1、 20192020 高一数学 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 ） 1集合?068A?， ，的非空 子集的个数为 A3 B6 C7 D8 2下列各图中，一定不是 函数的图象的是 A B C D 3函数 1 ln 1 yx x ? ? 的定义域为 A?01， B?01， C?1?， D?1?， 4已知 1 tan 7 ?， 4 tan 3 ? ?，且(0)?，则? A 2 3 B 3 4 C 5 6 D 7 4 S 高一数学试题 第 1 页（共 6 页） x y O x y O
2、 x y O x y O 5智能主动降躁耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过 听感主动降躁芯片生成相等的反向的波抵消噪音 （如图） . 已知某噪音的声波曲线?sinyAx? （0A?，0?， 0 2 ?）的振幅为 1，周期为2，初相为 0，则通过听感主动降躁芯 片生成相等的反向波曲线为 Asinyx? Bcosyx? Csinyx? ? Dcosyx? 6设 1 e， 2 e是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能 作为基底的是 A 12 ?ee和 12 ?ee B 1 e和 12 ?ee C 12 3?ee和 21 3?ee D 12 32?ee和 21 46?
3、ee 7下列大小关系正确的是 A 45 coscos 78 ? B? ? 0.20.3 22 33 ? ? C? ? 11 22 23 ? ? D 11 23 log2log3? 噪声声波 （第 5 题） 两者叠加后 用来降躁的反向声波 8 已知方程ln112xx?的实数解为 0 x，且? 0 1xkk?， * k?N，则k ? A1 B2 C3 D4 9 函数 42 1yxx?的图象大致为 A B C D 10已知函数 ? 3 cos 2 yx?， ? 5 6 ，xt ? ? ? ? 5 6 t ?既有最小值也有最大值，则实数t的 取值范围是 A 313 26 t? B 3 2 t ? C
4、313 26 t?或 5 2 t ? D 5 2 t ? S 高一数学试题 第 2 页（共 6 页） x y O y y x y O x O x O O A （第 13 题） 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，共计 12 分在每小题给出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 ） 11对于给定的实数a，关于实数 x 的一元二次不等式()(1)0a xa x?的解集可能为 A? B?1a? ， C?1a?， D?1a? ?， 12定义：在平面直角坐标系 xOy 中，若存在常数(0)? ?，使得函数( )yf x?的图象向右 平移?个单位长度后，
5、恰与函数( )yg x?的图象重合，则称函数( )yf x?是函数( )yg x? 的“原形函数”.下列四个选项中，函数( )yf x?是函数( )yg x?的“原形函数”的是 A 2 ( )f xx?， 2 ( )21g xxx? B( )sinf xx?，( )cosg xx? C( )lnf xx?，( )ln 2 x g x ? D ? 1 ( ) 3 x f x ?， ? 1 ( )2 3 x g x ? 13如图，46?的方格纸（小正方形的边长为 1）中有一个向量OA（以图中的格点 O 为起点， 格点 A 为终点） ，则 A分别以图中的格点为起点和终点的向量中， 与OA是相反向量的
6、共有 11 个 B满足10OAOB?的格点 B 共有 3 个 C存在格点 B，C，使得OAOBOC? D满足1OA OB?的格点 B 共有 4 个 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分其中第 17 题共有 2 空，每空 2 分； 其余题均为一空，每空 4 分请把答案填写在答题卡相应位置上 ） 14已知集合?101A? ， ，?012B ?， ，?13C ?，则?ABC ? . A B C D O E （第 15 题） 15如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ? a，AD ? b，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，点 E 在边 CD 上，且2DEEC?，则O
7、E ? .（用a，b表示） S 高一数学试题 第 3 页（共 6 页） 64 cm 24 cm 16 cm 16 cm （第 16 题） 16中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅 （14701523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 cm2. 17请先阅读下面的材料： 对于等式 b ac?（0a ?，且1a ?） ，如果将 a 视为自变量 x，b 视为常数，c 为关于 a（即 x）的函数，记为 y，那么 b yx?，是幂函数；如果将 a 视为常数，b 视为自变量 x，c 为 关于 b（即 x）的函数，记为 y，那么 x ya?，是指数函数
8、；如果将 a 视为常数，c 视为自 变量 x，b 为关于 c（即 x）的函数，记为 y，那么logayx?，是对数函数. 事实上， 由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如， 如果 c 为常数 e （自然对数的底） ， 将 a 视为自变量 x，则 b 为 x 的函数，记为 y，那么 y x ? ，若将 y 表示为 x 的函数， 则y ? （0x ?，且1x ?）. 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 82 分请在答题卡指定区域 内作答解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 18 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面向量( 23)?，a，(24)? ? ，b，
9、(11)?，c. （1）求证：?ab与?ac垂直； （2）若?ab与c是共线向量，求实数?的值. 19 （本小题满分 14 分） 已知函数( )sinf xx?，x?R.现有如下两种图象变换方案： 方案 1：将函数( )f x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得 图象向左平移 6 个单位长度； 方案 2：将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变 为原来的一半，纵坐标不变. 请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数( )g x的解析式，并解决如下问题： （1）画出函数( )g x在长度为一个周期的闭区间上的图象； （2）请你研究函
10、数( )g x的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论. S 高一数学试题 第 4 页（共 6 页） 20 （本小题满分 14 分） 已知全集U ? R，集合? 2 2150Ax xx?，集合? ? 2 210Bxxaxa?. （1）若1a ?，求 UA和B； （2）若ABA?，求实数a的取值范围. 21 （本小题满分 14 分） 已知 2 sin 3 ?， ? 2 ?， 3 cos 5 ? ?， ? 3 2 ?，. （1）求tan?和sin2?的值； （2）比较?与2?的大小，并说明理由. S 高一数学试题 第 5 页（共 6 页） 22 （本小题满分 14 分） 用清水漂洗
11、衣服上残留的洗衣液.对用一定量的清水漂洗一次 的效果作如下假定：用 1 个 单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一半，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗 衣液残留在衣服上.设用x单位量的清水漂洗一次 后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂 洗前残留的洗衣液质量之比为函数( )f x，其中0x ?. （1）试规定(0)f的值，并解释其实际意义； （2） 根据假定写出函数( )f x应该满足的条件和具有的性质， 并写出满足假定的一个指数函数； （3）设函数 3 ( ) 53 x f x x ? ? ? . 现有c（0c ?）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水 平均分成 2 份后先后漂洗两次，试确定
12、哪种方式漂洗效果更好？并说明理由. 23 （本小题满分 14 分） 设a?R，函数 2 ( ) 2 x x a f x a ? ? ? . （1）若1a ?，求证：函数( )f x为奇函数； （2）若0a ?，判断并证明函数( )f x的单调性； （3）若0a ?，函数( )f x在区间?mn，()mn?上的取值范围是( 22 mn kk k ? ? ? ? R )， 求 k a 的范围. S 高一数学试题 第 6 页（共 6 页） 1 2020 海安市高一数学参考答案与评分建议 20200108 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共计 40 分） 15 C B A B C
13、 610D B D A C 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，共计 12 分） 11ABCD 12ABD 13BCD 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分） 14?013， ， 15 11 62 ?ab 16704 17e； 1 lnx （注：log e x 亦可） 三、解答题（本大题共 6 小题，共计 82 分） 18 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面向量( 23)?，a，(24)? ? ，b，(11)?，c. （1）求证：?ab与?ac垂直； （2）若?ab与c是共线向量，求实数?的值. 证明： （1）因为(23)
14、?，a，(24)? ? ，b，(11)?，c， 所以?41?，ab，?14?，ac. 2 分 从而?ab?4 1( 1)40? ? ?ac， 4 分 且?ab与?ac均为非零向量， 所以?ab与?ac垂直. 6 分 解： （2）因为(23)?，a，(24)? ? ，b，所以?2234?，ab， 又(11)?，c，且?ab与c是共线向量， 8 分 所以? ? ?2213410? ? ?， 10 分 解得 5 2 ? ?. 12分 19 （本小题满分 14 分） 已知函数( )sinf xx?，x?R.现有如下两种图象变换方案： 方案 1：将函数( )f x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵
15、坐标不变，再将所得 图象向左平移 6 个单位长度； 方案 2：将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变 为原来的一半，纵坐标不变. 2 请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数( )g x的解析式，并解决如下问题： （1）画出函数( )g x在长度为一个周期的闭区间上的图象； （2）请你研究函数( )g x的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论. 解：方案 1： ? sinsin2sin2 6 xxx?； 方案 2： ? sinsinsin 2 33 xxx?， 所以， 无论在何种方案下所得函数都是( )g x ? ? sin 2
16、3 x ?. 4 分 （1）如图，是函数( )g x ? ? sin 2 3 x ?在?0，这一个周期上的图象： 7 分 （2）定义域：R. 8 分 值域：?1 1? ，. 9 分 周期性：. 10 分 奇偶性：因为 3 (0)sin01 32 g?，所以( )g x不具有奇偶性. 12 分 单调性：在每个? ? 5 () 1212 kkk?Z，上单调递增； 在每个? ? 7 () 1212 kkk?Z，上单调递减. 14分 20 （本小题满分 14 分） 已知全集U ? R，集合? 2 2150Ax xx?，集合? ? 2 210Bxxaxa?. （1）若1a ?，求 UA和B； O 7 1
17、2 12 1 -1 3 2 x y （2）若ABA?，求实数a的取值范围. 解： （1）因为集合? 2 2150Ax xx?，所以?35Axx?， 2 分 又全集U ? R， 所以 UA? ? 35x xx?， 或. 4 分 当1a ?时，集合? ? 2 10Bxx?，所以B ?. 6 分 （2）因为ABA?，所以BA?. 8 分 当B ?时，满足BA?，所以1a ?. 9 分 当B ? ?时，即1a ?时，? 2 21Bxaxa? ?， 10 分 3 又由（1）知，?35Axx?， 所以 2 213 5 a a ? ? ? ， ， 12 分 所以15a?，且1a ?. 综上，15a?. 14
18、 分 21 （本小题满分 14 分） 已知 2 sin 3 ?， ? 2 ?， 3 cos 5 ? ?， ? 3 2 ?，. （1）求tan?和sin2?的值； （2）比较?与2?的大小，并说明理由. 解： （1）因为 22 sincos1?，且 2 sin 3 ?， ? 2 ?， 所以 5 cos 3 ? ?. 2 分 从而 2 2 5sin3 tan cos5 5 3 ? ? ? ? ? ? . 4 分 因为 22 sincos1?，且 3 cos 5 ? ?， ? 3 2 ?， 所以 4 sin 5 ? ?. 6 分 从而 ? ? 4324 sin22sincos2 5525 ? ? ?
19、. 8分 （2）法法 1： 因为 ? 2 ?， ? 3 2 ?，所以 ? 35 22 ?，. 9 分 结合（1）知，?sinsincoscossin? 11 分 ? 5234 3535 ? ? ? ? 4 56 0 15 ? ?， 12 分 所以 ? 5 2 2 ?，从而2?，即?2?. 14 分 法法 2：由（1）知， 5 cos 3 ? ?， ? 2 ?， 且? 3 cos 2cos 5 ? ?，且2? ? 2 ， 10 分 因为函数cosyx?在区间? ? 2 ，上单调递减，且cos?cos 2?， 12 分 所以?2?. 14 分 4 法法 3： 由 （1） 知， 2 5 tan 5
20、? ?， 4 sin 45 tan cos33 5 ? ? ? ? ? ? ， 从而? 4 tan 2 3 ? ?， 又 ? 2 ?，且 ? 3 2 ?，从而2? ? 2 ， 10 分 因为函数tanyx?在区间? ? 2 ，上单调递增，且tan?tan 2?， 12 分 所以?2?. 14 分 22 （本小题满分 14 分） 用清水漂洗衣服上残留的洗衣液.对用一定量的清水漂洗一次 的效果作如下假定：用 1 个 单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一半，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗 衣液残留在衣服上.设用x单位量的清水漂洗一次 后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂 洗前残留的洗衣液质量之比
21、为函数( )f x，其中0x ?. （1）试规定(0)f的值，并解释其实际意义； （2） 根据假定写出函数( )f x应该满足的条件和具有的性质， 并写出满足假定的一个指数函数； （3）设函数 3 ( ) 53 x f x x ? ? ? . 现有c（0c ?）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水 平均分成 2 份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由. 解： （1）规定(0)1f?，表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为 1； 2 分 （2）函数( )f x应该满足的条件：(0)1f?，且 1 (1) 2 f?； 3 分 函数( )f x应该具有的性质：( )f x为?0? ?
22、，上的单调减函数（即( )f x的值随x 增加而减小） ，且当x无限大时，( )f x无限趋近于 0； 5 分 满足假定的一个指数函数 ? ? 1 ( ) 2 x f x ?， 其中0x ?. 7 分 （3）设用c（0c ?）单位量的清水漂洗一次后，剩余洗衣液的质量为 1 3 53 c f c ? ? ? ； 8 分 将c（0c ?）单位量的清水水平均分成 2 份后先后漂洗两次后，剩余洗衣液的 质量为 ? ? ? 2 2 2 3 62 56 53 2 c c f cc ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ； 10 分 则 ? ? ? 2 2 12 2 4518 36 0 5356 53 5
23、6 cc cc ff cc cc ? ? ? ? ? ， 所以 12 ff?. 12 分 答：将c单位量的清水水平均分成 2 份后先后漂洗效果更好. 14 分 5 23 （本小题满分 14 分） 设a?R，函数 2 ( ) 2 x x a f x a ? ? ? . （1）若1a ?，求证：函数( )f x为奇函数； （2）若0a ?，判断并证明函数( )f x的单调性； （3）若0a ?，函数( )f x在区间?mn，()mn?上的取值范围是( 22 mn kk k ? ? ? ? R )， 求 k a 的范围. 解： （1）当1a ?时，函数 21 ( ) 21 x x f x ? ? ?
24、 . 因为210 x ? ?， 所以0x ?. 1 分 从而对任意的0x ?， 2112 ()( ) 2112 xx xx fxf x ? ? ? ? ? ? ， 所以 21 ( )(0) 21 x x f xx ? ? ? 为奇函数. 3 分 （2） 当0a ?时， 因为20 x ?， 所以20 x a?， 所以函数 2 ( ) 2 x x a f x a ? ? ? 的定义域为R. 结论：函数 2 ( )(0) 2 x x a f xa a ? ? ? 为R上单调增函数. 5 分 证明：设对任意的 12 xx ?R，且 12 xx?， 则 12 12 12 22 ()() 22 xx xx
25、 aa f xf x aa ? ? ? ? ? ? 1221 12 2222 22 xxxx xx aaaa aa ? ? ? ? ? 21 12 222 22 xx xx a aa ? ? ? ， 6 分 因为 12 xx?，所以 21 22 xx ?，即 21 220 xx ?. 又因为 12 2020 xx aa?，0a ?，所以 ? ? 21 12 222 0 22 xx xx a aa ? ? ? . 于是 12 ( )()f xf x?，即证. 7 分 （3）因为mn?，所以22 mn ?，从而 11 22 mn ?. 又由 22 mn kk? ? ? ，知， 22 mn kk ?
26、，所以0k ?. 8 分 因为0a ?，所以0a ?或0a ?. 1当0a ?时，由（2）知，函数 2 ( ) 2 x x a f x a ? ? ? 为R上单调增函数. 因为函数( )f x在区间?mn，()mn?上的取值范围是( 22 mn kk k ? ? ? ? R )， 6 所以 ( ) 2 ( ) 2 m n k f m k f n ? ? ? ? ? ? ， ， 即 2 22 2 22 m mm n nn ak a ak a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， . 9 分 从而关于x的方程 2 2 x x a a ? ?2x k ?有两个互异实根. 令2xt ?，则0t
27、?，所以方程? 2 0tak tak?0ak ?，有两个互异正根. 10 分 所以? 2 0 2 40 0 ak akak ak ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ，从而032 2 k a ?. 11 分 2当0a ?时，函数 2 ( )1 2x a f x a ? ? ? 在区间? 2 log a?，? 2 log a?，上均 单调递减. 12 分 若?mn?，? 2 log a?， 则( ) 1f x ?， 于是0 2m k ?， 这与0k ?矛盾， 故舍去； 若?mn?，? 2 log a?， 则() 1f x ?， 于是 ( ) 2 ( ) 2 n m k f m k f n
28、 ? ? ? ? ? ? ， ， 即 2 22 2 22 m mn n nm ak a ak a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ， 13 分 法法 1：所以 ? ? 222 222 nmm mnn aka aka ? ? ? ? ? ? ? ， ， 两式相减并整理得，?220 nm ak?， 又22 mn ?，故220 nm ?，从而0ak?.因为0a ?，所以1 k a ? ?. 法法 2：由得， ? 2 2 2 m n m ka a ? ? ? ， 代入并整理得， ? 2 () 2()()2()0 mm akak akak ak?. 当0ak?时，m为? 2 log a?，内的任意实数，此时1 k a ? ?； 当0ak?时，? ? 2 2()20 mm akak?， 令2xs ?，则0s ?，所以方程? 2 0sak sak?00ak?，有两个互异 实根 12 ss，而 1 2 0s sak?，这与00ak?，矛盾，故不成立. 所以1 k a ? ?. 综上，k a 的范围是? ? ? 032 21?，. 14 分
