1、因式分解 复习课 1运用平方差公式分解因式；2用完全平方公式分解因式；3用分组法分解因式；4用十字交叉法分解因式 1能较熟练地应用平方差公式、完全平方公式分解因式；2能较熟练地应用分组法、十字交叉法分解因式 1通过综合运用提公因式法，公式法，分组法和十字交叉法分解因式，进一步培养观察和联想能力；2通过知识结构图培养归纳总结的能力1应用平方差公式分解因式；2用完全平方公式分解因式；3会用分组法分解因式；4会用十字交叉法分解因式 1灵活应用公式法分解因式，并理解因式分解的要求；2灵活应用分组法和十字交叉法分解因式；3如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式 （二）分解因式的方法：（二）分解因式
2、的方法：（1）、提取公因式法提取公因式法（2）、运用公式法（4）、分组分解法（3）、十字相乘法因式分解的一般步骤：一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式；四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。一般步骤三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提”或能“套”。如(x+y)-x-y=(x+y)(x+y-1）第二步第二环节 如果多项式的各项有公因式，可以把这个如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形公因式提到
3、括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。例题：把下列各式分解因式 6x3y2-9x2y3+3x2y2 p（y-x）-q（x-y）(x-y)2-y(y-x)2（1）、提公因式法：）、提公因式法：即：ma+mb+mc=m（a+b+c）解：原式=3x2y2(2x-3y+1)解：原式=p(y-x)+q(y-x)=(y-x)(p+q)解：原式=(x-y)2(1-y)（2）运用公式法：）运用公式法：a2b2（ab）（ab）平方差公式 a2 2ab b2（ab）2 完全平方公式 a2 2ab+b2（ab）2 完全平方公式 运用公式法中主要使用
4、的公式有如下几个：例题：把下列各式分解因式 x24y2 9x2-6x+1 解：原式=x2-(2y)2 =（x+2y)(x-2y）解：原式=(3x)2-2(3x)1+1 =（3x-1)2 十字相乘法公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)11ab例题：把下列各式分解因式 X2-5x+6 a2-a-211-2-3111-2解：原式=（x-2)(x-3)解：原式=(a+1)(a-2)分组分解法：分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去1、分组后可以提公因式2、分组后可以运用公式例题：把下列各式分解因式 3x+x2-y2-3y x2-2x-4y2+1解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)
5、=(x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3)解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y)否是否是B层练习检验下列因式分解是否正确？(54=20)(1)2ab2+8ab3=2ab2(1+4b)(2)2x2-9=(2x+3)(2x-3)(3)x2-2x-3=(x-3)(x+1)(4)36a2-12a-1=(6a-1)2答案答案答案答案基本概念1.公因式确定（1）系数：取各系数的最大公约数；（2）字母：取各项相同的字母；（3）相同字母的指数：取最低指数。2.变形规律：（1）x-y=-(y-x)(2)-x-y=-(x+y)(3)(x
6、-y)2=(y-x)2 (4)(x-y)3=-(y-x)33.一般步骤（1）确定应提取的公因式；（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。A层练习将下列各式分解因式：(45=20)-a-ab；m-n；x+2xy+y(4)3am-3an；(5)3x+6xy+3xy基本方法=-a(a+b)=(m+n)(m-n)=(x+y)=3a(m+n)(m-n)=3x(x+y)观察平方差公式(ab)(ab)=a2b2的项、指数、符号有什么特点？（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两 数的和，另一个因式是这两数的
7、差（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因 式的多项式 由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）Aa2b2=(ab)(ab)B(ab)2=a2+2ab+b2 C(ab)2=a22abb2 D(a+2b)(ab)=a2+ab2b2abba例1 把下列各式因式分解：（1）(x+z)-(y+z)（2）4(a+b)-25(a-c)（3）4a-4a（4）(xy+z)(
8、xyz)（5）9(m+n)2(m-n)2（6）5x3y(x-y)-10 x4y3(y-x)2（4）原式=(x+y+z)+(x-y-z)(x+y+z)-(x-y-z)=2x(2y+2z)=4x(y+z)（3）原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：（1）原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z)=(x+y+2z)(x-y)（2）原式=4(a+b)-25(a-c)=2(ab)5(a-c)2(ab)-5(a-c)=(7a2b5c)(3a2b5c)（5）原式=3(m+n)2(m-n)2=3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n)=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(
9、4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n)（6）原式=5x3y(x-y)-10 x4y3(x-y)2 =5x3y(x-y)1-2xy2(x-y)=5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)例2 若n是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数证明：(2n+1)2-(2n-1)2 =（2n12n-1）（2n1-2n1）=4n2 =8n因为n是整数，所以原式是8的倍数（1）652-642 （2）5.42-4.62解：652-642 =(65+64)(65-64)=1291 =129解：5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6)=100.8 =80例3 计算下
10、列各式的值：(3x+2y)(3-2y)=41.5=69x2-4y2=6解1：例4 已知x和y满足方程组 ，求9x24y2的值？3x+2y=46x-4y=33x+2y=43x-2y=1.53x+2y=46x-4y=3由得：(x+2y)(x-2y)=5 将代入得：x+2y=5+得：x=3代入得：y=1解：（2006年莆田）解方程组：x24y2=5，x2y=1 所以，原方程组的解为：x=3，y=1已知，x+y=7，x-y=5，求代数式 x2-y2-2y+2x的值解：x2y22y+2x =x2y2（2x2y）=（x+y）（x y）2（xy）=（x y）（x y 2）=59=45baba 观察图形，根据
11、图形的面积关系，不需要其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是_（1）x4-2x2+1解：原式=（x2-1)2 =(x+1)(x-1)2 =(x+1)2(x-1)2（2）(x2+y2)2-4x2y2解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2例5 分解因式（3）3abx2+6abxy+3aby2解：原式=3ab（x22xyy2）=3ab(x+y)2（4）（m+n）2-4m（m+n）+4m2 解：原式=（m+n）2-22m（m+n）+（2m)2 =（mn2m）2 =（mn）2(x+2)(x+1)x2+3x+2(x
12、-2)(x+1)x2-x-2(x-2)(x-1)x2-3x+2(x+2)(x-1)x2+x-2(x+2)(x+3)x2+5x+6(x+2)(x-3)x2-x-6(x-2)(x+3)x2+x-6(x-2)(x-3)x2-5x+6(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab12345678=x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx=(a+b)x(x+a)(x+b)1x2+8x+12=2x2-11x-12=3x2-7x+12=4x2-4x-12=(x+2)(x+6)(x-6)(x+2)(x-3)(x-4)(x-12)(x+1)5x2+13x+12=(x+1)(x+12)6x2-x
13、-12=(x-4)(x+3)将下列各式因式分解：对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个问题：mx+my-nx-ny，两组，得（mx+my）-（nx+ny）解1：原式=（mx+my）-（nx+ny）=m(x+y)-n(x+y)=(x+y)(m-n)，两组，得（mx-nx）+(my-ny)解2：原式=（mx-nx）+(my-ny)=x(m-n)+y(m-n)=(m-n)(x+y)把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)（2）原式=(ab+a)+(b
14、+1)=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=9a4-(4a2-4a+1)=9a4-(2a-1)2=(3a2+2a-1)(3a2-2a+1)=(a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24=(x2+x-2)(x2+x-12)+24=(x2+x)2-14(x2+x)+48=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x+3)(x-2)(x2+x-8)（2007年株洲市）分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10 解：令x4+x2=m
15、，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 =m2-m-12+10 =m2-m-2 =(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)如果a+b=0，求a3 2b3+a2b 2ab2的值 原式=a3+a2b-(2b3+2ab2)=a2(a+b)-2b2(a+b)=(a+b)(a2-2b2)=0解：4x4+1 =4x4+4x2+1-4x2 =（2x2+1）2-（2x）2 =（2x2+1+2x）（2x2+1-2x）因式分解：4x4+1把下列各式分解因式：-x3y3-2x2y2-xy(1)4x2
16、-16y2 (2)x2+xy+y2.(4)81a4-b4 （6)(x-y)2-6x+6y+9(2x+y)2-2(2x+y)+1 x2y2+xy-12(8)(x+1)(x+5）+4解:原式=4(x2-4y2)=4(x+2y)(x-2y)解:原式 =(x2+2xy+y2)=(x+y)2解:原式=-xy(x2y2+2xy+1)=-xy(xy+1)2解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2)=(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)解：原式=(2x+y-1)2解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2解：原式=(xy-4)(xy+3)解：原式=x2+6x+5+4 =(x+3)2应用：
17、1、若 100 x2-kxy+49y2 是一个完全平方式,则k=（）1402、计算(-2)101+(-2)1003、已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值解：原式=（-2)(-2)100+(-2)100 =(-2)100(-2+1)=2100(-1)=-2100解：原式=x3-x2+5x2-x3-9 =4x2-9 =(2x+3)(2x-3)又 2x-3=0,原式=0多项式二项式立方和差添项三项式完全平方式十字相乘法拆项法多于三项的多项式分组分解分组后提公因式分组后运用公式分组后十字相乘提取公因式平方差2(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)=_3(a+b)2+2
18、(a+b)-15=_4-1-2a-a2=_5x2-6x+9-y2=_6x2-4y2+x+2y=_79x2+6xy+y2+3x+y=_89x2+6xy+y2+3x+y-2=_1a3-ab2=_a(a+b)(a-b)2x(a-b)(a+b+5)(a+b-3)-(a+1)2(x-3+y)(x-3-y)(x+2y)(x-2y+1)(3x+y)(3x+y+1)(3x+y+2)(3x+y-1)一、分解因式二、分解因式172-2(13x-7)228a2b2-2a4b-8b3解：72-2(13x-1)2解：8a2b2-2a4b-8b3=262-(13x-7)2=2(6+13x-7)(6-13x+7)=2(13
19、x-1)(-13x+13)=-26(13x-1)(x-1)=2b(4a2b-a4-4b2)=-2b(a4-4a2b+4b2)=-2b(a2-2b)2三、因式分解(x+2)(x-3)1x2-x-6=(x+2)(x-5)2x2-3x-10=(x-7)(x+4)3x2-3x-28=(x-1)(x-3)4x2-4x+3=(x+2)(x+3)(x-3)(x+7)5x2+5x+6=6x2+4x-21=(y+12)(y-3)7y2+9y-36=(y-7)(y+16)(y+16)(y+3)8y2+9y-112=9y2+19y+48=4若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值解：原式=(
20、a3+a2b)+(ab2+b3)=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+b)(a2+b2)a+b=4，a2+b2=10 原式=410=405已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0 (x+y-1)2=0即x+y-1=0 x+y=1 2x2+4xy+2y2=2(x+y)2 =212=21（1）5a2(3a2)；（2）3bc(4ac)；（3）2(pq)(3p2q)；（4）(a3)(m2)2（1）(16b)(16b)；（2）3(2xy)(2xy)；（3）(0.7p12)(0.7p12)；（4）3(xy)(xy)3（1）(15t)
21、2；（2）(m7)2；（3）(y1/2)2；（4）(mn)2；（5）(5a8)2；（6）(abc)24（1）原式=3.14（21+62+17）=314；（2）原式=（758+258）（758258）=1016500=508 0005（1）（ab）2；（2）(p+2)(p2)；（3）y(2xy)2；（4）3a(xy)(xy)6（1）V=I(R1+R2+R3)，代入R1，R2，R3的 值，得V=2207所求面积S=R24r2=（R2r）（R 2r），代入R，r的数值后得S=175.84cm2822x22=4(x1)或x2(x2)2=4(x1)9m=1210(2n1)2n21=2n1222n11=(
22、2n11)22211.1x-2=(x+2)(x-2)2 5x-3=(5x+3)(5x-3).（）；（）C层练习将下列各式分解因式：(63=18)(2a+b)(ab)；(2)(x+y)-10(x+y)+25(3)4a3b(4a3b)基本方法=(2a-3 b)=(x+y-5)=3a(a+2b)第二步第一环节（2）(x2y2)2-4x2y2 xx42(1)1881 3.把下列各式分解因式2222992)xx（22)9 x（222)3 x（2)3)(3(xx223()3(）xx)2)(22222xyyxxyyx（22)()(yxyx解方程：x-9x=0超级变变变变式解下列方程：(3x-4)-(3x+4)=48多项式的除法(2mp-3mq+4mr)(2p-3q+4r)超级变变变变式：20052+2005能被2006整除吗？第三步 已知a、b、c是一个三角形的三边，判断代数式a2-b2-c2 2bc 的正负性。（提示：a2-b2-c2 2bc=a2-（b2+c2+2bc）（20分）将4x2+1加上一项，使它成为完全平方式，你有几种方法?（20分）通过复习这节课你有那些新的收获与感受?说出来与大家一起分享！
