1、第十八章 平行四边形复习平行四边形复习1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形如图：ABCD对边分别为ABCD，ADBC2、平行四边形的性质：对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，ABCD，ADBC）对角相等（A=C，B=D）对角线互相平分（BO=DO,AO=CO）ABCDO3、平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（AB=CD，AD=BC 四边形ABCD为平行四边形）ABCDO两组对角分别相等的四边形是平行四边形（BAD=DCB，ABC=ADC 四边形ABCD为平行四边形）对角线互相平分的四边形是平行四边形（AO=CO，BO=DO 四边形ABCD为平行四边形）一组对边
2、平行且相等的四边形是平行四边形（AB=CD且ABCD 四边形ABCD为平行四边形）（AD=BC且ADCD 四边形ABCD为平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形（ABCD，ADBC 四边形ABCD为平行四边形）学习检测1、如图，ABCD中，A=120，则1=。ABDC1602、如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）CABCD图19-63平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm，则AOB的周长为_4在平行四边形ABCD中，A=70，D=_,BCD=_ABDCABDCOABCD为平行四边形BO=OD，AO=OCA
3、C+BD=14BO+OD+AO+OC=14BO+AO=7AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13ABCD为平行四边形，A=70ABCD，A=BCD=70A+D=180D=180-A=180-70=11013110705、点点A、B、C、D在同一平面内，从在同一平面内，从AB/CD；ABCD；BC/AD；BCAD四个条件中任意选两个，四个条件中任意选两个，不不能使四边形能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）是平行四边形的选法有（）AB C D ABDCB6、平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）A大于2，B小于14 C大于2且小于14 D大于2或小于12C解析：三角形两边之和
4、大于第三边，两边之差小于第三边 设第三边为x 8-6x6+8，2x14解析：平行四边形的判定方法7、如图，ABCD中，AB=5，AD=8，BAD、ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF=。EABDCF2解析：BC平分BAD，DF平分ADCBAE=DAE，ADB=CDFABCD是平行四边形ADBC，AB=CD=5DAE=AEBADF=DFC,AB=5,AD=8AB=BE=5，CD=FC=5EC=BC-BE=8-5=3，BF=BC-FC=8-5=3EF=BC-BF-EC=8-3-3=28、如图，ab点，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上，如SABC=5cm2，则SBCD=。abADBC5
5、cm2解析：ABC和BCD的底边都为BC，高位a和b之间的距离，面积相同4，如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延线于点F，若BC=2AB，FBC=70，求EBC的度数FABEDC解：由 ABCD可知AB=CD DCAB DCF=EFA，AEF=DCF E为AD中点 AE=ED DECAEF CDAF,CE=EF BC=2AB，AB=CD AB=AF BF=BC EBC=FBC=70=3521215：如图：已知 ABCD，EAD=BAF（1）试证明：CEF是等腰三角形（2）猜测CE与CF的和与 ABCD 周长关系，并说明理由。EAFBCD解（1）四边形ABCD是平行四边形ADB
6、C ABCD EAD=F BAFE又 EAD=BAF E=F CECF CEF是等腰三角形（）CECF周长由（）可知FBAFEADEFBABADED周长ABBCCDDAFBBCCDEDCFCEABCDABCD4、如图，在 ABCD 中，AE、BF分别平分DAB和ABC，交CD于点E、F，AE、BF相关于点M（1）请说明：AEBF（2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明 证明(1)四边形ABCD是平行四边形 ADBC DAB DAC180又AE、BF分别平分DAB和ABC BAE DAB ABFABC BAE+ABF=（DAB+ABC）=90 AEBF212121(2)四边形ABCD是平行
7、四边形 AD=BC ABCD BAE=BFC 又 AE、BF分别平分DAB和ABC BAE=AED ABF=CBF DAF=AED CBF=BFC DE=AD CFBC DE=CF 即DE+EFCDEF DF=CEEABCDF5.在 ABCD中，AC6、AB4，则BD的范围是_6在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+4），（x-4）和(2x-1),则这个四边形的周长是 7.已知ABCD的周长为36CM,AB=8CM,BC=;当B=60时，AD BC间的距离AE=,ABCD的面积=2x1420104 3340三角形的中位线1、连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
8、。(E为AC的中点，F为AB的中点，EF为ABC中位线)2、三角形的中位线平行三角形的第三边，且等于第三边的一半.(EF为ABC中位线 EF=BC，EFBC)3、一个三角形有三条中位线。ABCEF1.在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中若BC=5，则DE的长是 2.已知：三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，连结各边中点所成三角形的周长为_ _3ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE4，AD3，AE2，则ABC的周长为_ _2.510cm18ABCED1题ABCED3题学习检测4已知：ABC中，点D、E、F分别是ABC三边的中点，如果DEF的周长是12cm，那么ABC的周长
9、是 cm24ABCED4题特殊的平行四边形矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形（四边形ABCD为平行四边形，A=90 四边形ABCD为矩形）2、矩形的性质：对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，ABCD，ADBC）四个角都是直角 （BAD=ABC=BCD=CDA=90）对角线相等且互相平分 （AC=BD，BO=DO,AO=CO）3、注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 BCD中，BCD=90，CO是BD中线 CO=BD（或CO=BO=OD）矩形的判定：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 四边形ABCD是平行四边形，ABC=90 四边形ABCD为矩形2、对角线相等的平行四边形
10、是矩形 四边形ABCD为平行四边形，AC=BD 四边形ABCD为矩形3、有三个角是直角的四边形是矩形 ABC=BCD=CDA=90 四边形ABCD为矩形学习检测1.RtABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为 。2已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120，则矩形的边长分别为 _cm，cm，cm，cm3下列说法错误的是（）A、矩形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相等C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.555 355 3C4.如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BC于O为对角线AC、BD的交点，且CAE15，（1）求证：
11、AOB为等边三角形；（2）求BOE的度数 ABE为等腰直角三角形(1)证明：四边形ABCD是矩形 BAD=90 AC=BDOA=AC,OB=ODOA=OB又AE平分BADBAE=45CAE15BAO=BAE+CAE=60AOB为等边三角形(2)解：由（1）可知：BAE=45，AB=OB ABO=60又ABC=90ABCDEO18030752AB=BE OB=BEBOE=BEO又EBO=ABC-ABO=90-60=30BOE=5.将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，B C=6，求AG的长。GDCBAA22221068BCAB解:矩形纸片ABC
12、DDAB=90AD=BC,AB=CDBD=又 ADG沿DG折叠得到 ADGAD=AD,AG=AGAB=AB-AD=10-6=4设AG=XBG=AB-AG=8-X由勾股定理得：AB2+AG2=BG2 ADG ADG42+x2=（8-x）2 解得：x=3AG=36.如图，在平行四边ABCD中，E.F为BC上的两点，且BE=CF,AF=DE.求证：(1)ABF DCE;(2)四边形ABCD是矩形 证明：（1）四边形ABCD是平行四边形AB=CD又BE=CF,BE+EF=CF+EF,BF=CE.在ABF和DCE中，AB=CD,BF=CE,AF=DF(2)由（1）的结论知B=C平行四边形ABCD,ABC
13、DB+C=180 B=90四边形ABCD是矩形ABCEFD7.（2011中考题）如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形证明：CE平分BCA,1=2，又MNBC,1=3，3=2，EO=CO.同理，FO=COEO=FO又OA=OC,四边形AECF是平行四边形又1=2，4=5，1+5=2+4.又1+5+2+4=1802+4=90四边形AECF是矩形21345特殊的平
14、行四边形菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 四边形ABCD为平行四边形，AB=BC 四边形ABCD为菱形ABDCO2、菱形的性质：四条边平行且相等 （AB=CD=AD=BC，ABCD，ADBC）对角相等 （BAD=BCD，ABC=CDA）对角线互相垂直，且平分对角 （ACBD，OAD=OAB=OCD=OCB）3、菱形的判定：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC 四边形ABCD为菱形2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边形ABCD为平行四边形，ACBD 四边形ABCD为菱形3、四条边相等的四边形是菱形 AB=BC=DC=AD 四边形ABCD
15、为菱形ABDCO1、菱形的的两邻角之比为12，且较短的对角线长3，则菱形的周长是（）A、8 B、9 C、12 D、152、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB=5，AO=4，则对角线AC的长为_、BD的长为_。3、菱形的面积是20，它的一条对角线长5，则另一条对角线长_。学习检测ABDCOC8684、如图,四边形ABCD是菱形，ACD30BD=6cm（1）BAD,ABC的度数。（2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）.ABDCO解：（1）四边形ABCD是菱形BCA=DCA,DAB=BCD,ABC+BCD=180ACD30BAD=DCB=60，ABC=180-BCD=120
16、四边形ABCD是菱形ACBD OA=OC,OD=OB,BC=CD,又BCD=60BCD为等边三角形 BC=BA=BD=CD=AD=6cmBO=DO=3cm AOB中,在(cm)22226 3AOOBAB273 3=(cm)AC=2OA=6 310.405.如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CGEA交AF于H，交AD于G，BAE=25，BCD=130，求AHC的度数。解：由菱形的性质可知：BAE=DAF=25又 BCD=130BAF=BAD-DAF=105 又CGEA AHC=180-105=756.（2011中考题）已知：如图，在梯形ABCD中，
17、ABCD，BC=CD，ADBD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形12证明：ADBD，ABD是RtE是AB的中点，BE=12AB，DE=ABBE=DE，EDB=EBD，CB=CD，CDB=CBD，ABCD，EBD=CDB，EDB=EBD=CDB=CBD，BD=BD，EBD CBD（SAS），BE=BC，CB=CD=BE=DE，菱形BCDE（四边相等的四边形是菱形）7.（2011中考题）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若ABC=60，CE=2BE，试判断CDE的形状，并说明理由（1）证明：如图
18、，AE平分BAD，1=2，AB=AD，AE=AE，BAE DAE，BE=DE，ADBC，2=3=1，AB=BE，AB=BE=DE=AD四边形ABED是菱形理由：如图，过点D作DFAE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，DF=AE，AD=EF=BE，CE=2BE，BE=EF=FC，DE=EF，又ABC=60，ABDE，DEF=60，DEF是等边三角形，DF=EF=FC，CDE是直角三角形1.正方形既是_图形，又是_图形正方形有_条对称轴。2.正方形既是_形,又是_形，它既具有_的性质，又具有_的性质。3.在判断四边形是正方形时，可以先证该四边形是_形，再证该四边形是_ 形。4.正方形的四
19、条边_，并且对边_.邻边_5.正方形的四个角都是_.6.正方形的两条对角线_且_,并且每条对角线平分_.特殊的平行四边形正方形中心对称轴对称四矩形菱形矩形菱形矩形菱形相等平行互相垂直直角相等互相垂直平分一组对角学习检测1.判断：（1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（）（2）对角线相等的矩形是正方形。（）（3）四边都相等的四边形是正方形。（）（4）矩形包括长方形和正方形。（）（5）四角相等且两边相等的四边形是正方形.（）2.正方形ABCD,对角线的交为O，E是OB上的一点，DGAE于G,DG交OA于F.求证：OE=OF.ABCDEGOF证明：四边形ABCD是正方形AOE=DOF=90AO=D
20、O又DGAEEAO+AEO=EDG+AEO=90EAO=EDGAEO EDGOE=OF3、(2013年中考题)如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N。(1)求证：ADB=CDB；(2)若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。ABCDNMP4.（2013中考题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？解答：（解答：（1）证明：在正方形）证明：在正方形ABCD中，中，BC=CD，
21、B=CDF，BE=DF，CBE CDF（SAS）CE=CF（2）解：）解：GE=BE+GD成立成立理由是：理由是：由（由（1）得：）得：CBE CDF，BCE=DCF，BCE+ECD=DCF+ECD，即，即ECF=BCD=90，又又GCE=45，GCF=GCE=45CE=CF，GCE=GCF，GC=GC，ECG FCG（SAS）GE=GFGE=DF+GD=BE+GD5、（、（2013中考题）如图，中考题）如图，ABC中，中，AB=AC，AD是是ABC的角平分线，点的角平分线，点O为为AB的中点，连接的中点，连接DO并延长并延长到点到点E，使，使OE=OD，连接，连接AE，BE（1）求证：四边形）求证：四边形AEBD是矩形；是矩形；（2）当）当ABC满足什么条件时，矩形满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，是正方形，并说明理由并说明理由（1）证明：点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，四边形AEBD是平行四边形，AB=AC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB=90，平行四边形AEBD是矩形；（2）当BAC=90时，理由：BAC=90，AB=AC，AD是ABC的角平分线，AD=BD=CD，由（1）得四边形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形
