1、第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算(全国卷5年16考)【知识梳理知识梳理】1.1.导数的概念导数的概念(1)(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数定义定义:称函数称函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率_为函数为函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数,记作记作f(xf(x0 0)或或 ,即即f(xf(x0 0)=)=.00 x0 x0f(xx)f(x)ylimlimxx 0 x xy|,x0ylimx 00 x0f(xx)f(x)limx 几何意义几何意义:函数函数f(x)f
2、(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)的几何的几何意义是曲线意义是曲线y=f(x)y=f(x)在点在点_处的处的_,_,相应的切线方程为相应的切线方程为_._.(x(x0 0,f(x,f(x0 0)切线斜率切线斜率y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0)(2)(2)函数函数f(x)f(x)的导函数的导函数:称函数称函数f(x)=_f(x)=_为为f(x)f(x)的导函数的导函数.x0f(xx)f(x)limx 2.2.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(1)c=0.(2)(x(1)c=0.(2)(x)=)=x x-1-1
3、(QQ*).(3)(sin x).(3)(sin x)=cos x.(4)(cos x)=-sin x.=cos x.(4)(cos x)=-sin x.(5)(a(5)(ax x)=a)=ax xln a.(6)(eln a.(6)(ex x)=e)=ex x.(7)(log.(7)(loga ax)=.x)=.(8)(ln x)=.(8)(ln x)=.1xln a1x3.3.导数的运算法则导数的运算法则(1)f(x)(1)f(x)g(x)=_.g(x)=_.(2)f(x)g(x)=_.(2)f(x)g(x)=_.(3)=_.(3)=_.f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)+f
4、(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)g x0g(x)4.4.复合函数求导法则复合函数求导法则f(g(x)=ff(g(x)=fg gggx x.【常用结论常用结论】1.1.注意两类切线问题的区别注意两类切线问题的区别(1)“(1)“过过”与与“在在”:曲线曲线y=f(x)“y=f(x)“在点在点P(xP(x0 0,y,y0 0)处的切处的切线线”与与“过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0)的切线的切线”的区别的区别:前者前者P(xP(x0 0,y,y0 0)为切点为切点,而后者而后者P(xP(x0 0,y,y0 0)不一定为切点不
5、一定为切点.(2)“(2)“切点切点”与与“公共点公共点”:曲线的切线与曲线的公共曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有而直线与二次曲线相切只有一个公共点一个公共点.2.2.正确求导三点注意正确求导三点注意(1)(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆防止与乘法公式混淆.(2)f(x(2)f(x0 0)代表函数代表函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的导数值处的导数值;(f(x;(f(x0 0)是函数值是函数值f(xf(x0 0)的导数的导数,而函数值而函数值
6、f(xf(x0 0)是一个常量是一个常量,其导其导数一定为数一定为0,0,即即(f(x(f(x0 0)=0.)=0.(3)(3)对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数,参数是常量参数是常量,其导数为零其导数为零.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数值与处的导数值与xx值的正、负无值的正、负无关关.(.()(2)(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间瞬时变化率是刻画某函数值在区间xx1 1
7、,x,x2 2 上变化快上变化快慢的物理量慢的物理量.(.()(3)(3)在导数的定义中在导数的定义中,x,y,x,y都不可能为零都不可能为零.(.()(4)(4)对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),当当x x从从x x1 1变为变为x x2 2时时,函数值从函数值从f(xf(x1 1)变为变为f(xf(x2 2),),若记若记x=xx=x2 2-x-x1 1,y=f(x,y=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1),),则则y=f(x)y=f(x)的平均变化率为的平均变化率为 ()122212f xf xf(xx)f xy.xxxx提示提示:(1).(1).由导数的定义知由导数的定义
8、知,函数在函数在x=xx=x0 0处的导数只处的导数只与与x x0 0有关有关,所以正确所以正确.(2)(2).瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量,所以错误所以错误.(3)(3).在导数的定义中在导数的定义中,y,y可以为零可以为零,所以错误所以错误.(4).f(x)(4).f(x)平均变化率为平均变化率为 2121f xf xyxxx122212f xf xf(xx)f x.xxx2.2.若存在过点若存在过点(1,0)(1,0)的直线与曲线的直线与曲线y=xy=x3 3和和y=axy=ax2 2+x-9+x-9都相切都相切,则则a=_.a=_.1
9、54【解析解析】设过点设过点(1,0)(1,0)的直线与的直线与y=xy=x3 3相切于点相切于点(x(x0 0,),),所以切线方程为所以切线方程为y-=3 (x-xy-=3 (x-x0 0),),即即y=3 x-2 ,y=3 x-2 ,又又(1,0)(1,0)在切线上在切线上,则则x x0 0=0=0或或x x0 0=,=,当当x x0 0=0=0时时,切线方程为切线方程为y=0,y=0,则则axax2 2+x-9=0,+x-9=0,易知易知a0,a0,=-4a=-4a(-9)=0,(-9)=0,解得解得a=-.a=-.30 x30 x20 x20 x30 x32154215()42564
10、当当x x0 0=时时,切线方程为切线方程为y=x-.y=x-.由由y=axy=ax2 2+x-9,+x-9,得得axax2 2-3x-=0,-3x-=0,易知易知a0,a0,=(-3)=(-3)2 2-4a-4a =0,=0,解得解得a=-1.a=-1.故故a=-a=-或或a=-1.a=-1.答案答案:-1-1或或-32274274154949()425642564题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(选修选修2-2P132-2P13导数的计算改编导数的计算改编)已知函数已知函数f(x)f(x)可导可导,则则 等于等于()A.f(x)A.f(x)B.f(2)B.f(2)C.f(x)C.f
11、(x)D.f(2)D.f(2)x0f(22 x)f 2lim2 x 【解析解析】选选B.B.因为因为f(x)f(x)可导可导,所以所以f(x)=f(x)=所以所以 =f(2).=f(2).x0f(xx)f xlim,x x0f(22 x)f 2lim2 x 2.(2.(选修选修2-2P18A2-2P18A组组T5T5改编改编)已知函数已知函数f(x)=2xf(1)+f(x)=2xf(1)+xln x,xln x,则则f(1)=f(1)=()A.eA.eB.1B.1C.-1C.-1D.-eD.-e【解析解析】选选C.C.求导可得求导可得f(x)=2f(1)+1+ln x,f(x)=2f(1)+1
12、+ln x,令令x=1x=1得得,f(1)=-1.,f(1)=-1.3.(3.(选修选修2-2P18A2-2P18A组组T6T6改编改编)设函数设函数f(x)=xf(x)=x3 3+(a-1)x+(a-1)x2 2+ax,+ax,若若f(x)f(x)为奇函数为奇函数,则曲线则曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,0)(0,0)处的切线方处的切线方程为程为()A.y=-2xA.y=-2xB.y=-xB.y=-xC.y=2xC.y=2xD.y=xD.y=x【解析解析】选选D.D.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+(a-1)x+(a-1)x2 2+ax,+ax,由由f(x)f(x)为奇函为
13、奇函数数,可得可得a=1,a=1,所以函数所以函数f(x)=xf(x)=x3 3+x,+x,可得可得f(x)=3xf(x)=3x2 2+1,+1,曲曲线线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,0)(0,0)处的切线的斜率为处的切线的斜率为f(0)=1,f(0)=1,则曲则曲线线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,0)(0,0)处的切线方程为处的切线方程为y=x.y=x.考点一导数的计算考点一导数的计算【题组练透题组练透】1.1.下列求导运算正确的是下列求导运算正确的是()A.=xA.=xB.(xB.(x2 2e ex x)=2x+e)=2x+ex xC.(xcos x)=-sin xC.(x
14、cos x)=-sin xD.D.=1+=1+1()ln x1(x)x21x【解析解析】选选D.D.对于对于A:=-(ln x)=-,A:=-(ln x)=-,对于对于B:(xB:(x2 2e ex x)=(x)=(x2 2+2x)e+2x)ex x,对于对于C:(xcos x)=cos x-xsin x,C:(xcos x)=cos x-xsin x,对于对于D:=1+.D:=1+.1()ln x21ln x21xln x1(x)x21x2.2.求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=x(ln x+cos x).(1)y=x(ln x+cos x).(2)y=(2)y=(3)y=ln x
15、.(3)y=ln x.(4)y=x(4)y=x5 5-4x-4x3 3+3x.+3x.sin xx.xx【解析解析】(1)y=ln x+cos x+x (1)y=ln x+cos x+x =ln x+cos x-xsin x+1.=ln x+cos x-xsin x+1.(2)y=(2)y=(3)y=ln x+=(3)y=ln x+=(4)y=5x(4)y=5x4 4-12x-12x2 2+3.+3.1(sin x)x2cos x1 xsin xxx2xcos xsin x.x11()2x1xx2ln x.2 x【规律方法规律方法】函数的导数公式和导数的运算法则是求函数导数的关函数的导数公式和
16、导数的运算法则是求函数导数的关键键.考点二导数公式、法则的灵活运用考点二导数公式、法则的灵活运用【典例典例】已知函数已知函数f(x)=(2x+1)ef(x)=(2x+1)ex x,f(x),f(x)为为f(x)f(x)的导的导函数函数,则则f(0)f(0)的值为的值为_._.【解析解析】因为因为f(x)=(2x+1)ef(x)=(2x+1)ex x,所以所以f(x)=2ef(x)=2ex x+(2x+1)e+(2x+1)ex x,所以所以f(0)=2ef(0)=2e0 0+(2+(20+1)e0+1)e0 0=2+1=3.=2+1=3.答案答案:3 3【误区警示误区警示】求导时应注意导数的运算
17、法则求导时应注意导数的运算法则.【互动探究互动探究】1.(2018 1.(2018延安模拟延安模拟)函数函数f(x)=ln x+af(x)=ln x+a的导函数为的导函数为f(x),f(x),若方程若方程f(x)=f(x)f(x)=f(x)的根的根x x0 0小于小于1,1,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为()A.(1,+)A.(1,+)B.(0,1)B.(0,1)C.(1,)C.(1,)D.(1,)D.(1,)32【解析解析】选选A.A.由函数由函数f(x)=ln x+af(x)=ln x+a可得可得f(x)=,f(x)=,由于使得由于使得f(xf(x0 0)=f(x)=f(x0
18、0)成立的成立的0 x0 x0 01,1,则则 =ln x=ln x0 0+a+a(0 x(0 x0 01).1,ln x1,ln x0 00,1,1,故有故有a1.a1.1x01x01x01x2.(20192.(2019汕头模拟汕头模拟)已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+3xf(0),+3xf(0),则则f(1)=_.f(1)=_.13【解析解析】根据题意根据题意,f(x)=x,f(x)=x3 3+3xf(0),+3xf(0),则其导数则其导数f(x)=xf(x)=x2 2+3f(0),+3f(0),令令x=0 x=0可得可得:f(0)=3f(0),:f(0)=3f(0),解得解得f(
19、0)=0,f(0)=0,则则f(x)=xf(x)=x2 2,则有则有f(1)=1.f(1)=1.答案答案:1 113【规律方法规律方法】导数运算的两个技巧导数运算的两个技巧 (1)(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商的和、差、积、商,再利用运算法则求导数再利用运算法则求导数.(2)(2)在求导过程中在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则紧扣法则,记准公式记准公式,避免运算错误避免运算错误.【对点训练对点训练】若函数若函数f(x)f(x)满足对任意的满足对任意的xRxR都有都有
20、|f(x)+f(x)|2|f(x)+f(x)|2(其中其中f(x)f(x)为为f(x)f(x)的导函数的导函数),),则则f(x)f(x)的解析式不可能的解析式不可能是是()A.sin xA.sin xB.eB.e-x-xC.C.D.D.21x125xx1【解析解析】选选D.D.根据题意根据题意,依次分析选项依次分析选项:对于对于A,f(x)=sin x,A,f(x)=sin x,则则f(x)=cos x,f(x)=cos x,则则|f(x)+f(x)|f(x)+f(x)|=|sin x+cos x|=|sin x+cos x|=有有|f(x)+f(x)|2,|f(x)+f(x)|2,符合题意
21、符合题意;对于对于B,f(x)=eB,f(x)=e-x-x,则则f(x)=-ef(x)=-e-x-x,则则|f(x)+f(x)|=|f(x)+f(x)|=|e|e-x-x-e-e-x-x|=0,|=0,符合题意符合题意;2|sin(x)|4，对于对于C,f(x)=,C,f(x)=,则则f(x)=-,f(x)=-,则则|f(x)+|f(x)+f(x)|=2,f(x)|=2,符合题意符合题意;对于对于D,f(x)=,D,f(x)=,则则f(x)=f(x)=则则|f(x)+f(x)|=|f(x)+f(x)|=当当x=1x=1时不能满足时不能满足|f(x)+f(x)|2.|f(x)+f(x)|2.21
22、x1222xx1222222x112x|x1x1x125xx122255xx1，22225x55xx1x1|，考点三导数几何意义的运用考点三导数几何意义的运用【明考点明考点知考法知考法】因为导数的几何意义涉及与切线的斜率、切线方因为导数的几何意义涉及与切线的斜率、切线方程、导数等知识点交汇考查程、导数等知识点交汇考查,因此高考经常在此处命题因此高考经常在此处命题,常以选择、填空题的形式出现常以选择、填空题的形式出现,分值约为分值约为5 5分分,解题过程解题过程中常常渗透数学运算的核心素养中常常渗透数学运算的核心素养.命题角度命题角度1 1已知切点求切线方程问题已知切点求切线方程问题【典例典例】
23、(2018(2018德州模拟德州模拟)已知已知f(x)f(x)为偶函数为偶函数,当当x0 x0时时,f(x)=e,f(x)=e-x-1-x-1-x,-x,则曲线则曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,2)(1,2)处的切线方处的切线方程是程是_._.【解析解析】因为因为f(x)f(x)为偶函数为偶函数,当当x0 x0时时,f(x)=e,f(x)=e-x-1-x-1-x,-x,设设x0,x0,则则-x0,-x0),f(x)=1-(x0),则则 =1-,=1-,所以所以x x0 0=e,f(e)=1-,=e,f(e)=1-,所以所求切线方程为所以所求切线方程为y=x.y=x.1x000 xln
24、 xx01x1e1(1)e【状元笔记状元笔记】未知切点时未知切点时,应先设切点应先设切点,再根据题中条件把切点解出再根据题中条件把切点解出.【对点练对点练找规律找规律】(2018(2018北京高考北京高考)设函数设函数f(x)=axf(x)=ax2 2-(3a+1)x+3a+2e-(3a+1)x+3a+2ex x.若曲线若曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(2,f(2)(2,f(2)处的切线斜率为处的切线斜率为0,0,求求a.a.【解析解析】函数函数f(x)=axf(x)=ax2 2-(3a+1)x+3a+2e-(3a+1)x+3a+2ex x的导数为的导数为f(x)=axf(x)=ax2
25、2-(a+1)x+1e-(a+1)x+1ex x.由曲线由曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(2,f(2)(2,f(2)处的切线斜率为处的切线斜率为0,0,可得可得(4a-2a-2+1)e(4a-2a-2+1)e2 2=0,=0,解得解得a=.a=.12数学能力系列数学能力系列55求切线方程的求切线方程的“在在”“”“过过”两重天两重天【能力诠释能力诠释】求曲线的切线问题时求曲线的切线问题时,要明晰所运算的对要明晰所运算的对象象(切线切线)涉及的点是涉及的点是“在在”还是还是“过过”,然后利用求切然后利用求切线方程的方法进行求解线方程的方法进行求解.(1)“(1)“在在”曲线上一点处的切线问
26、题曲线上一点处的切线问题,先对函数求导先对函数求导,代代入点的横坐标得到斜率入点的横坐标得到斜率.(2)“(2)“过过”曲线上一点的切线问题曲线上一点的切线问题,此时该点未必是切此时该点未必是切点点,应先设切点应先设切点,求切点坐标求切点坐标.【典例典例】(2019(2019资阳模拟资阳模拟)已知函数已知函数f(x)=ln x,f(x)=ln x,它在它在x=xx=x0 0处的切线方程为处的切线方程为y=kx+b,y=kx+b,则则k+bk+b的取值范围是的取值范围是()A.(-,-1A.(-,-1B.(-,0B.(-,0C.1,+)C.1,+)D.0,+)D.0,+)【解析解析】选选D.D.
27、根据题意根据题意,函数函数f(x)=ln x,f(x)=ln x,其导数为其导数为f(x)=,f(x)=,则有则有f(xf(x0 0)=,)=,即即k=,k=,又由切点的坐标为又由切点的坐标为(x(x0 0,ln x,ln x0 0),),则切线的方程为则切线的方程为y-lnxy-lnx0 0=k(x-x=k(x-x0 0),),变形可得变形可得:y=kx-kx:y=kx-kx0 0+ln x+ln x0 0,则有则有b=ln xb=ln x0 0-1,-1,1x01x01x则则k+b=+(ln xk+b=+(ln x0 0-1),-1),设设g(x)=(ln x-1)+,g(x)=(ln x
28、-1)+,则有则有g(x)=g(x)=在在(0,1)(0,1)上上,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)在在(1,+)(1,+)上为增函数上为增函数,则则g(x)g(x)的最小值为的最小值为g(1)=0,g(1)=0,则有则有k+b=(ln xk+b=(ln x0 0-1)+0,-1)+0,即即k+bk+b的取值范围是的取值范围是0,+).0,+).01x【技法点拨技法点拨】本题考查函数的切线本题考查函数的切线,涉及函数的最值计算涉及函数的最值计算,关键是求出关键是求出k,bk,b的表达式的表达式.根据题意根据题意,由函数导数的几何意义分析可由函数导数的几何意义分析
29、可得得k,bk,b的值的值,则有则有k+b=(lnxk+b=(lnx0 0-1)+,-1)+,设设g(x)=(lnx-1)+,g(x)=(lnx-1)+,对其求导可得对其求导可得g(x),g(x),分析可得分析可得g(x)g(x)在在(0,+)(0,+)上的单调上的单调性以及单调区间性以及单调区间,进而可得进而可得g(x)g(x)的最小值的最小值,即可得即可得k+bk+b的的取值范围取值范围,即可得答案即可得答案.01x1x【即时训练即时训练】已知曲线已知曲线y=xy=x3 3上的一点上的一点P ,P ,求这条曲线过点求这条曲线过点P P的的切线方程切线方程.138(2,)3【解析解析】当点当
30、点P P是切点时是切点时,y|,y|x=2x=2=x=x2 2|x=2x=2=4,=4,所以切线方程为所以切线方程为y-=4(x-2),y-=4(x-2),即即12x-3y-16=0.12x-3y-16=0.当点当点P P不是切点时不是切点时,设切点为设切点为Q(xQ(x0 0,y,y0 0),),则切线方程为则切线方程为y-(x-xy-(x-x0 0),),8332001xx3因为切线过点因为切线过点P ,P ,把点把点P P的坐标代入切线方程的坐标代入切线方程,求得求得x x0 0=-1=-1或或x x0 0=2(=2(即点即点P,P,舍去舍去),),所以切点为所以切点为Q ,Q ,即所求
31、切线方程为即所求切线方程为3x-3y+2=0.3x-3y+2=0.综上所述综上所述,过点过点P P的切线方程为的切线方程为12x-3y-16=012x-3y-16=0或或3x-3y+2=0.3x-3y+2=0.8(2,)31(1,)3 第二节利用导数研究函数的单调性(全国卷5年6考)【知识梳理知识梳理】1.1.利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性在在(a,b)(a,b)内可导函数内可导函数f(x),f(x),f(x)0f(x)0f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上为上为_._.f(x)0f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0(1)f(x)0是函数是函数f(x)f(x)为
32、增函数的充分不必要条件为增函数的充分不必要条件.(2)f(x)0(2)f(x)0是函数是函数f(x)f(x)为减函数的必要不充分条件为减函数的必要不充分条件.3.3.确定单调区间端点值的三个依据确定单调区间端点值的三个依据(1)(1)导函数等于零的点导函数等于零的点.(2)(2)函数不连续的点函数不连续的点.(3)(3)函数不可导的点函数不可导的点.4.4.三点注意三点注意(1)(1)在函数定义域内讨论导数的符号在函数定义域内讨论导数的符号.(2)(2)两个或多个增两个或多个增(减减)区间之间的连接符号区间之间的连接符号,不用不用“”“”,可用可用“,”,”或用或用“和和”.(3)(3)区间端
33、点可以属于单调区间区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区也可以不属于单调区间间.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)如果恒有如果恒有f(x)=0,f(x)=0,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)在这个区间内在这个区间内是常数函数是常数函数.()(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在定义域上都有在定义域上都有f(x)0,f(x)0f(x)0恒成立恒成立.()提示提示:(1).(1).(2)(2).不一定不一定,如函数如函数y=y=的导函数的导函数y=-0y=-0恒成立恒成立,但是函数但
34、是函数y=y=的图象不是恒下降的的图象不是恒下降的.(3)(3).不一定不一定,如如y=xy=x3 3在在-1,3-1,3上单调递增上单调递增,但是但是y=3xy=3x2 2在在x=0 x=0处的值为处的值为0.0.1x21x1x题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(选修选修2-2P26T12-2P26T1改编改编)函数函数f(x)=x-ln xf(x)=x-ln x的单调递减区的单调递减区间为间为()A.(0,1)A.(0,1)B.(0,+)B.(0,+)C.(1,+)C.(1,+)D.(-,0)(1,+)D.(-,0)(1,+)【解析解析】选选A.A.函数的定义域是函数的定义域是(0,
35、+),(0,+),且且f(x)=1-f(x)=1-令令f(x)0,f(x)0,得得0 x1.0 x0 x0时时,h(x)0;,h(x)0;当当x0 x0时时,h(x)0.,h(x)0a0时时,g(x)=(x-a)(x-sin x),g(x)=(x-a)(x-sin x),当当x(-,0)x(-,0)时时,x-a0,g(x),x-a0,g(x)单调递增单调递增;当当x(0,a)x(0,a)时时,x-a0,g(x)0,g(x),x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x),x-a0,g(x)0,g(x)单调递增单调递增.综上综上,当当a=0a=0时时,g(x),g(x)在在(-,+)(-,+)上单调
36、递增上单调递增;当当a0a0时时,g(x),g(x)在在(-,0)(-,0)和和(a,+)(a,+)上单调递增上单调递增,在在(0,a)(0,a)上单调递减上单调递减.考点一利用导数讨论考点一利用导数讨论(或证明或证明)函数单调性函数单调性【题组练透题组练透】1.1.函数函数f(x)=f(x)=的图象大致为的图象大致为()xex【解析解析】选选B.B.函数函数f(x)=f(x)=的定义域为的定义域为x|x0,xR,x|x0,xR,当当x0 x0时时,函数函数f(x)=,f(x)=,可得函数的极值点为可得函数的极值点为:x=1,x=1,当当x(0,1)x(0,1)时时,函数是减函数函数是减函数,
37、x1,x1时时,函数是增函函数是增函数数,并且并且f(x)0,f(x)0,选项选项B B、D D满足题意满足题意.当当x0 x0时时,函数函数f(x)=0,f(x)=0f(x)0恒成立恒成立,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增.若若a0,a0,则当则当x x 时时,f(x)0;x ,f(x)0;x 时时,f(x)0,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0,+);(0,+);当当a0a0时时,f(x)=2x-,f(x)=2x-axa32a2xaxx2a2a2(x)(x)22.x当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f
38、(x),f(x)的变化情况如下的变化情况如下:所以所以f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是 ,单调递增区间是单调递增区间是 2a(0,)22a(,).2【规律方法规律方法】要特别注意的是要特别注意的是,涉及含参数的单调性涉及含参数的单调性或单调区间问题或单调区间问题,一定要弄清参数对导数一定要弄清参数对导数f(x)f(x)在某一在某一区间内的符号是否有影响区间内的符号是否有影响.若有影响若有影响,则必须分类讨论则必须分类讨论.考点二利用导数求函数的单调区间考点二利用导数求函数的单调区间【典例典例】(2018(2018杭州模拟杭州模拟)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-
39、ax+-ax+(a-1)ln x,(a-1)ln x,当当a0a0时时,求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间.12【解析解析】由题知由题知,函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(0,+),(0,+),f(x)=x-a+f(x)=x-a+令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x x1 1=1,x=1,x2 2=a-1,=a-1,当当a2a2时时,a-11,a-11,在区间在区间(0,1)(0,1)和和(a-1,+)(a-1,+)上上f(x)0;f(x)0;2xaxa1x1x1 aa1xxx，在区间在区间(1,a-1)(1,a-1)上上f(x)0,f(x)0,故函数故函数f(
40、x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,1)(0,1)和和(a-1,+),(a-1,+),单调单调递减区间是递减区间是(1,a-1).(1,a-1).当当a=2a=2时时,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立,故函数故函数f(x)f(x)的单调递增的单调递增区间是区间是(0,+).(0,+).当当1a21a2时时,0a-11,0a-10;f(x)0;在在(a-1,1)(a-1,1)上上f(x)0,f(x)1,f(x)=x-1,x1时时f(x)0,x0,x1时时f(x)0,f(x)0,函数函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(1,+),(1,+),单调递减区间是单调递减区
41、间是(0,1).(0,1).当当0a10a1时时,a-10,a-12a2时函数时函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,1)(0,1)和和(a-1,+),(a-1,+),单调递减区间是单调递减区间是(1,a-1);(1,a-1);当当a=2a=2时时,函数函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,+);(0,+);当当1a21a2时时,函数函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,a-1),(0,a-1),(1,+),(1,+),单调递减区间是单调递减区间是(a-1,1);(a-1,1);当当0a100:f(x)0时为增函数时为增函数,f(x)
42、0,f(x)0a0时时,当当0 x10 x0;,f(x)0;当当x1x1时时,f(x)0.f(x)0a0时时,函数函数f(x)f(x)单调递增区间为单调递增区间为(0,1),(0,1),单调递减区单调递减区间为间为(1,+).(1,+).1 ln x2ax222aln xln x,x0.2ax2ax 若若a0a0时时,当当0 x10 x1时时,f(x)0;,f(x)1x1时时,f(x)0.,f(x)0.即即a0a0时时,函数函数f(x)f(x)单调递增区间为单调递增区间为(1,+),(1,+),单调递减单调递减区间为区间为(0,1).(0,1).考点三利用导数解决函数单调性的应用问题考点三利用
43、导数解决函数单调性的应用问题【明考点明考点知考法知考法】利用导数解决函数单调性的应用问题多以解答题利用导数解决函数单调性的应用问题多以解答题的形式呈现的形式呈现,试题难度较大试题难度较大.命题角度命题角度1 1依据函数的单调性求参数的取值范围依据函数的单调性求参数的取值范围【典例典例】已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x-2(a-1)x-b,-2(a-1)x-b,其中其中e e为自然对为自然对数的底数数的底数.若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上是单调函数上是单调函数,试求试求实数实数a a的取值范围的取值范围.【解析解析】根据题意根据题意,函数函数f(x)=ef(
44、x)=ex x-2(a-1)x-b,-2(a-1)x-b,其导数为其导数为f(x)=ef(x)=ex x-2(a-1),-2(a-1),当函数当函数f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上单调递增时上单调递增时,f(x)=ef(x)=ex x-2(a-1)0-2(a-1)0在区间在区间0,10,1上恒成立上恒成立,所以所以2(a-1)(e2(a-1)(ex x)minmin=1(=1(其中其中x0,1),x0,1),解得解得a ;a ;32当函数当函数f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上单调递减时上单调递减时,f(x)=ef(x)=ex x-2(a-1)0-2(a-1)0在区间在区间0
45、,10,1上恒成立上恒成立,所以所以2(a-1)(e2(a-1)(ex x)maxmax=e(=e(其中其中x0,1),x0,1),解得解得a +1.a +1.综上所述综上所述,实数实数a a的取值范围是的取值范围是 e23e(,1,).22【状元笔记状元笔记】求出函数的导数、变量分离求出函数的导数、变量分离,求函数最值得求函数最值得a a的取值范的取值范围围.命题角度命题角度2 2根据函数的单调性解决恒成立问题根据函数的单调性解决恒成立问题【典例典例】(2018(2018长春模拟长春模拟)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2e eaxax.(1)(1)当当a0a2g(x)-xf(x
46、)2恒成立恒成立.ln xx，【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知f(x)=ef(x)=eaxax(ax(ax2 2+2x),+2x),令令f(x)f(x)=0,=0,可得可得x=0 x=0或或x=-.x=-.又又a0,a0,则由则由f(x)0,f(x)0,得得x0 x-,x-,由由f(x)0,f(x)0,得得0 x-.0 x-.所以函数所以函数f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)和和 上单调递上单调递减减,在在 上单调递增上单调递增.2a2a2a2()a，2(0)a，(2)(2)在在(1)(1)条件下条件下,当当-1,-1,即即-2a0-2a0时时,f(x),f(x)在在0,10,1
47、上单调递增上单调递增,则则f(x)f(x)的最大值为的最大值为f(1)=ef(1)=ea a;当当-1,-1,即即a-2a2,g(x)-xf(x)2,即证即证(2-3(2-3x x)e)ex x2+2+令令h(x)=(2-xh(x)=(2-x3 3)e)ex x,则则h(x)=(-xh(x)=(-x3 3-3x-3x2 2+2)e+2)ex x=-e=-ex x(x+1)(x(x+1)(x2 2+2x-2),+2x-2),又又x(0,1),x(0,1),易知在易知在(0,1)(0,1)上上h(x)h(x)存在极大值点存在极大值点,又又h(0)=2,h(1)=e,h(0)=2,h(1)=e,ln
48、 xx，则则h(x)h(x)在在(0,1)(0,1)上恒大于上恒大于2,2,而而2+2+在在(0,1)(0,1)上恒小于上恒小于2,2,因此因此g(x)-xf(x)2g(x)-xf(x)2在在(0,1)(0,1)上恒成立上恒成立.ln xx【状元笔记状元笔记】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)(1)由函数在区间由函数在区间a,ba,b上单调递增上单调递增(减减)可知可知f(x)f(x)0(f(x)0)0(f(x)0)在区间在区间a,ba,b上恒成立列出不等式上恒成立列出不等式.(2)(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题利用分离参
49、数法或函数的性质求解恒成立问题.(3)(3)对等号单独检验对等号单独检验,检验参数的取值能否使检验参数的取值能否使f(x)f(x)在在整个区间恒等于整个区间恒等于0,0,若若f(x)f(x)恒等于恒等于0,0,则参数的这个值则参数的这个值应舍去应舍去;若只有在个别点处有若只有在个别点处有f(x)=0,f(x)=0,则参数可取这则参数可取这个值个值.命题角度命题角度3 3依据函数单调性解综合问题依据函数单调性解综合问题【典例典例】已知函数已知函数f(x)=(xf(x)=(x2 2+ax+b)e+ax+b)ex x,当当b1b1时时,函数函数f(x)f(x)在在(-,-2),(1,+)(-,-2)
50、,(1,+)上均为增函数上均为增函数,则则 的最的最大值为大值为_._.aba2【解析解析】由函数的解析式可得由函数的解析式可得:f(x)=e:f(x)=ex xxx2 2+(a+2)x+(a+2)x+(a+b),(a+b),函数函数f(x)f(x)在在(-,-2),(1,+)(-,-2),(1,+)上均为增函数上均为增函数,则在则在(-,-2),(1,+)(-,-2),(1,+)上上x x2 2+(a+2)x+(a+b)0+(a+2)x+(a+b)0恒成立恒成立,又由已知又由已知b1,b1,所以所以 画出满足条件的平面区域画出满足条件的平面区域,如图所示如图所示:42 a2ab0,ab0,1
