1、考点一锐角三角函数考点一锐角三角函数1.(2018枣庄,11,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AEBD,垂足为F,则tanBDE的值为()A.B.C.D.24141323答案答案A四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,ADFEBF,=.点E是边BC的中点,AD=BC,=2.设EF=x,则AF=2x,在RtABE中,可得BF=x.=2,DF=2x.在RtDEF中,tanBDE=.故选A.ADEBAFEFDFBFADEBAFEFDFBF2DFBF2EFDF2 2xx242.(2018日照,10,3分)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的O的圆心O在格点上,则BE
2、D的正切值等于()A.B.C.2D.552 5512答案答案D如图,在RtABC中,AB=2,BC=1,tanBAC=.BED=BAD,tanBED=.BCAB12123.(2017聊城,2,3分)在RtABC中,cosA=,那么sinA的值是()A.B.C.D.1222323312答案答案BcosA=,A=60,sinA=sin60=.12324.(2016淄博,9,4分)如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上.线段AB,PQ相交于点M.则图中QMB的正切值是()A.B.1C.D.2123答案答案D设每个小正方形的边长为1,过点P作PCAB,连接QC,
3、则QMB=P.PC=2,QC=4,PQ=2,PC2+QC2=PQ2,PCQ为直角三角形,且C=90,tanP=2,即tanQMB=2.故选择D.2210QCPC5.(2018滨州,15,5分)在ABC中,C=90,若tanA=,则sinB=.12答案答案2 55解析解析设RtABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=90,根据tanA=,可设a=1,则b=2,c=,所以sinB=.125252 556.(2018德州,16,4分)如图,在44的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,ABC的顶点都在格点上,则BAC的正弦值是.答案答案55解析解析由勾股定理可得,AB2=32+42=25
4、,BC2=12+22=5,AC2=22+42=20,AB2=BC2+AC2,ACB=90,sinBAC=.BCAB52555考点二解直角三角形考点二解直角三角形1.(2018泰安,14,3分)如图,O是ABC的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为.答案答案42解析解析如图,连接OB,OC,A=45,O=2A=245=90,在RtOBC中,OC=BCsin45=4=2,O的直径为4.22222.(2017烟台,14,3分)在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,则sin=.32A答案答案12解析解析在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,sinA=,A=60,sin=sin30=.3
5、322A123.(2015滨州,14,4分)如图,菱形ABCD的边长为15,sinBAC=,则对角线AC的长为.35答案答案24解析解析连接BD,交AC于点O,四边形ABCD是菱形,ACBD,在RtAOB中,AB=15,sinBAO=,BO=9,AO=12,AC=2AO=24.35BOAB3522ABOB22159考点三解直角三角形的应用考点三解直角三角形的应用1.(2016济南,12,3分)如图,为了测量石坝的坡度(坡面的垂直高度与水平宽度的比称为坡度).把一根长5m的竹竿斜靠在石坝旁,测得竹竿长1m处的点D离地面的高度DE=0.6m,又测量出竹竿的底端距石坝的距离AB=3m,则石坝的坡度为
6、()A.B.3C.D.43213答案答案B如图,过点C作CFAB于点F,则DECF.ADEACF.=.AD=1m,DE=0.6m,AC=5m,=.CF=3m.在RtACF中,由勾股定理,得AF=4m.AB=3m,BF=1m.石坝的坡度i=tanCBF=3.ADACDECF150.6CFCFBF31易错警示易错警示本题易错处有三处:一是不理解坡度的意义,找不到解题的思路,无法切入解题过程;二是不会构造直角三角形,不能将实际问题转化为数学问题;三是不能综合利用几何知识求出坡面BC的垂直高度与水平距离,导致求不出坡面BC的坡度.方法规律方法规律解决解直角三角形的应用题一般有以下几个步骤:(1)把实际
7、问题转化为数学问题,转化的过程要注意识别方位角,仰角,俯角和坡度等概念;(2)分析题目中的已知条件和要求的线段的关系;(3)用逆推法找出已知条件和未知条件之间需要用哪些中间量(线段或角);(4)解直角三角形(有时还需先构造直角三角形);(5)写出答案.2.(2016济南,12,3分)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60,若学生的身高忽略不计,1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为()A.47mB.51mC.53mD.54m3答案答案B根据题意得A=30
8、,DBC=60,DCAC,ADB=DBC-A=30,ADB=A=30,BD=AB=60m,CD=BDsin60=60=3051(m).故选B.3233.(2018济宁,14,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60的方向上,从B站测得船C在北偏东30的方向上,则船C到海岸线l的距离是km.答案答案3解析解析如图所示,过点C作CHl,垂足为H.由题意得ACH=60,CBH=60,BCH=30.设CH=xkm,在RtACH中,AH=CHtanACH=xtan60=x.在RtBCH中,BH=CHtanBCH=xtan30=x.
9、因为AH-BH=AB,所以x-x=2,解得x=,即船C到海岸线l的距离是km.333333334.(2018潍坊,18,3分)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速,若以75海里/小时的速度继续航行,则小时即可到达.(结果保留根号)答案答案186 35解析解析过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.AB=601.5=90海里,设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向可
10、知,PAQ=45,AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里,在RtPBQ中,PBQ=90-30=60,tan60=,90 xx3解得x=135+45.经检验,x=135+45是分式方程的解,且符合题意.在RtBMN中,MBN=90-60=30,BM=2MN=2x=2(135+45)=(270+90)海里,航行时间为=小时.333327090 375186 35思路分析思路分析解题的关键是构造直角三角形,先过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.设PQ=MN=x海里,解RtAPQ和RtPBQ求得x的值,再解RtBMN求出BM的长度,利用路程、速度和时间的关系解答即可.5.(20
11、15东营,14,3分)4月26日,2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30,B处的俯角为45.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、D、B在同一直线上,则A、B两点的距离是米.答案答案200(+1)3解析解析由题意,得A=30,B=45.在RtACD中,tanA=,即tan30=,解得AD=200(米).在RtBCD中,B=45,BCD=45.BD=CD=200米.AB=AD+BD=200+200=200(+1)米.即A、B两点的距离是200(+1)米.故答案为200(+1)
12、.CDAD200AD333336.(2018临沂,22,7分)如图,有一个三角形的钢架ABC,A=30,C=45,AC=2(+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门.3解析解析如图,过点B作BDAC,垂足为D.在RtABD中,A=30,ABD=90-A=60,AD=tanABDBD=BD;在RtBCD中,C=45,CD=BD,AC=AD+CD=BD+BD=(+1)BD=2(+1),解得BD=2,又2m80km/h,这辆汽车超速.33270.99.(2017菏泽,18,6分)如图,某小区号楼与号楼隔河相望,李明家住在号楼,他很想知道号楼的高度,于是他做了一些测量
13、,他先在B点测得C点的仰角为60,然后到42米高的楼顶A处,测得C点的仰角为30,请你帮李明计算号楼的高度CD.解析解析过点A作AECD于E,则四边形ABDE是矩形,所以AE=BD,AB=ED.在RtBCD中,tanCBD=,所以CD=BDtan60=BD,在RtACE中,tanCAE=,所以CE=AEtan30=AE,所以CE=BD,因为AB=DE=CD-CE,所以BD-BD=42,BD=42,解得BD=21,所以CD=BD=21=63(米).答:号楼的高度CD为63米.CDBD3CEAE33333332 33333310.(2016潍坊,22,9分)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下
14、落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD.测得BC=6米,CD=4米,BCD=150,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30,试求电线杆的高度.(结果保留根号)解析解析延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DFCE于点F,在RtDCF中,CD=4,DCF=180-150=30,(1分)则DF=CDsinDCF=4sin30=2,(2分)CF=CDcosDCF=4cos30=2,(3分)在RtDEF中,E=30,(4分)tanE=,解得EF=2,(6分)在RtABE中,3DFEF2EF333BE=BC+CF+EF=6+2+2=6+4,(7分)tanE=,解得AB=4+2,即电线杆的高度是(4+2)
15、米.(9分)333ABBE64 3AB3333思路分析思路分析延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DFCE于点F,解RtDCF求出DF和CF,解RtDFE求出EF,进一步求出BE的长度,解RtABE求出AB的长.B B组组2014201820142018年全国中考题组年全国中考题组考点一锐角三角函数考点一锐角三角函数1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为()A.3B.C.D.1310103 1010答案答案AAC=1,BC=3,C=90,tanA=3.BCAC2.(2017天津,2,3分)cos60的值等于()A.B.1C.D.32212
16、答案答案D根据特殊角的三角函数值,可得cos60=,故选D.123.(2017浙江金华,4,3分)在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,则tanA的值是()A.B.C.D.34433545答案答案A在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,AC=4,tanA=.22ABBC2253BCAC344.(2016贵州安顺,9,3分)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、C都在格点上,则ABC的正切值是()A.2B.C.D.2 555512答案答案D连接AC,如图,易得ABC为直角三角形,且CAB=90,由勾股定理得AC=,AB=2,所以tanABC=,故选择D.22112222
17、22ACAB125.(2016甘肃白银等9市,13,4分)如图,点A(3,t)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为,tan=,则t的值是.32答案答案92解析解析如图,过点A作ABx轴,垂足为B,因为点A的坐标为(3,t),且在第一象限,所以OB=3,AB=t,在RtOAB中,tan=,即=,解得t=.323t32926.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果:sin27+sin2830.122+0.992=0.9945,sin222+sin2680.372+0.932=1.0018,sin229+sin2610.482+0.872=0.9873,sin237+sin25
18、30.602+0.802=1.0000,sin245+sin245=+=1.据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1.(1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.222222解析解析(1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260=+=+=1.所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立.(2)小明的猜想成立.证明如下:如图,ABC中,C=90,设A=,则B=90-.sin2+sin2(90-)=+=1.21223214342BCAB2ACA
19、B222BCACAB22ABAB考点二解直角三角形考点二解直角三角形1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()A.2B.3C.D.22432832答案答案DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin45=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF,AE=AD=,故选D.212223832思路分析思路分析首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,然后通过角平分线的性质及直角三角形中30
20、度角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.2.(2016甘肃兰州,4,4分)在RtABC中,C=90,sinA=,BC=6,则AB=()A.4B.6C.8D.1035答案答案D在RtABC中,因为C=90,所以sinA=,所以=,解得AB=10,故选择D.BCAB356AB3.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为.3答案答案3 3,22解析解析如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=,BA
21、O=30,由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中,AC=AOcos60=,OC=AOsin60=.OC=AO-AC=.O.33333232323 3,22考点三解直角三角形的应用考点三解直角三角形的应用1.(2017湖南益阳,7,3分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,CAB=,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A.B.C.D.hcossinhcoshtanh答案答案B因为CDAB,ACBC,所以CAB+ACD=90,ACD+BCD=90,所以CAB=BCD=.在RtBCD中,cos=,故BC=,故选B.hBCcosh2
22、.(2017广西玉林、崇左,10,3分)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B处后,此时测得灯塔P位于其北偏东30方向上,此时轮船与灯塔P的距离是()A.15海里B.30海里C.45海里D.30海里答案答案B由题意可知PAB=90-60=30,ABP=90+30=120,APB=180-120-30=30,PAB=APB=30,PB=AB=30海里,故选B.3.(2017辽宁葫芦岛,16,3分)一艘货轮由西向东航行,在A处测得灯塔P在它的北偏东60方向,继续航行到达B处,测得灯塔P在它的东北方向,若灯塔P正南方向4海里的C处是港口,点A,B,C在
23、一条直线上,则这艘货轮由A到B航行的路程为海里(结果保留根号).答案答案4-43解析解析根据题意得PC=4海里,PBC=90-45=45,PAC=90-60=30,在RtAPC中,PAC=30,C=90,AC=PC=4海里,在RtBPC中,PBC=45,C=90,BC=PC=4海里,AB=AC-BC=(4-4)海里.3334.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为3
24、9.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan39.30.82,tan84.310.02)解析解析解法一:由题意知,AEB=FED=45,AEF=90.在RtAEF中,=tanAFE=tan84.3,在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED,ABEFDE,=tan84.3,AB=FDtan84.31.810.02=18.03618(米).答:旗杆AB的高度约为18米.解法二:作FGAB于点G,AEFEABFDAEFE由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形,AB=BE,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=AB
25、+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在RtAFG中,=tanAFG=tan39.3,即=tan39.3,解得AB=18.218(米).答:旗杆AB的高度约为18米.AGFG1.81.8ABAB思路分析思路分析思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFDE,最后由相似三角形中对应边的比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.5.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得
26、小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:sin700.94,cos700.34,tan702.75,sin370.60,cos370.80,tan370.75)解析解析由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80.在RtACD中,cosACD=,0.34,CD27.2,在RtBCD中,tanBCD=,0.75,BD20.4.答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.CDAC80CDBDCD27.2BD6.(2018河南,20,9分)“高低杠
27、”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm.参考数据:sin82.40.991,cos82.40.132,tan82.47.500,sin80.
28、30.983,cos80.30.168,tan80.35.850)解析解析在RtCAE中,AE=20.7.(3分)在RtDBF中,BF=40.(6分)EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151.四边形CEFH为矩形,CH=EF=151.即高、低杠间的水平距离CH的长约是151cm.(9分)tanCECAE155tan82.41557.500tanDFDBF234tan80.32345.850思路分析思路分析根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.方法总结方法总结
29、解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.7.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42,测得隧道底端B处的俯角为30(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin420.67,cos420.74,tan420.90,1.73)3解析解析如图,过点
30、A作AEBD于点E,(1分)由题意得DAE=42,EAB=30,在RtABE中,AEB=90,AB=10,EAB=30,BE=AB=10=5.(2分)cosEAB=,AE=ABcos30=10=5.(4分)在RtDEA中,DEA=90,DAE=42,tanDAE=,1212AEAB323DEAE思路分析思路分析作AEBD于点E,构造直角DEA和直角ABE,解直角DEA和直角ABE,求得BE,DE的长,进而可求出CD的长度.DE=AEtan4250.90=,(5分)CD=BE+ED-BC=5+-6.56.3(m).(6分)答:标语牌CD的长约为6.3m.(7分)39 329 328.(2017河
31、南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45方向,B船测得渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?参考数据:sin53,cos53,tan53,1.414535432解析解析过点C作CDAB交AB延长线于点D,则CDA=90.(1分)已知CAD=45,设CD=x海里,则AD=CD=x海里.BD=AD-AB=(x-5)海里.(3分)在RtBDC中,CD=BDtan53,即x=
32、(x-5)tan53,x=20.(6分)BC=20=25海里.B船到达C船处约需时间:2525=1(小时).(7分)在RtADC中,AC=x1.4120=28.2海里,A船到达C船处约需时间:28.230=0.94(小时).(8分)而0.940),又AC2+BC2=AB2,62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍),则BC=4x=8cm,故选C.BCAB453.(2015辽宁沈阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K,若正方形ABCD边长为,则AK=.3答案答案2-33解析解析如图,延长BA交GF于点
33、N.由旋转的性质得GBN=EBC=30,GB=AB=.在RtGBN中,GB=,GBN=30,BN=2,AN=BN-AB=2-.NAK=G=90,KNA+NKA=90,KNA+GBN=90,NKA=GBN=30(同角的余角相等).在RtKAN中,AN=2-,NKA=30,AK=2-3.33cosGBGBN3cos3033tanNANKA23tan303评析评析本题考查正方形的性质、旋转的性质和解直角三角形的有关知识,综合性较强.4.(2017江苏扬州,24,10分)如图,将ABC沿着射线BC方向平移至ABC,使点A落在ACB的外角平分线CD上,连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状,并说明理由
34、;(2)在ABC中,B=90,AB=24,cosBAC=,求CB的长.1213解析解析(1)四边形ACCA为菱形,理由如下:ABC沿着射线BC方向平移至ABC,ACAC,AACC,四边形ACCA为平行四边形.AACC,AAC=ACC.ACA=ACC,ACA=AAC,AA=AC,平行四边形ACCA为菱形.(2)在ABC中,B=90,cosBAC=,AB=24,cosBAC=,AC=26,BC=10.由(1)知四边形ACCA为菱形,CC=AC=26,且BC=BC=10,CB=26-10=16.1213ABAC12135.(2014重庆A卷,20,7分)如图,ABC中,ADBC,垂足是D,若BC=1
35、4,AD=12,tanBAD=,求sinC的值.34解析解析ADBC,tanBAD=,(1分)tanBAD=,AD=12,=,(2分)BD=9.(3分)CD=BC-BD=14-9=5,(4分)在RtADC中,AC=13,(6分)sinC=.(7分)BDAD343412BD22ADCD22125ADAC1213考点三解直角三角形的应用考点三解直角三角形的应用1.(2017广西南宁,11,3分)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向,距离灯塔60nmile的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离为()A.60nmileB.60nmile
36、C.30nmileD.30nmile3232答案答案B过点P作PCAB交AB于点C.依题意得APC=90-45=45,BPC=90-30=60,AP=60nmile,PC=30nmile,PB=2PC=60nmile.222.(2016四川巴中,8,3分)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是()A.斜坡AB的坡度是10B.斜坡AB的坡度是tan10C.AC=1.2tan10米D.AB=米1.2cos10答案答案BA.斜坡AB的坡度应是斜坡AB的垂直距离与水平距离的比值,而不是一个角度,故选项A错误;B.根据直角三角形的边
37、角关系,tan10=,而这正是斜坡AB的垂直距离与水平距离的比值,故选项B正确;C.AC=米,故选项C错误;D.AB=米,故选项D错误,故选择B.BCAC1.2tan101.2sin103.(2016江苏南通,7,3分)如图,为了测量某建筑物MN的高度,在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30,向N点方向前进16m,到达B处,在B处测得建筑物顶端M的仰角为45,则建筑物M的高度等于()A.8(+1)mB.8(-1)mC.16(+1)mD.16(-1)m3333答案答案A设BN=xm,则AN=(16+x)m.在RtBMN中,MN=BN=xm.在RtAMN中,16+x=x,解得x=8(+1).建筑
38、物M的高度等于8(+1)m,故选择A.3334.(2017温州,16,5分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1).完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A、出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A到出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2cm的圆柱形水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm.答案答案24-82解析解析如图所示,建立直角坐标系,过A作AGOC于G,交BD于Q,过M作MPAG于P,由题可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,在RtAPM中,MP=8,故DQ=OG=MP
39、=8,BQ=12-8=4,由BQCG可得,ABQACG,=,即=,CG=12,OC=12+8=20,22AMAPBQCGAQAG4CG1236C(20,0),水流所在抛物线经过点D(0,24),可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线解析式,可得解得抛物线的解析式为y=-x2+x+24,又点E的纵坐标为10.2,令y=10.2,则10.2=-x2+x+24,解得x1=6+8,x2=6-8(舍去),点E的横坐标为6+8,又ON=30,EH=30-(6+8)=24-8.241441224,04002024,abab3,209.5ab 32095320
40、9522222即点E到洗手盆内侧的距离EH为(24-8)cm.2思路分析思路分析先建立合适的平面直角坐标系,再作辅助线构造相似三角形,由此可求得C点坐标,进而结合D、B的坐标确定抛物线的解析式,从而得到点E的坐标,求得EH.5.(2016湖北荆州,15,3分)全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图,张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为1148,测得塑像顶部A处的仰角为45,点D在观测点C正下方城墙底的地面上.若CD=10米,则此塑像的高AB约为米.(参考数据:tan78124.8)答案答案58解析解析如图,作CEAB于点E,则BCE=1148,ACE=45,BE=CD=10米
41、.在RtBCE中,tan7812=,CE=BEtan78124.810=48(米).在RtACE中,ACE=45,AE=CE=48(米).AB=BE+AE=10+48=58(米),故答案为58.CEBE6.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1 3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)解析解析如图,过点D作DHBC,垂足为H.斜坡BD的坡度i=1 3,DH B
42、H=1 3.在RtBDH中,BD=600,DH2+(3DH)2=6002,DH=60,BH=180.设AE=x米,在RtADE中,ADE=45,DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,1010HC=x,EC=60,在RtABC中,tan33=,x=,AC=AE+EC=+60=.答:山顶A到地面BC的高度AC为米.10ACBC60 10180 10 xx180 10tan3360 101 tan33180 10tan3360 101 tan3310120 10tan331 tan33120 10tan331 tan337.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角
43、DCE=30,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;(2)求斜坡CD的长度.解析解析(1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60,AC=20米.(2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形,AF=DE,DF=AE.设CD=x米,在RtCDE中,DE=x米,CE=x米,在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF=米,DF=AE=AC+CE,20+x=60-x,解得x=80-120,即CD=(80-120)米.tan60AB312321602x33212
44、338.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数).参考数据:tan481.11,tan581.60.解析解析如图,过点D作DEAB,垂足为E.则AED=BED=90.由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90.可得四边形BCDE为矩形.ED=BC=78,DC=EB.在RtABC中,tanACB=,AB=BCtan58781.60125.在RtAED中,tanADE=,ABBCAEEDAE=EDtan48.DC=
45、EB=AB-AE=BCtan58-EDtan48781.60-781.1138.答:甲建筑物的高度AB约为125m,乙建筑物的高度DC约为38m.思路分析思路分析过点D作DEAB,构造直角ADE和矩形BCDE,通过解直角ABC和直角ADE可求出答案.方法总结方法总结解直角三角形的应用,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助角、边关系,三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.9.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600m
46、,=75,=45,求DE的长.(参考数据:sin750.97,cos750.26,1.41)2解析解析在RtBDF中,由sin=可得,DF=BDsin=600sin45=600=300423(m).(3分)在RtABC中,由cos=可得,BC=ABcos=600cos756000.26=156(m).(6分)所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).(8分)DFBD222BCAB10.(2017新疆,19,10分)如图,甲、乙为两座建筑物,它们之间的水平距离BC为30m,在A点测得D点的仰角EAD为45,在B点测得D点的仰角CBD为60.求这两座建筑物的高度(结果保留根号
47、).解析解析在RtBCD中,DBC=60,BC=30m,tan60=,CD=BCtan60=30m,乙建筑物的高度为30m.如图,延长AE交CD于点F,在RtAFD中,DAF=45,DF=AF,又AF=BC=30m,DF=30m.AB=CF=CD-DF=(30-30)m,甲建筑物的高度为(30-30)m.答:甲、乙这两座建筑物的高度分别为(30-30)m、30m.CDBC333333思路分析思路分析在RtBCD中,利用60的角求出CD;延长AE交CD于点F,在RtADF中,利用45的角求出DF的长,进而求出AB的长.解题技巧解题技巧求角的三角函数值或线段的长时,我们经常通过观察图形将所求的角或
48、者线段转化到直角三角形中(如果没有直角三角形,设法构造直角三角形),再利用锐角三角函数求解.解题关键解题关键解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,构造直角三角形.11.(2017四川成都,18,8分)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行.如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.解析解析过B作BHAC于点H,在RtABH中,AB=4千米,BAH=60,sin60=,BH=AB=4=2千米,在RtCBH
49、中,CBH=45,BH=2千米,cos45=,BC=BH=2=2千米.答:B,C两地的距离为2千米.BHAB32323233BHBC222326612.(2016福建莆田,20,8分)小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1,图2是晒衣架的侧面示意图,A,B两点立于地面,将晒衣架稳固张开,测得张角AOB=62,立杆OA=OB=140cm.小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm,问这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.(参考数据:sin590.86,cos590.52,sin591.66)解析解析会.理由:如图,过点O作OEAB于E.OA=OB,AOB=62,OAB=OB
50、A=59.在RtAEO中,OE=OAsinOAB=140sin591400.86=120.4.120.4100.所以无触礁危险.32622617.(2015济宁,21,9分)在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即=.利用上述结论可以求解如下题目.如:在ABC中,若A=45,B=30,a=6,求b.解:在ABC中,=,b=3.问题解决:如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,且乙船从B1处沿北偏东15方向匀速直线航行,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10海里.(1)
