1、立体几何初步单元复习（三）空间中直线、平面的平行空间中直线与平面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系空间中直线与直线的位置关系空间中平面与平面的位置关系空间中直线、平面的垂直平面的基本性质知识结构知识概要1.直线与直线垂直2.直线与平面垂直3.平面与平面垂直一.知识梳理1.直线与直线垂直定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直直线a与b垂直，记作ab一.知识梳理1.直线与直线垂直线线垂直异面垂直共面垂直3.勾股定理1.等腰三角形、矩形、菱形的几何特征2.直径所对的圆周角为901.定义2.直线与平面垂直的定义一.知识梳理定义：一般地，2.直线与平面垂直Pl一.知
2、识梳理2.直线与平面垂直线线垂直线面垂直文字语言图形语言符号语言由定义得到的经常使用的命题如果一条直线和一个平面垂直，另外一条直线是这个平面内的直线，则这两条直线垂直baaabb 一.知识梳理2.直线与平面垂直文字语言图形语言符号语言直线与平面垂直的判定定理线线垂直线面垂直判定am anmnamnO，a一.知识梳理2.直线与平面垂直文字语言图形语言符号语言判定直线与平面垂直的常用命题两条直线互相平行，其中一条直线垂直于一个平面，则另外一条直线也垂直于这个平面abbaab一.知识梳理2.直线与平面垂直文字语言图形语言符号语言直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行aabbab一.知
3、识梳理2.直线与平面垂直线线垂直线面垂直判定线线平行性质一.知识梳理定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面与垂直，记作 3.平面与平面垂直一.知识梳理文字语言图形语言符号语言平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直ll3.平面与平面垂直l一.知识梳理线线垂直线面垂直判定线线平行性质面面垂直判定3.平面与平面垂直一.知识梳理文字语言图形语言符号语言平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直allla3.平面与平面垂直la一.知识梳理线线垂直线面
4、垂直判定线线平行性质面面垂直判定性质3.平面与平面垂直一.知识梳理1.空间中直线、平面垂直关系知识结构线线垂直线面垂直判定线线平行性质面面垂直判定性质2.常用的命题：abba一.知识梳理空间平行、垂直关系之间的转化：线线垂直线面垂直判定面面垂直判定性质线线平行线面平行判定面面平行判定性质性质二.例题解析例题 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“l”是“lm，ln”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由l，m，n可得lm，ln；反之，因为m，n不一定相交，如图，此时l与不垂直所以“l”是“lm，ln”的充分不必要条件mnA二.例题解析例题
5、设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“l”是“lm，ln”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件总结：这道题考查了垂直关系结构图中的直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化，解决这类问题时一定要明确定理成立的条件才能得出结论，构建知识结构图的过程中要实现知识的内化，理解并记忆A二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线的两条直线平行垂直于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一直线的两个平面平行二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线的两条直线平行1A1B1C1DBACD二.例题解析例题 下列命题中正确的是
6、_垂直于同一直线的两条直线平行1A1B1C1DBACD二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线的两条直线平行垂直于同一平面的两个平面平行1A1B1C1DBACD二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线的两条直线平行垂直于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两条直线平行二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线的两条直线平行垂直于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一直线的两个平面平行二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线的两个平面平行已知：直线m平面，直线m平面求证：/m二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线
7、的两个平面平行已知：直线m平面，直线m平面求证：/解析：假设平面与平面不平行，则平面与平面相交不妨设n，mA，mB，如图ABmn二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线的两个平面平行已知：直线m平面，直线m平面求证：/ABmnC在直线n上取一点C，连接AC，BCm平面，AC 平面，mAC，即BAC90同理可得：mBC，即ABC90二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线的两个平面平行已知：直线m平面，直线m平面求证：/在ABC中，BAC+ABC+ACB，180这与三角形内角和为矛盾180假设不成立，即/得证ABmnC二.例题解析例题 下列命题中正确的是_垂直于同一直线的
8、两条直线平行垂直于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一直线的两个平面平行 总结：1.要否定一个命题时只需举一个反例，常借助特殊模型(如正方体)进行举例要肯定一个命题需要对这个命题进行推理论证2.注意文字语言、图形语言、符号语言三种语言的灵活应用二.例题解析例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOOABCODEV由已知得到什么？得结论需要什么？二.例题解析例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中
9、点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOOABCODEVDE平面VBC二.例题解析例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOOABCODEV性质线线垂直线面垂直判定面面垂直判定AC平面VBC二.例题解析例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOOABCODEV线线垂直线面垂直判定需要说明AC垂直于平面VBC内的两条相交直线AC平面VBC二.例题解析方法一：解
10、：直线DE平面VBC，理由如下：AB是的直径，ACBC VC平面ABC，AC平面ABC，OABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOO二.例题解析VCAC又VCBC=C，VC平面VBC，BC平面VBC，AC平面VBCABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOO二.例题解析D，E分别是VA，VC的中点，DE是VAC的中位线DE/ACDE平面VB
11、CABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOO二.例题解析ABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOO需要说明过AC的平面与平面VBC垂直,同时AC垂直于这两个平面的交线 线面垂直面面垂直判定性质AC平面VBC二.例题解析ABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判
12、断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOO方法二：解：直线DE平面VBC，理由如下：AB是的直径，ACBC VC平面ABC，VC平面VBC，O二.例题解析平面VBC平面ABC平面VBC平面ABC=BC，AC平面ABC，ACBC，AC平面VBCABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOO二.例题解析ABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由
13、OOOD，E分别是VA，VC的中点，DE是VAC的中位线DE/ACDE平面VBC二.例题解析线面垂直面面垂直判定性质ABCODEVAC平面VBC平面VCB平面VCA?例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOO二.例题解析例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOOABCODEV平面VCB平面VCA？二面角B-VC-A的平面角平面与平面垂直的定义二.例题解析方法三：解：
14、直线DE平面VBC，理由如下：AB是的直径，ACBC VC平面ABC，AC 平面ABC，BC平面ABC，VCAC，VCBCOABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOO二.例题解析ACB为二面角B-VC-A的平面角平面VCB平面VCA平面VCB平面VCAVC，ACVC，AC 平面VCA，AC平面VBCABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OO
15、O二.例题解析ABCODEV例题 如图AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由OOOD，E分别是VA，VC的中点，DE是VAC的中位线DE/ACDE平面VBC二.例题解析总结：1.本题的解题思路是“由已知得到什么？得结论需要什么？”2.方法一主要利用了直线与直线垂直与直线与平面垂直之间的相互转化，关键是要说明AC垂直于平面VBC内的两条相交直线二.例题解析总结：3.方法二主要利用的是直线与平面垂直与平面与平面垂直的相互转化，关键是要说明过AC的平面与平面VBC垂直,同时AC垂直于这两个平面的交
16、线4.方法三用平面与平面垂直的定义得平面与平面垂直，关键是要找到二面角的平面角，并说明这个角为直角5.本题多次用到三个垂直之间的相互转化，同时还考查了 这个常用命题abba二.例题解析例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积ABCDEFAEFD翻折问题：哪些量变了？哪些量没变？二.例题解析例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重
17、合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积翻折问题：哪些量变了？哪些量没变？AEFDADAEABCDEF二.例题解析ABCDEF例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积AEFDAE=AFAEAF翻折问题：哪些量变了？哪些量没变？二.例题解析要证线线垂直线面垂直判定ABCDEFADEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，
18、使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积二.例题解析要证线线垂直线面垂直判定ABCDEFADEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积只需证AD垂直于EF所在的一个平面二.例题解析要证线线垂直线面垂直判定ABCDEFADEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1
19、）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积只需证AD垂直于EF所在的一个平面二.例题解析方法一证明：四边形ABCD是正方形，ADAE，CDCF ADAE，ADAFAEAF=A，ABCDEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积二.例题解析ABCDEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证
20、ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积AE 平面AEF，AF平面AEF，AD平面AEFEF平面AEF，ADEF二.例题解析要证线线垂直线面垂直判定ABCDEFEF平面？ADEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积二.例题解析要证线线垂直线面垂直判定能否构造一个过AD且与EF垂直的平面？ABCDEFEF平面？ADEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DC
21、F分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积二.例题解析要证线线垂直线面垂直判定能否构造一个过AD且与EF垂直的平面？ABCDEFEF平面？ADEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积二.例题解析构造线线垂直ABCDEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，
22、B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积二.例题解析例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积ABCDEFAEFD构造线线垂直取EF中点G，连接AG，DG二.例题解析例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积ABCDEF构造线线垂直取EF中点G，
23、连接AG，DGAEFDG二.例题解析方法二：证明：取EF中点G，连接AG，DG四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F是BC的中点，BE=BF，DE=DFABCDEF例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积AEFDG二.例题解析AE=AF，DE=DFG是EF的中点，EFAG，EFGD又AGGDG，ABCDEF例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，D
24、F折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积AEFDG二.例题解析ABCDEF例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积AG平面AGD，GD平面AGDEF平面AGD又AD平面AGD，ADEFAEFDG二.例题解析ABCDEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证A
25、DEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积线面垂直13VSh分析：二.例题解析AD平面AEF13VShABCDEF分析：AEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积二.例题解析AD平面AEFAEFDDAEFVVABCDEF分析：AE
26、FD二.例题解析解：由（1）知AD平面AEF BE=BF=1，BEBF，AE=AF=1，AEAF111 122AEFS AEFDDAEFVVABCDEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积二.例题解析AD=2，1=313AEFDDAEFAEFVVADSABCDEFAEFD例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点
27、A（1）求证ADEF；（2）求三棱锥A-EFD的体积二.例题解析总结：1.立体几何的翻折问题关键是确定从翻折前到翻折后哪些量没变，哪些量变了，这就需要同学们的直观想象能力二.例题解析总结：1.立体几何的翻折问题关键是确定从翻折前到翻折后哪些量没变，哪些量变了，这就需要同学们的直观想象能力2.本题第一问用到了由直线与直线垂直与直线与平面垂直的相互转化，第一种方法借助了原图现有的线面，第二种方法利用平面几何知识根据需要构造了直线与直线垂直，这也是构造垂直常用的做辅助线的方法二.例题解析总结：3.本题第二问是三棱锥的体积问题，锥体的体积问题关键是找到相应的直线与平面垂直，同时还要注意三棱锥可以转换顶
28、点在求相关几何体体积中用到了垂直关系，通过前两节课的复习在求异面直线所成角和二面角时也用到了垂直关系二.例题解析例题 如图，一块正方体形木料的上底面有一点E若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，则应该怎样画？解：设要画的直线为，连接EC1D1A1B1C1DBACEl由题意 平面A1C1，且CEABCD-A1B1C1D1是正方体，CC1平面A1C1又 平面A1C1，二.例题解析例题 如图，一块正方体形木料的上底面有一点E若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，则应该怎样画？在上底面过点E作直线EC1即可 EC1 平面CEC1又 CE，CECC1C，CC1D1A1B1C1DBACElEC1
29、平面CEC1 ，二.例题解析总结：这道题考查了直线与直线垂直与直线与平面垂直的相互转化，同时这道题的难点是如何建立数学模型，如何借助相应的图形和符号来表示这个模型，灵活应用文字语言、图形语言、符号语言三种语言，这也是本章的重点三.本节小结1.这节课复习了直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的相关知识，构建了空间立体几何中的垂直关系的知识结构，构建知识结构图的过程中要实现知识的内化，理解并记忆三种垂直关系的转化可结合下面的框图进行记忆线线垂直线面垂直判定线线平行性质面面垂直判定性质三.本节小结2.这节课我们综合运用这些定理、性质和已获得的结论证明了一些空间图形垂直关系的简单命题空间垂直关系之间的转化是立体几何中证明垂直关系的常用思路，在解决问题的过程中，紧紧抓住“由已知得到什么？得结论需要什么？”，进一步找到解决问题办法三.本节小结3.这节课同学们在寻求解题思路和给出严格证明的过程中提升了自己的直观想象能力和逻辑分析能力四.课后作业ABC1A1B1C如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=，AA1=AB，求证：A1CAB190
