1、第一课解三角形【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.正弦定理正弦定理(1)(1)公式表达：公式表达：_._.abc2Rsin Asin Bsin C(2)(2)公式变形：公式变形：a=2RsinAa=2RsinA，b=2RsinBb=2RsinB，c=2RsinCc=2RsinC；sinA=sinA=，sinB=sinB=，sinC=sinC=；abc=sinAsinBsinCabc=sinAsinBsinC；a2Rb2Rc2Ra b cabc2R.sin A sin B sin Csin Asin Bsin C 2.2.余弦定理余弦定理(1)(1)公式表达：公式表达：a a2 2=
2、_=_，b b2 2=_=_，c c2 2=_.=_.(2)(2)推论：推论：cosA=_cosA=_，cosB=_cosB=_，cosC=_.cosC=_.b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAa a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC222bca2bc222acb2ac222abc2ab3.3.三角形中的常用结论三角形中的常用结论(1)a+bc(1)a+bc，b+cab+ca，c+ab.c+ab.(2)a-bc(2)a-bc，b-cab-ca，a-cb.a-cb(4)abABABsinAsinB.
3、sinAsinB.(5)a=b(5)a=bA=B.A=B.(6)A(6)A为锐角为锐角cosA0cosA0a a2 2bb2 2+c+c2 2；A A为钝角为钝角cosA0cosAbb2 2+c+c2 2；A A为直角为直角cosA=0cosA=0a a2 2=b=b2 2+c+c2 2.(7)sin(A+B)=sinC(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.cos(A+B)=-cosC.(8)(8)A BCA BCsincoscossin.2222，4.4.三角形中的计算问题三角形中的计算问题在在ABCABC中，边中，边BCBC，CACA，ABAB记为记为a a，b
4、b，c c，边，边BCBC，CACA，ABAB上的高分别记为上的高分别记为h ha a，h hb b，h hc c，则，则(1)h(1)ha a=bsinC=_.=bsinC=_.(2)h(2)hb b=csinA=_.=csinA=_.(3)h(3)hc c=asinB=_.=asinB=_.csinBcsinBasinCasinCbsinAbsinA(4)(4)(5)(5)ab cos C c cos Bb a cos C c cos Ac a cos B b cos A.，111abcSabsin Cacsin Bbcsin A.2224R【易错提醒易错提醒】解三角形中易忽视的三点解三角
5、形中易忽视的三点(1)(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围解三角形时，不要忽视角的取值范围.(2)(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况视两角互补情况.(3)(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况出现失解情况.类型一类型一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形【典例典例1 1】(1)(1)ABCABC的外接圆的圆心为的外接圆的圆心为O O，AB=2AB=2，AC=AC=，BC=BC=，则，则 等于等于()37AOBC 9911A.B.C.D.4
6、422(2)(2)在在ABCABC中，中，A A，B B为锐角，角为锐角，角A A，B B，C C所对应的边分所对应的边分别为别为a a，b b，c c，且，且cos 2A=cos 2A=，sinB=sinB=求求A+BA+B的值；的值；若若a-b=-1a-b=-1，求，求a a，b b，c c的值的值.3510.102【解析解析】(1)(1)选选C.C.因为因为AB=2AB=2，所以所以BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2，所以所以A=A=，所以，所以BCBC为圆的直径，为圆的直径，O O为斜边为斜边BCBC的中点，的中点，所以所以CO=BO=AO=BC=CO=BO=AO=BC
7、=，又，又AC=AC=，设设AOC=AOC=，由余弦定理得，由余弦定理得cos=cos=则则AC3 BC7，212723222AOCOAC12AOCO7，711AOBC|AO|BC|cos()7().272 (2)(2)因为因为A A，B B为锐角，为锐角，sinB=sinB=所以所以cosB=cosB=又因为又因为cos 2A=1-2sincos 2A=1-2sin2 2A=A=所以所以sinA=sinA=，cosA=cosA=所以所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB1010，23 101 sin B10，35，5522
8、 51 sin A5，2 5 3 105102.5105102因为因为0A+B0A+B，所以，所以A+B=A+B=由知由知C=C=，所以，所以sinC=sinC=由正弦定理由正弦定理 得得即即a=ba=b，c=b.c=b.因为因为a-b=-1a-b=-1，所以，所以 b-b=b-b=-1 -1，所以，所以b=1b=1，所以，所以a=a=，c=.c=.4342.2abcsin Asin Bsin C5a10b2c，2522225【方法技巧方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法类型及方法12121212【变式训练变式训练】在在ABCABC中，角中，
9、角A A，B B，C C所对应的边分别所对应的边分别为为a a，b b，c c，a=2 a=2 ，=4=4，2sinBcosC 2sinBcosC=sinA=sinA，求，求A A，B B及及b b，c.c.3 A BCtantan 22【解析解析】因为因为 =4=4，所以所以 =4.=4.所以所以所以所以sinC=.sinC=.又因为又因为C(0C(0，)，所以，所以C=C=或或C=C=A BCtantan 22A BCCsin sin()cos A B2222tan A BCC2cos cos()sin 2222，CCcos sin 22CCsin cos 2214.CCsin cos 2
10、21265.6由由2sinBcosC=sinA2sinBcosC=sinA，得，得2sinBcosC=sin(B+C)2sinBcosC=sin(B+C)，即即sin(B-C)=0.sin(B-C)=0.所以所以B=CB=C，所以，所以B=C=B=C=，A=-(B+C)=A=-(B+C)=由正弦定理由正弦定理 ，得，得2.3abcsin Asin Bsin C1sin B2b c a2 32.sin A32 6【补偿训练补偿训练】在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别是角分别是角A A，B B，C C的的对边，对边，B=45B=45，b=b=，cosC=cosC=(1)(1)求边长
11、求边长a.a.(2)(2)设设ABAB的中点为的中点为D D，求中线，求中线CDCD的长的长.102 5.5【解析解析】(1)(1)由由cosC=cosC=得得sinC=sinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinCsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC由正弦定理得由正弦定理得2 55222 551 cos C1()55，2 2 5253 10252510，3 1010bsin A10a3 2.sin B22(2)(2)由余弦定理得由余弦定理得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC=(3 )-2abcosC=(3 )2 2+(
12、)+()2 2-2 23 3 =4 =4，所以，所以c=2c=2，在，在BCDBCD中中.由余弦由余弦定理得定理得CDCD2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2-2-2BDBDBCBCcosB=1cosB=12 2+(3 )+(3 )2 2-2 21 13 3 =13 =13，所以，所以CD=CD=22102102 5522213.类型二类型二 判断三角形的形状判断三角形的形状【典例典例2 2】(1)(1)在在ABCABC中，已知中，已知3b=2 asinB3b=2 asinB，且，且cosB=cosCcosB=cosC，角，角A A是锐角，则是锐角，则ABCABC的形状是的形状是()A.
13、A.直角三角形直角三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.等边三角形等边三角形3(2)(2)已知在已知在ABCABC中，中，=c=c2 2，且，且acosB=bcosAacosB=bcosA，试判断试判断ABCABC的形状的形状.333abca b c【解析解析】(1)(1)选选D.D.由由3b=2 asinB3b=2 asinB，得，得根据正弦定理，得根据正弦定理，得所以所以 ，即，即sinA=sinA=又角又角A A是锐角，所以是锐角，所以A=60A=60.又又cosB=cosCcosB=cosC，且，且B B，C C都为三角形的内角，都为三角形的
14、内角，所以所以B=CB=C，故，故ABCABC为等边三角形为等边三角形.3b2 3asin B3，basin Bsin A，a2 3asin A33.2(2)(2)由由 =c=c2 2，得，得a a3 3+b+b3 3-c-c3 3=c=c2 2(a+b)-c(a+b)-c3 3，所以所以a a2 2+b+b2 2-ab=c-ab=c2 2，所以，所以cosC=cosC=，所以，所以C=60C=60.由由acosB=bcosAacosB=bcosA，得，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为为ABCABC外接圆的半径外接圆的半径)，所以
15、，所以sin(A-B)=0sin(A-B)=0，所以，所以A-B=0A-B=0，所以所以A=B=C=60A=B=C=60，所以，所以ABCABC为等边三角形为等边三角形.333abca b c 12【方法技巧方法技巧】判定三角形形状的两种途径判定三角形形状的两种途径(1)(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a=2RsinAa=2RsinA，a a2 2+b+b2 2-c-c2 2=2abcosC=2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式之间的关系进行判断，此时注意一些常见的
16、三角等式所体现的内角关系，如所体现的内角关系，如sinA=sinBsinA=sinBA=BA=B，sin(A-sin(A-B)=0B)=0A=BA=B，sin2A=sin2Bsin2A=sin2BA=BA=B或或A+B=A+B=等等.2(2)(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=sinA=cosA=cosA=等，通过代数恒等变换，求出三条边之等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断间的关系进行判断.a2R，222bca2bc【变式训练变式训练】在在ABCABC中，若中，若B=60B=60，2b=a+c2b=a+c，试判断，试判断ABCAB
17、C的形状的形状.【解析解析】方法一：由正弦定理可得方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC2sinB=sinA+sinC，因为因为B=60B=60，所以，所以A+C=120A+C=120，A=120A=120-C-C，将其代入上式，得将其代入上式，得2sin602sin60=sin(120=sin(120-C)+sinC-C)+sinC，展开整理，得展开整理，得 sinC+cosC=1sinC+cosC=1，所以所以sin(C+30sin(C+30)=1)=1，所以，所以C+30C+30=90=90.所以所以C=60C=60，故，故A=60A=60，所以，所以ABCABC是等边三角
18、形是等边三角形.3212方法二：由余弦定理可得方法二：由余弦定理可得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosB，因为因为B=60B=60，b=b=，所以，所以()()2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos60-2accos60.所以所以(a-c)(a-c)2 2=0=0，所以，所以a=ca=c，所以所以a=b=ca=b=c，所以，所以ABCABC为等边三角形为等边三角形.a c2a c2【补偿训练补偿训练】在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c c，若，若 =k(kR).=k(kR).(1)(1)
19、判断判断ABCABC的形状的形状.(2)(2)若若c=c=，求，求k k的值的值.ABAC BABC 2【解析解析】(1)(1)因为因为 =cbcosA=cbcosA，=cacosB=cacosB，又因为又因为 ，所以，所以bccosA=accosBbccosA=accosB，所以所以bcosA=acosB.bcosA=acosB.ABAC BABC ABAC BABC 方法一：因为方法一：因为bcosA=acosBbcosA=acosB，所以，所以sinBcosA=sinAcosBsinBcosA=sinAcosB，即即sinAcosB-sinBcosA=0sinAcosB-sinBcosA
20、=0，所以，所以sin(A-B)=0.sin(A-B)=0.因为因为-A-B-A-B88，所以货轮无触礁危险，所以货轮无触礁危险.623215 2 5 615 2 5 6【方法技巧方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问正、余弦定理在实际应用中应注意的问题题(1)(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图出示意图.(2)(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等角、方向角、方位角等.(3)(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学将实际问题中的数量关系
21、归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形到同一个三角形中，然后解此三角形.(4)(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.(5)(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位精确度确定答案并注明单位.【变式训练变式训练】如图，为了解某海域海底如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条
22、直线上的构造，在海平面内一条直线上的A A，B B，C C三点进行测量，已知三点进行测量，已知AB=50mAB=50m，BC=120mBC=120m，于于A A处测得水深处测得水深AD=80mAD=80m，于，于B B处测得水深处测得水深BE=200mBE=200m，于，于C C处测得水深处测得水深CF=110mCF=110m，求，求DEFDEF的余弦值的余弦值.【解析解析】如图，作如图，作DMACDMAC交交BEBE于点于点N N，交，交CFCF于点于点M M，DF=DF=DE=DE=EF=EF=在在DEFDEF中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：cosDEF=cosDEF=2222MFDM
23、3017010 298，2222DNEN50120130，2222(BE FC)BC90120150.222222DEEFDF1301501029816.2DE EF2 130 15065【补偿训练补偿训练】如图为了测量如图为了测量A A，C C两点间的距离，选取两点间的距离，选取同一平面上同一平面上B B，D D两点，测出四边形两点，测出四边形ABCDABCD的各边的长度的各边的长度(单位：单位：km)km)：AB=5AB=5，BC=8BC=8，CD=3CD=3，DA=5DA=5，如图所示，如图所示，且且A A，B B，C C，D D四点共圆，则四点共圆，则ACAC的长为的长为_km._km
24、.【解析解析】因为因为A A，B B，C C，D D四点共圆，所以四点共圆，所以B+D=B+D=，由余弦定理得由余弦定理得ACAC2 2=5=52 2+3+32 2-2-25 53cosD=34-30cosD3cosD=34-30cosD，ACAC2 2=5=52 2+8+82 2-2-25 58cosB=89-80cosB8cosB=89-80cosB，由由cosB=-cosDcosB=-cosD，得，得 ，解得，解得AC=7.AC=7.答案：答案：7 72234 AC89 AC3080类型四类型四 正、余弦定理与三角函数的综合正、余弦定理与三角函数的综合【典例典例4 4】(2015(201
25、5陕西高考陕西高考)ABCABC的内角的内角A A，B B，C C所对所对的边分别为的边分别为a a，b b，c c，向量，向量m=(a=(a，b)b)与与n=(cosA=(cosA，sinB)sinB)平行平行.(1)(1)求求A.A.(2)(2)若若a=a=，b=2b=2，求，求ABCABC的面积的面积.37【解析解析】(1)(1)因为因为mn，所以，所以asinB-bcosA=0asinB-bcosA=0，由正弦定理得由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0sinAsinB-sinBcosA=0，又又sinB0sinB0，从而，从而tanA=tanA=，由于，由于0A0A0c0
26、，所以，所以c=3.c=3.故故ABCABC的面积为的面积为 bcsinA=bcsinA=73123 3.2方法二：由正弦定理得方法二：由正弦定理得 ，从而，从而sinB=sinB=又因为又因为abab，所以，所以ABAB，所以，所以cosB=cosB=所以所以sinC=sin(A+B)=sinC=sin(A+B)=所以所以ABCABC的面积为的面积为72sin Bsin3217，2 7.7sin(B)33 21sin Bcoscos Bsin.331413 3absin C.22【方法技巧方法技巧】正、余弦定理与三角函数综合应用的处正、余弦定理与三角函数综合应用的处理策略理策略(1)(1)首
27、先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的.(2)(2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起只起“点缀点缀”作用，难度较小，易于化简作用，难度较小，易于化简.【变式训练变式训练】(2015(2015武汉高一检测武汉高一检测)如如图，经过村庄图，经过村庄A A有两条夹角为有两条夹角为6060的公的公路路ABAB，ACAC，根据规
28、划拟在两条公路之间的区域内建一，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂工厂P P，分别在两条公路边上建两个仓库，分别在两条公路边上建两个仓库M M，N(N(异于村异于村庄庄A)A)，要求，要求PM=PN=MN=2(PM=PN=MN=2(单位：千米单位：千米).).如何设计，可以如何设计，可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄即工厂与村庄的距离最远的距离最远).).【解析解析】设设AMN=AMN=，0 0120120，在，在AMNAMN中，中，因为因为MN=2MN=2，所以，所以AM=sin(120AM=sin(120-)-)，在在APMAPM中
29、，中，cosAMP=cos(60cosAMP=cos(60+)+)，APAP2 2=AM=AM2 2+MP+MP2 2-2MP-2MPAMcosAMPAMcosAMP=sin=sin2 2(120(120-)+4-2-)+4-22 2 sin(120 sin(120-)-)cos(60cos(60+)+)MNAMsin 60sin(120)，4 331634 33=sin=sin2 2(60(60+)-sin(60+)-sin(60+)cos(60+)cos(60+)+4+)+4=1-cos(2+120=1-cos(2+120)-sin(2+120)-sin(2+120)+4)+4=-sin(
30、2+120=-sin(2+120)+cos(2+120)+cos(2+120)+)+=-sin(2+150=-sin(2+150)，0 0120120，当且仅当当且仅当2+1502+150=270=270，即，即=60=60时，时，APAP2 2取得最取得最大值大值1212，即，即APAP取得最大值取得最大值2 2 ，16316 33838 338332032031633答：当答：当AMNAMN为为6060时，工厂产生的噪声对居民的影响时，工厂产生的噪声对居民的影响最小最小.【补偿训练补偿训练】如图，半圆如图，半圆O O的直径为的直径为2 2，A A为直径延长线为直径延长线上的一点，上的一点，
31、OA=2OA=2，B B为半圆上任意一点，以为半圆上任意一点，以ABAB为一边作为一边作等边三角形等边三角形ABC.ABC.问：当问：当AOBAOB为多少时，四边形为多少时，四边形OACBOACB的面积最大？的面积最大？【解析解析】设设AOB=.AOB=.在在AOBAOB中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得ABAB2 2=1=12 2+2+22 2-2-21 12cos=5-4cos.2cos=5-4cos.所以四边形所以四边形OACBOACB的面积为的面积为S=SS=SAOBAOB+S+SABCABC=OA=OAOBsin+ABOBsin+AB2 21234=2 21 1sin+(5-4co
32、s)sin+(5-4cos)=sin-=sin-所以当所以当sin()=1sin()=1时，时，S S有最大值有最大值.因为因为00，所以所以故当故当AOB=AOB=时，四边形时，四边形OACBOACB的面积最大的面积最大.123453cos3452sin()3.3435.326，56 Suffering is the most powerful teacher of life.苦难是人生最伟大的老师。For man is man and master of his fate.人就是人，是自己命运的主人。A man cant ride your back unless it is bent.你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。1Our destiny offers not the cup of despair,but the chalice of opportunity.So let us seize it,not in fear,but in gladness.命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
