1、计数原理计数原理水若长流能成河，水若长流能成河，山以积石方为山以积石方为高高 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有条路，从乙地到丁地有2条路；条路；从甲地到丙地有从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有条路，从丙地到丁地有4条路，条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？问：从甲地到丁地有多少种走法？要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理导入新课导入新课甲地甲地乙地乙地丙地丙地丁地丁地 从甲地到乙地，可以乘火车，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车班，汽车有有2班那么一天中，乘坐这些交通工
2、具从班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲地到乙地共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2种走法，每种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：325（种）（种）分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理1、分类计数原理、分类计数原理（加法原理）（加法原理）做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n类类办法办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种不同的种不同的方法方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的种不同的方法，方法，在第，在第n类办法
3、中有类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共种不同的方法。那么完成这件事共有有N=m1+m2+mn种不同的方法。种不同的方法。有有60种取法。种取法。因此取法种数共有因此取法种数共有40+60=100（种）（种）例例1：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球，个红球，60个白个白球，从中任取一个球，有多少种取法？球，从中任取一个球，有多少种取法？解：取一个球的方法可以分成两类：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球一类是从装白球的袋子里取一个白球有有40种取法；种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球另一类是从装红球的袋子里取一个红球40个个60个个 问
4、题问题2：如图：如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，由条，由B村去村去C村的道路有村的道路有2条。从条。从A村村经经B村去村去C村，共有多少种不同的走法村，共有多少种不同的走法?A村村B村村C村村北北南南中中北北南南 解：解：从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步步,第一步第一步,由由A村去村去B村有村有3种方法种方法,第二步第二步,由由B村去村去C村有村有3种方法种方法,所以所以 从从A村经村经 B村去村去C村共有村共有 3 2=6 种不同的方法种不同的方法。问题问题3：用前6个大写英文字母和19个阿拉伯数字,以A1,A2,B1,B2的方式给教室的座位编号.A123456789
5、A1A2A3A4A5A6A7A8A99种B1234567899种6 9=542、分步计数原理、分步计数原理 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个个步骤，做第一步有步骤，做第一步有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步有做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法，那么完种不同的方法，那么完成这件事有成这件事有N=m1m2mn种不种不同的方法同的方法。（乘法原理）（乘法原理）例例2：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球与个红球与60个白球，个白球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个
6、个40个个解：取一个白球和一个红球可以分成解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：两步来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球第一步从装白球的袋子里取一个白球，有有60种种第二步从装红球的袋子里取一个红球，第二步从装红球的袋子里取一个红球，有有40种种共共60*40=2400 一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成十个数字组成,可以设置多少种三位数的可以设置多少种三位数的密码密码(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)?首位数字不为首位数字不为0的的密码数是多少密码数是多少?首位数字是首位数字是0的密码数又是多少的密码数
7、又是多少?分析分析:按密码位数按密码位数,从左到右从左到右依次设置第一位、第二位、第三依次设置第一位、第二位、第三位位,需分为三步完成需分为三步完成;第一步第一步,m1=10;第二步第二步,m2=10;第三步第三步,m3=10.根据乘法原理根据乘法原理,共可以设置共可以设置 N=101010=103 种三位数的密码。种三位数的密码。练习 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步”区别二区别二每类办法都能每类办法都能独立完成独立
8、完成这件事情。这件事情。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都任何一步都不能独立完成不能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这件事情。件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三区别三各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、并列的、独立的并列的、独立的各步之间是相关联的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计
9、数原理的区别和联系：ABm1m2mn.ABm1m2mn点评点评:乘法原理看成乘法原理看成“串联电路串联电路”加法原理看成加法原理看成“并联电路并联电路”;1 1、从、从5 5名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职方案有多少种？方案有多少种？2 2、三层书架上，上层放着、三层书架上，上层放着1010本不同的语文书，中层本不同的语文书，中层放着放着9 9本不同的数学书，下层放着本不同的数学书，下层放着8 8本不同的英语书，本不同的英语书，（1 1）从书架上任取一本，有多少种取法？）从书架上任取一本，有多少种取法？（2 2）从书架上任取语数外各一本，有多少种
10、取法？）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？3 3、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？位数共有多少个？4某中学的一幢某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯，问从处楼梯，问从1楼到楼到5楼共有多少种不同的走法？楼共有多少种不同的走法？判断下列用分类判断下列用分类 还是分步原理，并说出式子还是分步原理，并说出式子分步分步 5 54 4分类分类 10+9+810+9+8分步分步 10109 98 8分类分类(按十位分按十位分)8+7+6+5+4+3+2+1)8+7+6+5+4+3+2+1分步分步 3 33 33 33 3
11、例例3：某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人人 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖,有多少种不同有多少种不同的选法？的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会加座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？例例4：某城市电话号码由某城市电话号码由8位组位组成，其中从左边算起的第成，其中从左边算起的第1位只用位只用6或或8，其余，其余7位可以从前位可以从前10个自然个自然数数0，1，2，,9中任意选取，允中任意选取，允许数字重复。试问：该城市最多许数字重复。试问：该城市最多可装电话多少？可装电话多少？1、书架的
12、第、书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书，第第2层放有层放有3本不同本不同 的文艺书，第的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书（1）从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同本书，有多少种不同的取法？的取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有本书，有多少种不同的取法？多少种不同的取法？练习练习14+3+2=9（种）（种）4 3 2=24（种）（种）2、由数字、由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个四位数？（各位可以组成多少个四位数？（各位上的数字不重复）上的数字不重复）6 5 4 3=360（个）（个）3、一种号码锁有、
13、一种号码锁有4个拨号盘，个拨号盘，每个拨号盘上有从每个拨号盘上有从0到到9共共10个数个数字，字，这这4个拨号盘可以组成多少个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？个四位数字的号码？10 10 10 10=104 有些较复杂的问题往往不是单纯有些较复杂的问题往往不是单纯的的“分类分类”“”“分步分步”可以解决的，可以解决的，而要将而要将“分类分类”“”“分步分步”结合起来结合起来运用一般是先运用一般是先“分类分类”，然后再，然后再在每一类中在每一类中“分步分步”，综合应用分综合应用分类计数原理和分步计数原理请看类计数原理和分步计数原理请看下面的例题：下面的例题：注意注意 从甲地到乙从甲地到乙地有
14、地有3条路，条路，从乙地到丁地从乙地到丁地有有2条路；从条路；从甲地到丙地有甲地到丙地有3条路，从丙条路，从丙地到丁地有地到丁地有4条路，问：从条路，问：从甲地到丁地有甲地到丁地有多少种走法？多少种走法？甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 如图如图,一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?A1B1C1D1ACDB练习 解解:如图如图,从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶爬到顶点点C1有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需两步完从局部上看每类又需两步完成成,所以所以,第一类第一类,m
15、1=12=2 条条 第二类第二类,m2=12=2 条条 第三类第三类,m3=12=2 条条 所以所以,根据加法原理根据加法原理,从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近最近路线共有路线共有 N=2+2+2=6 条。条。A1B1C1D1ACDB1有不同的中文书有不同的中文书9本，不同的英文书本，不同的英文书7本，不同的日本，不同的日文书文书5本从其中取出不是同一国文字的书本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多本，问有多少种不同的取法？少种不同的取法？2集合集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 从从A,B 中各取中各取1个元个元素作为点素作为点P(x,y)的坐标的坐标（1）可以得到多少个不同的点？）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？）这些点中，位于第一象限的有几个？讲讲练练讲讲练练979575143344324222283集合集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,从从A到到B的映射有多的映射有多少个？少个？333381小结小结2.2.分类计数原分类计数原理和分步计数理和分步计数原理的共同点原理的共同点是什么？不同是什么？不同点什么？点什么？1:1:分类计数原分类计数原理和分步计数理和分步计数原理定义原理定义 作业作业：P12 1,2,3,4
