCA；AQAC；QAQC，然后分别列方程求出m，即可得到对应的点Q的坐标例3题图 解解：点Q的坐标为(，4)或(1，3)；解法提示：设直线BC的解析式为ykxb，(k0)将
3、B(4，0)，C(0，4)代入ykxb得 ，解得 ，直线BC的解析式为yx4，PMx轴，点P的横坐标为m，点Q的坐标为(m，m4)，点Q在第四象限，m0，m40，0m4.5 225 22404kbb 14kb 例3题图 A(3，0)，C(0，4)，AC2AO2CO2(3)2(4)225，CQ2(m0)2m4(4)22m2，AQ2m(3)2(m4)22m22m25，要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论，当ACCQ时，即AC2CQ2，252m2，解得m1 ，m2 (舍去)，点Q的坐标为(，4)；5 225 225 225 22例3题图 当ACAQ时，即AC2AQ2，252m
4、22m25，解得m30(舍去)，m41，点Q的坐标为(1，3)；当AQCQ时，即AQ2CQ2，2m22m252m2，解得m5 (舍去)综上所述，点Q的坐标为(，4)或(1，3)5 222525 22例3题图 （3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值【思维教练思维教练】过点F作FGPQ于点G，由OBC为等腰直角三角形，可判断FQG为等腰直角三角形，则FGGQ FQ，通过证明FGPAOC，再结合线段的和差关系继而得到QF与QP的关系，QP的长可用含m的代数式表示出来，即可求得QF关于m的函数关系式，再利用函数的增减性即可求解.22例3题图 解解：如解图，过点F作FGPQ
5、于点G，则FGx轴，由B(4，0)，C(0，4)得OBC为等腰直角三角形，OBCQFG45，GQFG FQ.PEAC，12.FGx轴，23，13.FGPAOC90，FGPAOC，例3题解图 22QPGQGP FQ FQ FQ，FQ QP.222 237 263 27PMx轴，点P的横坐标为m，MBQ45，QMMB4m，PM m2 m4，1313 ，即 ，GP FG FQ FQ，FGGPAOOC34FGGP4343222 23例3题解图 QPPMQM m2 m4(4m)m2 m，QF QP (m2 m)m2 m.0，QF有最大值，当m 2时，QF有最大值131313433 273 2713432
6、74 274 27227（-）27例3题解图 备考指导二次函数与等腰三角形判定结合的问题，解决的方法一般为：1.用点坐标表示三角形三边长；2.根据等腰三角形的性质，分别令三边长两两相等，得到三组方程；3.分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，则不存在这样的三角形 此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算.注：作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系例例 4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线ykxn(k0)经过B、C两点已知A(1，0)，C(0，3)，且BC5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析
7、式；【思维教练思维教练】先在RtOBC中，利用勾股定理求得点B的坐标，利用B、C两点坐标求得直线BC的解析式，最后将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可例4题图 典例精析解解：点C的坐标为(0，3)，OC3，在RtBOC中，OC3，BC5，OB 4，点B的坐标为(4，0)，将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线ykxn(k0)中，得 ，解得 ，直线BC的解析式为y x3.22BCOC403knn343kn 34例4题图 点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上，解得 ，抛物线的解析式为y x2 x3；3415401603abcabcc1543abc 34例4题图 （2）在抛
8、物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【思维教练思维教练】要求点P坐标，可用未知数t将点P坐标表示出来，再分别用含t的式子表示出PC、PB、BC的长度，PBC为直角三角形时，分BCP90，PBC90，BPC90，这三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解.例4题图 解解：存在由(1)知抛物线解析式为y x2 x3，对称轴l为直线x ，设点P的坐标为(，t)，如解图，过点C作CDl于点D，连接PC，PB，设直线l与x轴的交点为点M，则点D的坐标为(，3)，点M的坐标为(，0)，则CD ，PD|t3|，PM|t|，BM
9、4 ，3415415432452525252523252例4题解图 PC2CD2PD2 (t3)2，PB2PM2BM2t2 ，BC225，当BCP是直角三角形时，则有：(i)当BCP90时，即PCBC，有PC2BC2PB2，即 (t3)225t2 ，解得t ，此时点P的坐标为(，)；(ii)当PBC90时，即BPBC，有BP2BC2PC2，即t2 25 (t3)2，解得t2，此时点P的坐标为(，2)；2549425494193193529425452例4题解图(iii)当BPC90时，即CPBP，有BP2PC2BC2，即t2 (t3)225，解得t1 ，t2 ，此时点P的坐标为(，)，(，)，
10、综上可得，存在满足条件的点P，点P的坐标为(，)，(，2)，(，)，(，)942543+2 6232 6252193523+2 625232 625252523+2 6232 62例4题解图 备考指导二次函数与直角三角形判定结合的问题，解决的方法一般为：1.用点坐标表示三角形三边长的平方；2.根据直角三角形的性质，对直角顶点进行分类讨论，利用勾股定理分 别列方程；3.分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，则不存在这样的三角形 此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算注：其他常见方法有：作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似比列方程求解；平移垂线法：若以AB为直角边，且AB的一条垂线的解析式易求(通常 为过原点O且与AB垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A或点 B，得到相应解析式，再联立方程求解
