1、2021年中考数学总复习第三章-函数-微专题-整点问题(2)直线直线ym交交y轴于点轴于点P，交线段，交线段AB于点于点C，记线段，记线段AP、PC、CA围成的区域围成的区域(不含边不含边界界)为为W1.当当m1时，区域时，区域W1内的整点个数为内的整点个数为_个；个；若区域若区域W1内恰有内恰有3个整点，则个整点，则m的取值范围是的取值范围是_；312m(3)直线直线yxb交交y轴于点轴于点H、交线段、交线段AB于点于点G，记线段，记线段AH、HG、GA围成的区域围成的区域(不不含边界含边界)为为W2.当当b0时，区域时，区域W2内的整点个数为内的整点个数为_个；个；若区域若区域W2内恰有内
2、恰有4个整点，则个整点，则b的取值范围是的取值范围是_；(4)直线直线ykx1(k0)交交x轴于点轴于点M，交线段，交线段AB于点于点N，记线段，记线段MN、NB、BM围成围成的区域的区域(不含边界不含边界)为为W3.当当k1时，区域时，区域W3内的整点个数为内的整点个数为_个；个；若区域若区域W3内恰有内恰有4个整点，则个整点，则k的取值范围是的取值范围是_2-10b4112k=12m2213m(3)直线直线yxb与双曲线交于点与双曲线交于点M，直线，直线xb分别与直线分别与直线yxb交于点交于点F，与双曲线，与双曲线交于点交于点E.记曲线记曲线ME与线段与线段FE、MF围成的区域围成的区域
3、(不含边界不含边界)为为W2.当当b2时，区域时，区域W2内的整点个数为内的整点个数为_个；个；若若W2区域内恰有区域内恰有2个整点，则个整点，则b的取值范围是的取值范围是_00123bb第3题图44.(2020万唯河北大模考万唯河北大模考)在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线数的点为整点如图，已知双曲线 经过点经过点A(2，2)，记双曲线与两坐标轴，记双曲线与两坐标轴之间的部分为之间的部分为G(不含双曲线与坐标轴不含双曲线与坐标轴)(1)求求k的值；的值；()0kyxx=解：解：(1)经过点经过点A(
4、2，2)，k4；kyx=22k=(2)求求G内整点的个数；内整点的个数；解：解：(2)对于双曲线对于双曲线 当当x1时，时，y4，在直线在直线x1上，当上，当0y4时，有整点时，有整点(1，1)，(1，2)，(1，3)，当当x2时，时，y2，在直线在直线x2上，当上，当0y2时，有整点时，有整点(2，1)；当当x3时，时，在直线在直线x3上，当上，当 时，有整点时，有整点(3，1)；当当x4时，时，y1，在直线在直线x4上，当上，当0y1时，时，G内没有整点内没有整点G内整点的个数为内整点的个数为5个；个；4yx=43y=403y 3)在直线在直线y2x4上，过点上，过点B分别作平行于分别作平
5、行于x轴、轴、y轴的直线，交轴的直线，交双曲线双曲线 于点于点C、D，记线段，记线段BC、BD、双曲线所围成的区域为、双曲线所围成的区域为W，若，若W内内部部(不包括边界不包括边界)不超过不超过8个整点，求个整点，求m的取值范围的取值范围()0kyxx=解：解：(3)如解图，当如解图，当m4时，点时，点B(4，4)，点，点C(1，4)，点，点D(4，1)，此时在区域，此时在区域W内有内有(2，3)、(3，2)、(3，3)共共3个整点线段个整点线段BD上有上有4个整点，线段个整点，线段BC上有上有4个整点个整点点点(4，4)重合，点重合，点(4，1)、(1，4)在边界上，在边界上，当当m4时，区
6、域时，区域W内至少有内至少有34438个整点当个整点当m4.5时，时，B(4.5，5)，线段，线段BC上有上有4个整点，此时区域个整点，此时区域W内整点个数为内整点个数为8个当个当m4.5时，区域时，区域W内部整点个数增加内部整点个数增加若若W内部内部(不包括边界不包括边界)不超过不超过8个整点，个整点，3m4.5.,455C骣琪琪桫例例3 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线yx22mx2m2.我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点(1)当抛物线经过原点，且当抛物线经过原点，且100 x100时，抛物线上时，抛物线上的整点个数为的整点个
7、数为_个；个；(2)当抛物线与当抛物线与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为(0，2)时，抛物线与时，抛物线与x轴围成的区域轴围成的区域(含边界含边界)记作记作G1，则区域，则区域G1内整点的个内整点的个数为数为_个；个；类型三二次函数的整点问题类型三二次函数的整点问题2017(3)抛物线与直线抛物线与直线yx2交于交于C、D两点两点(点点C在点在点D的左侧的左侧)，将曲线，将曲线CD与线段与线段CD围成的图形记作围成的图形记作G2(不包含边界不包含边界)，若，若G2内恰有两个整点，求内恰有两个整点，求m的取值范围；的取值范围；解解:(3)直线直线yx2与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(-2，0)
8、，如解图，如解图，抛物线抛物线yx22mx2m2的对称轴为直线的对称轴为直线 .当抛当抛物线的对称轴物线的对称轴xm在在y轴左侧时，要使区域轴左侧时，要使区域G2内有两个整点，内有两个整点，则当则当m2时，抛物线为时，抛物线为yx22mx2m2x24x2，令令x24x2x2，解得，解得x14，x21.易得点易得点C(4，2)，点，点D(1，1)，将，将x3，分别代入直线，分别代入直线yx2和和抛物线抛物线yx24x2，得到点，得到点(3，1)，(3，1)，点点(3，0)在区域在区域G2内，易得抛物线的顶点坐标为内，易得抛物线的顶点坐标为(2，2)，2mxmm-=-=点点(2，1)在在G2内；当
9、内；当m2时，点时，点(2，2)在在G2内，此时整点个数大于内，此时整点个数大于2个；个；当抛物线经过点当抛物线经过点(3，0)时，此时时，此时G2内只有整点内只有整点(2，1)，将点，将点(3，0)代入代入yx22mx2m2，可得，可得 ，当区域当区域G2内有两个整点，内有两个整点，；如解图所示，当抛物线的对称轴如解图所示，当抛物线的对称轴xm在在y轴右侧时，同轴右侧时，同理可得当理可得当m1时，点时，点(0，3)，(1，4)在区域在区域G2内，当内，当m1时，区域时，区域G2内的整点个数增多；内的整点个数增多；74m=-724m-当抛物线当抛物线yx22mx2m2经过点经过点(1，4)时，
10、点时，点(0，3)在区域在区域G2内，此时只有内，此时只有1个整点，将其代入抛物线解析式，个整点，将其代入抛物线解析式，可得可得 .当区域当区域G2内有两个整点，内有两个整点，.综上所述，当区域综上所述，当区域G2内有两个整点时，内有两个整点时，.314m=34m732144mm-()40yxx=34m34m 针 对 训 练针 对 训 练5.在平面直角坐标系中，经过点在平面直角坐标系中，经过点(0，3)且与且与x轴平行轴平行的直线与抛物线的直线与抛物线yx21交于交于A、B两点，两点，我们把横、我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点如纵坐标都是整数的点叫做整点如(2，3)即为整点，即为整点，若抛
11、物线与直线围成的区域为若抛物线与直线围成的区域为W1，则区域，则区域W1内内(不不包含边界包含边界)含有整点的个数是含有整点的个数是_个个76.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点直线中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点直线yax与抛物与抛物线线yax22ax1(a0)围成的封闭区域围成的封闭区域(不包含边界不包含边界)为为W.(1)求抛物线顶点坐标求抛物线顶点坐标(用含用含a的式子表示的式子表示)；解：解：(1)yax22ax1a(x1)2a1，故顶点的坐标为故顶点的坐标为(1，a1)；(2)当当 时，写出区域时，写出区域W内的所有整点坐标；内的所有整点坐标
12、；12a=解解:(2)时，联立时，联立 得得 ，大致画出直线大致画出直线 和抛物线和抛物线 的图象如下：的图象如下：从图中看，从图中看，W区域整点为解图所示区域整点为解图所示4个黑点的位置，个黑点的位置，其坐标为其坐标为(1，0)、(2，0)、(3，1)、(1，1)；=12a212112yxyxx=-1221722172xx+=-=1221742174yy+=-=12yx=2112yxx=-(3)若区域若区域W内有内有3个整点，求个整点，求a的取值范围的取值范围解解:(3)当当a0时，时，当点当点(3，1)在直线在直线yax上时，上时，3a1.，此时只有，此时只有3个整点个整点当当 时，区域时
13、，区域W内的所有整点数有内的所有整点数有4个；个；当当 时，区域时，区域W内的所有整点数多于内的所有整点数多于3个；个；13a=1132a 103a 当当a0时，时，当点当点(1，1)在直线在直线yax上时，解得上时，解得a1.此时点此时点(1，0)为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，点(2，2)也在直线也在直线yx上上当当a1时，点时，点(1，0)，(1，1)，(2，2)在区域在区域W内当点内当点(2，3)在直线在直线yax上时，解得上时，解得 ，当，当 时，点时，点(2，3)也在区域也在区域W内，此时整点个数大于内，此时整点个数大于3个个综上，区域综上，区域W内有内有3个整点时，个整点时，a的取值范围为的取值范围为32a=-32a-13132aa=-或或-
