1、第第4讲讲空间中的平行关系空间中的平行关系最新考纲最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知 识 梳 理1平行直线(1)平行公理：过直线外一点_一条直线和已知直线平行(2)基本性质4(空间平行线的传递性)：平行于_的两条直线互相平行(3)定理：如果一个角的两边与另一个角的两边_，并且_，那么这两个角相等(4)空间四边形：顺次连接_的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形同一条直线有且只有分别对应平行方向相同不共面2直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直
2、线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理不在一个平面内的_ _平行，则该直线平行于此平面a，b，aba一条直线和平面内的一条直线性质定理a，a，bab3.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内有两条_平行于另一个平面，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线_于另一个平面，aa如果两个平行平面同时与第三个平面
3、相交，那么它们的_平行，a，bab相交直线平行交线4.与垂直相关的平行的判定(1)a，b_.(2)a，a_.ab诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a，P，则过点P且平行于a的直线只有一条
4、，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.下列命题中，正确的是()A.若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C.若直线a，b和平面满足a，b，那么abD.若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b解析根据线面平行的判定与性质定理知，选项D正确.答案D3.(2015北京卷)设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析当m时，可能，也可能与相交.
5、当时，由m可知，m.“m”是“”的必要不充分条件.答案B4.(教材改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_.解析连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO.又BD1 平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行5.设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab.其中能推出的条件是_(填上所有正确的序号).解析在条件或条件中，或与相交.由，条件满足.在中，a，abb，又b，从而，满足.答案考点一线面、面面平
6、行的相关命题的真假判断【例1】(2015安徽卷)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.D规律方法(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含
7、选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】(2017郑州调研)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_(填上正确命题的序号).解析mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误.答案考点二直线与平面平行的判定与性质(多维探究)命题角度一直线与平面平行的判定【例
8、21】(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积.命题角度二直线与平面平行性质定理的应用(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在
9、底面ABCD内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO 平面GEFH，所以PO平面GEFH.规律方法(1)判断或证明线面平行的常用方法有：利用反证法(线面平行的定义)；利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；利用面面平行的性质定理(，aa)；利用面面平行的性质(，a，aa).(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.考点三面面平行的判定与性质(典例迁移)【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(
10、1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF 平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，A1G綉EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E 平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【迁移探究1】如图，在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证
11、明如图所示，连接A1B.D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B，又HD 平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.规律方法(1)判定面面平行的主要方法利用面面平行的判定定理.线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).(2)面面平行的性质定理两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.若一平面与两平行平面相交，则交线平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.【训练3】(2016山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知G，H分别是E
12、C和FB的中点.求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，图如图，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.图在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.思想方法1.线线、线面、面面平行间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.易错防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
