1、1、竖直平面内的圆周运动、竖直平面内的圆周运动（1）无支持物模型）无支持物模型临界条件：小球恰能过最高点临界条件：小球恰能过最高点grv 0rmvmg20A、能过最高点的条件：、能过最高点的条件：B、不能过最高点的条件：、不能过最高点的条件：思考思考:小球在竖直平面的运动情况小球在竖直平面的运动情况?grv grv 实际是球还没到最高点时就脱离了轨道实际是球还没到最高点时就脱离了轨道（2）有支持物模型）有支持物模型a、当、当v=0时，时，N=mggrc、当、当v=时，时，N=0b、当、当0v 时，支持力时，支持力N,0Nmggrmg N =rvm2grd、当、当v 时，拉力时，拉力TT+mg
2、=rvm2临界条件：临界条件：小球恰能到最高点：小球恰能到最高点：v=0；轻杆无弹力时：轻杆无弹力时：grv 例例1、如图所示，长为如图所示，长为L的轻杆，一端固定着一个小球，的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕光滑的水平轴转使小球在竖直平面内运动，另一端可绕光滑的水平轴转使小球在竖直平面内运动，设小球在最高点的速度为设小球在最高点的速度为v,则（则（）A.v的最小值为的最小值为B.v若增大，向心力也增大若增大，向心力也增大C.当当v由由 逐渐增大时，杆对球的弹力也增大逐渐增大时，杆对球的弹力也增大D.当当v由由0逐渐增大时，杆对球的弹力先减小后增大逐渐增大时，杆对球的弹力先减小后增大gLg
3、L 例例2、杂技演员表演杂技演员表演“水流星水流星”，使装有水的瓶子在，使装有水的瓶子在竖直平面内做半径为竖直平面内做半径为0.9 m的圆周运动，若瓶内盛有的圆周运动，若瓶内盛有100 g水，瓶的质量为水，瓶的质量为400 g，当瓶运动到最高点时，瓶口向，当瓶运动到最高点时，瓶口向下，要使水不流出来，瓶子的速度至少为下，要使水不流出来，瓶子的速度至少为 m/s,若瓶子在最高点的速度为若瓶子在最高点的速度为6m/s则瓶子对水的压力为则瓶子对水的压力为 N，绳子受到的，绳子受到的拉力为拉力为_N。v 解：解：在圆周的最高点，杯子中的水受到的杯底在圆周的最高点，杯子中的水受到的杯底对它的压力和重力的
4、合力为向心力。对它的压力和重力的合力为向心力。rvmNmg2而压力只能：而压力只能：0Nsmgrv/3所以水不流出的条件是：所以水不流出的条件是：若瓶子在最高点的速度为若瓶子在最高点的速度为6m/s6m/s)(15)()(2NgMmRvMmT绳子受到的拉力为：绳子受到的拉力为：)(32NmgRvmN则瓶子对水的压力为则瓶子对水的压力为例例3、用钢管做成半径为用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管的光滑圆环（管径远小于径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点直）竖直放置，一小球（可看作质点直径略小于管径）质量为径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运在环内做圆周运动，求动，求:小球通
5、过最高点小球通过最高点A时，下列两种情况下球时，下列两种情况下球对管壁的作用力。对管壁的作用力。取取g=10m/s2，求：求：(1)A的速率的速率为为1.0m/s (2)A的速率为的速率为4.0m/s。AOm解：解：先求出弹力为先求出弹力为0 0 时的速率时的速率v v0 0(1)v(1)v1 1=1m/s v=1m/s v=4m/s v0 0 球应受到外壁向下的弹力力球应受到外壁向下的弹力力N N2 2AOmN2mg由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别为：由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别为：(1)(1)对内壁对内壁1.6N1.6N向下的压力向下的压力 (2)(2)对外壁对外壁4.4N4.
6、4N向上的压力向上的压力.rvmmg2smrgv/25.20rvmNmg211)(6.11NN rvmNmg222)(4.42NN 例例4、如图，轻细杆可绕光滑的水平轴如图，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直面内在竖直面内转动，杆的两端固定有质量均为转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的小球的小球A和和B，球心到轴球心到轴O的距离分别为的距离分别为O=0.8m，BO=0.2m。已知。已知A球转到最低点时速度为球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时，问此时A、B球对球对杆的作用力的大小和方向？杆的作用力的大小和方向？ABvAvB解解:两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同，由此两球固定在一轻杆上
7、，它们的角速度相同，由此可知：可知：vA=4m/s时时vB=1m/s对对A球：球：FA-mg=mvA2/OA解出：解出：FA=30N，于是，于是A球对细杆的力大小为球对细杆的力大小为30N，方，方向向下向向下对对B球：设杆对球的作用力向下，则球：设杆对球的作用力向下，则FB+mg=mvB2/OB解出：解出：FB=-5N，于是，于是B球对细杆的力大小为球对细杆的力大小为5N，方向，方向向下向下ABvAvB例例5、如图所示，在电动机上距水平轴如图所示，在电动机上距水平轴O为为r处固定一个处固定一个质量为质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度做匀速圆
8、周运动，则在转动过程中，电动机对地面的做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的最大压力和最小压力的数值之差为多少？最大压力和最小压力的数值之差为多少？【思路点拨】【思路点拨】当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点时受杆的拉力时受杆的拉力F1及重力作用，如图甲所示，此时及重力作用，如图甲所示，此时F1mg。当小铁当小铁块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力（或向上的支持力F2），如图所示），如图所示：【解析】对铁块，由牛顿第二定律得：【解析】对铁块，由牛顿第二定律得：甲：甲：F1-m
9、g=m2r 乙：乙：F2+mg=m2r(或或mg-F2=m2r)由两式得：由两式得：F1F2=2m2r.由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为：2m2r.铁块转至最高点时，电动机对地面的压力铁块转至最高点时，电动机对地面的压力FN最小最小为：为：FN=MgF2，其中，其中M为电动机的质量为电动机的质量.电动机对地面的最大压力为电动机对地面的最大压力为：FN=Mg+F1故故：FN-FN=F1F2=2m2r 例例6、如图所示，水平转台上放着如图所示，水平转台上放着A、B、C三物，质量三物，质量分别为分别为2m、m、m，离转轴
10、距离分别为，离转轴距离分别为R、R、2R，与，与转台动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法正确的转台动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法正确的是（是（）A若三物均未滑动，若三物均未滑动，C物向心加速度最大物向心加速度最大 B若三物均未滑动，若三物均未滑动，B物受摩擦力最大物受摩擦力最大 C转速增加，转速增加，A物比物比B物先滑动物先滑动 D转速增加，转速增加，C物先滑动物先滑动例例7、细绳一端系着质量细绳一端系着质量M=0.6千克的物体，静止在水千克的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3千克的物体千克的物体，M与圆孔距离为与圆孔距离为0.2米，
11、并知米，并知M和水平面的最大静摩擦和水平面的最大静摩擦力为力为2牛，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度牛，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在在什么范围什么范围m会处于静止状态？会处于静止状态？(g取取10米米/秒秒2)mMOrm mM MO Or r 解：解：当当 具有最小值时，具有最小值时，M M有向圆心运动有向圆心运动趋势，故水平面对趋势，故水平面对M M的摩擦力方向和指向圆心的摩擦力方向和指向圆心方向相反，且等于最大静摩擦力方向相反，且等于最大静摩擦力2 2牛。牛。当当 具有最大值时，具有最大值时，M M有离开圆心趋势，水平面对有离开圆心趋势，水平面对M M摩擦力方向指向圆心，摩擦力
12、方向指向圆心，大小也为大小也为2 2牛。牛。故故 范围是：范围是：2.92.9弧度弧度/秒秒 6.56.5弧度弧度/秒。秒。隔离隔离M M有：有：rMfTm21)/(9.2srad解得：解得：隔离隔离M M有：有：rMfTm22)/(5.6srad解得：解得：例例8、如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为为M的质点的质点P，与穿过中央小孔的轻绳一端连着。平板，与穿过中央小孔的轻绳一端连着。平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为a、角速度为、角速度为的匀速圆周运动的匀速圆周运动.若绳子迅
13、速放松至某一若绳子迅速放松至某一长度长度b而拉紧，质点就能在以半径为而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆的圆周上做匀速圆周运动周运动.求：（求：（1）质点由半径）质点由半径a到到b所需的时间，所需的时间，（2）质点在半径为）质点在半径为b的圆周上运动的角速度。的圆周上运动的角速度。PFbaV22abS解：（解：（1 1）绳子迅速放松后质点绳子迅速放松后质点P P沿切线做匀沿切线做匀速直线运动。如图所示，质点做匀速直线运速直线运动。如图所示，质点做匀速直线运动的距离为：动的距离为：av做匀速直线运动速度大小为做匀速直线运动速度大小为aabvSt22所以质点由半径所以质点由半径a a到到b
14、 b所需的时间为所需的时间为（2 2）绳子绷直的瞬间，质点的法向绳子绷直的瞬间，质点的法向速度速度V V2 2变为变为0 0，此后质点以切向速度，此后质点以切向速度V V1 1作半径为作半径为b b的匀速圆周运动。的匀速圆周运动。vvba1sinabvv1而：而：22ba所以：所以：例例9、如图所示，一个人用长为如图所示，一个人用长为l=1m，只能承受，只能承受Tm=46N拉力的绳子，拴着一质量为拉力的绳子，拴着一质量为m=1kg的小球，在竖直平面的小球，在竖直平面内做圆周运动。已知圆心内做圆周运动。已知圆心O离地面高离地面高h=6m，转动中小球，转动中小球在最低点时绳子断了。在最低点时绳子断
15、了。（1）绳子断时小球运动的角速度多大？）绳子断时小球运动的角速度多大？（2）绳子断后，小球落点到抛出点的水平距离是多大？）绳子断后，小球落点到抛出点的水平距离是多大？hvR（1）6 rad/s（2）6 m 例例10、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角竖直方向，母线与轴线之间的夹角=30。一条长为。一条长为L的绳（质量不计），一端固定在圆锥体顶点的绳（质量不计），一端固定在圆锥体顶点O处，另一处，另一端栓着一个质量为端栓着一个质量为m的小物体（可视为质点）。小物体的小物体（可视为质点）。小物体以速率以速率V 绕轴线
16、做水平匀速圆周运动。绕轴线做水平匀速圆周运动。求：求：当当 时时,绳对物体的拉力。绳对物体的拉力。当当 时，求绳时，求绳对物体的拉力。对物体的拉力。2/3glv 6/glv 300O解：解：物体刚要离开锥面时，锥面对物体的支持物体刚要离开锥面时，锥面对物体的支持力为力为0 0，设此时线速度为，设此时线速度为V V0 0。mgTY Y方向：方向：mgTcosX X方向：方向：sin/sin20lmvT解得：解得：6/30glv mgTY Y方向：方向：mgNTsincosX X方向：方向：sin/cossin2lmvNT解得：解得：mgT32（1 1）当当 时，时，锥面对物锥面对物体有支持力。体
17、有支持力。6/36/glglvNY Y方向：方向：mgTcosX X方向：方向：sin/sin2lmvT解得：解得：mgT2（2 2）当当 时，锥面对物时，锥面对物体无支持力，物体已离开锥面高，设体无支持力，物体已离开锥面高，设表示绳表示绳与轴线之间的夹角与轴线之间的夹角。6/36/3glglv0232222gmTmgT两式整理得：两式整理得：例例11、如图所示，两绳系一质量为如图所示，两绳系一质量为m0.1kg的小球，上的小球，上面绳长面绳长L2m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为，两绳都拉直时与轴的夹角分别为30与与45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当，问球的角速度在什么范围内，两
18、绳始终张紧，当角速度为角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？时，上、下两绳拉力分别为多大？3045ABC分析：当角速度分析：当角速度很小时，很小时，AC和和BC与轴的夹角都很小，与轴的夹角都很小，BC并不张并不张紧。当紧。当逐渐增大使逐渐增大使AC绳与轴成绳与轴成30时，时，BC才被拉直（这是一个才被拉直（这是一个临界状态），但临界状态），但BC绳中的张力仍绳中的张力仍然为零。然为零。解：解：当角速度当角速度为最小值为最小值1时，时，TBC=0，则有：则有：TACcos30mg TACsin30m Lsin3012 将已知条件代入上式解得将已知条件代入上式解得 12.4 rad/
19、s 当角速度当角速度为最大值为最大值2时，时，TAC0，则有：，则有：TBCcos45mg TBCsin45m Lsin3022 将已知条件代入上式解得将已知条件代入上式解得 23.16 rad/s 所以，当所以，当满足满足 2.4 rad/s3.16 rad/s时，时，AC、BC两绳始终张紧。两绳始终张紧。设设=3rad/s时两绳拉力分别为时两绳拉力分别为FAC和和FBC，则有：，则有：FACsin30FBCsin45m Lsin302 FACcos30FBCcos45mg将数据代入上面两式解得将数据代入上面两式解得 FAC0.27N FBC1.09N（1）3.65 rad/s（2）4 ra
20、d/s（3）A随圆盘一起匀速转动，随圆盘一起匀速转动，B离心运动离心运动例例12、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置着两个用细线相连的小物体放置着两个用细线相连的小物体A、B，它们的质量均为，它们的质量均为m，它们到转轴距离分别为，它们到转轴距离分别为rA=20 cm，rB=30 cm，A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：（倍，试求：（g取取10 m/s2）（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度 0；（2）当）当A开始滑动时，圆盘的角速度开始滑动时，圆盘的角速度；（3）当）当A物体即将滑动时，烧断细线，物体即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？状态如何？解解：（：（1）圆盘转动角速度达到）圆盘转动角速度达到0时，圆盘对时，圆盘对B的的摩擦力达到最大静摩擦力摩擦力达到最大静摩擦力fm fm=0.4mg=mrB02srad6533g40/.解得：解得：（2）当）当A即将开始滑动时，即将开始滑动时，A、B都达到最大静都达到最大静摩擦力摩擦力对对A:0.4mg-T=mrA2对对B:T +0.4mg=mrB2srad45g80/解得：解得：
