1、栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三第第2 2讲圆锥曲线的方程与讲圆锥曲线的方程与性质性质栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三总纲目录总纲目录总纲目录考点三直线与圆锥曲线的位置关系考点二圆锥曲线的几何性质考点一圆锥曲线的定义及标准方程栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一考点一圆锥曲线的定义及标准方程考点一圆锥曲线的定义及标准方程1.(2019课标全国,9,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.823xp2ypD栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一答案答案 D本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解
2、能力;考查的核心素养为数学运算.抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为,椭圆+=1的一个焦点坐标为,3p-p=,解得p=8.思路分析利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,求解即可.,02p23xp2yp,02p24p栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一2.(2019课标全国,10,5分)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则OPF的面积为()A.B.C.D.24x25y32527292B栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一答案答案 B本题主要考查双曲线的定义和标准方程,结合图形考查学生的数据处理能力、运算求解
3、能力,考查数形结合思想及数学运算的核心素养.如图,记双曲线的右焦点为F,设左焦点为F,连接PF,PF,栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一由题意得F(3,0),F(-3,0),|OP|=|OF|=|FF|=3,FPF=90,设|PF|=m,|PF|=n,则故mn=10.SOPF=SPFF=mn=,故选B.1222-4,36,m nmn222-(-)2mnm n121452解题关键解题关键由于题中条件只涉及一个焦点F,故合理作图标出左、右两焦点F,F,并将双曲线的定义作为已知条件直接应用是解决本题的关键,利用平面几何知识发现FPF=90是解决本题的关键.栏目索引高考导航总纲目录考点一
4、考点二考点三考点一3.(2019课标全国,12,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=122x23x22y24x23y25x24yB栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一答案答案 B本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用;考查了数学运算能力和方程的思想;考查的核心素养是数学运算,具有很好的创新意识.令|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|
5、)=4a-6x,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F2B|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2+22-4xcosBF2F1,栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一在AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22-8xcosAF2F1,由得x=,所以2a=4x=2,a=,b2=a2-c2=2.故椭圆的方程为+=1.故选B.323323x22y栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三
6、考点一思路分析思路分析由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,又b2=a2-1,故可得椭圆的方程.疑难突破疑难突破利用余弦定理灵活解三角形是难点突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一总结提升总结提升求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”(1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线方程常设为y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆方程常设为mx2+ny2=1(m0,n0,且mn),双曲线方程常设
7、为mx2-ny2=1(mn0).提能提能 椭圆和双曲线的定义主要应用于两方面:一是利用定义求它们的标准方程;二是利用定义求弦长、离心率及焦点三角形的周长、面积(或最值)等.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一1.(2019湖北四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若F1AB的周长为8,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=122xa22yb1224x23y216x212y22x24x22yA栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一答案答案 A由椭圆的定义可知,
8、F1AB的周长为4a,4a=8,a=2,又椭圆C的离心率为,即=,c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆C的方程为+=1,故选A.12ca1224x23y栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一2.(2019河北石家庄一模,11)已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线右支上存在一点M,使(+)=0(O为坐标原点),且|=t|,则实数t的值为()A.B.2C.2D.328x212yOM 2OF2F M1FM 2F M32D栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一答案答案 D(+)=0,(+)(-)=0,|2-|2=0,|=|=c,MF2MF1.|F1F2|=2c=
9、4,|MF1|2+|MF2|2=(4)2.又|MF1|-|MF2|=2a=4,|MF1|=6,|MF2|=2,t=3.故选D.OM 2OF2F MOM 2OFOM 2OFOM 2OFOM 2OF5522212|MFMF栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一3.(2019河北廊坊省级示范校三联)设F1,F2分别为双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则BF1F2的面积为.22xa22yb答案答案92栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一解析解析|AF2|=3,|BF2|=5,|AF
10、2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=3+5-4=4,a=1,|BF1|=5-2a=3,又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,F2AB=90,sinB=,=53sinB=53=.351 2BF FS12123592栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点一疑难突破疑难突破根据双曲线的定义可得到|BF1|=3,再根据F2AB是直角三角形求得sinB,最后利用三角形面积公式即可得到答案.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二考点二圆锥曲线的几何性质考点二圆锥曲线的几何性质1.(2018课标全国,11,5分)已知F1,F2是
11、椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-13233-123D栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二答案答案 D本题主要考查椭圆的定义和几何性质.不妨设椭圆C的方程为+=1(ab0).在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a,所以椭圆C的离心率e=-1.故选D.22xa22yb33ca2313栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二疑难突破疑难突破利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,
12、结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是难点的突破口.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二2.(2019课标全国,12,5分)设F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.B.C.2D.22xa22yb235A栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二答案答案 A本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.如图,连接OP,|PQ|=|OF|=c,PQ过以OF为直径的圆的圆心.易得P.又|OP|=a,a2=+=,02c,2
13、 2c c22c22c22c栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二=2,e=.故选A.2caca2解题解题关键关键由|PQ|=|OF|=c,可知PQ过以OF为直径的圆的圆心,进而得到P是解答本题的关键.,2 2c c栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二3.(2019课标全国,15,5分)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.236x220y答案答案(3,)15栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二解析解析本题考查椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法;考查了数学运算的
14、核心素养.不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|,又由椭圆方程+=1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=26=12.所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4.设M(x0,y0)(x00,y00),则解得x0=3,y0=,即M(3,).236x220y22002200(4)64,(-4)16,xyxy1515栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二总结提升总结提升椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率(或离心率的范围),关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系(或不等关系),然
15、后把b用含a,c的式子代换,求的值(或范围).ca栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二1.(2019湖南长沙模拟)已知双曲线-=1(m0)的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x2ym29x34432 233 24B栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二答案答案 B由双曲线-=1(m0)的焦点在y轴上,且在直线x+y=5上,而直线x+y=5与y轴的交点坐标为(0,5),即c=5,则m+9=25,解得m=16,则双曲线的方程为-=1,则双曲线的渐近线方程为y=x.故选B.2ym29x216y29x43栏目索引高考导航总
16、纲目录考点一考点二考点三考点二2.(2018福建福州模拟)过椭圆C:+=1(ab0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.22xa22yb50,55,1520,22,12A栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点二答案答案 A由题设知,直线l:+=1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将x=c代入椭圆C的方程,得y=,则以AB为直径的圆的半径r=.又圆与直线l有公共点,所以,化简得2cb,平方整理得a2=b2+c25c2,所以e=.又0e1,所以
17、00)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.|OHON栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三解析解析(1)由已知得M(0,t),P.又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.2,2ttp2,ttppt22tp22,2ttp|OHON栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2p
18、x得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.2pt2tp栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三总结提升总结提升直线与圆锥曲线相切,如果直线不与抛物线的对称轴平行或重合、不与双曲线的渐近线平行,那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时,只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程,使其判别式等于零即可.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三命题角度二直线与圆锥曲线的相交弦问题命题角度二直线与圆锥曲线的相交弦问题(2018课标全国,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交
19、于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:k-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:2|=|+|.12FP FAFB FP FAFB 24x23y栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三证明证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0m,故k-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).214x213y224x223y1212-y yx x124xx123yy122xx122
20、yy34m3212栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0,在利用点差法时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三1.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.24x栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三解析解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=1.(2)由y=,得
21、y=.设M(x3,y3),由题设及(1)知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.214x224x1212-y yx x124xx24x2x32x栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三将y=x+m代入y=,得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22.易知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7(m=-1舍去).所以直线AB的方程为x-y+7=0.24x1m2(1)m栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三2.(2019合肥第二次质量检测)已知直线l:
22、x-y+1=0与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p0)相切.(1)求抛物线C的方程;(2)过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三解析解析(1)由消去x,得y2-2py+2p=0,直线l:x-y+1=0与抛物线C相切,=4p2-8p=0,解得p=2或p=0(舍去).抛物线C的方程为y2=4x.(2)由于直线m的斜率不为0,所以可设直线m的方程为ty=x-1,由消去x,得y2-4ty-4=0,1=16t2+160,设A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=4t,x1+x2=4t2+2,线段AB的中点M的坐标为(2t2+1,2t).2-10,2x yypx 2-1,4tyxyx栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点三考点三设点A到直线l的距离为dA,点B到直线l的距离为dB,点M到直线l的距离为d,则dA+dB=2d=2=2|t2-t+1|=2,当t=时,可使A,B两点到直线l的距离之和最小,距离之和的最小值为.2|2-22|2tt 22213-24t123 22
