1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年浙江省高考数学全真模拟试卷（年浙江省高考数学全真模拟试卷（1） （） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分） 设全集0U ， 1， 2， 3，4， 集合0A， 1，2， 集合2B ，3， 则()( UA B ) A B1，2，3，4 C2，3，4 D0， 11， 2， 3，4 2 （4 分）从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角B
2、PAC 的余弦值是( ) A 1 2 B 3 3 C 1 3 D 3 2 3 （4 分）某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为( ) A3 B4 C6 D12 4 （4 分）若函数 2 32 20 ( ) 40 x lnxx f x xxx 的图象和直线yax有四个不同的公共点，则实 数的取值范围是( ) A 2 ( e ，4) B(0,4) C 2 ( e ，0) D 2 ( e ，0)(0，4) 5 （4 分）若x，y满足约束条件 1 3 0 1 x xy xy ，则3zxy的最大值是( ) A7 B1 C5 D7 第 2 页（共 20 页） 6 （4 分）已知随机变量X的分布列如表： X
3、 1 3 5 P 0.4 0.1 x 则X的方差为( ) A3.56 B3.56 C3.2 D3.2 7 （4 分）双曲线 22 1xy右支上一点( , )P a b到直线: l yx的距离2d 则(ab ) A 1 2 B 1 2 C 1 2 或 1 2 D2 或2 8 （4 分） 已知数列 n a满足 1 39 3 nn aa ， * nN， 且 246 9aaa， 则 3 579 1 l o g( aaa ) A 1 3 B3 C3 D 1 3 9 （4 分）若 x表示不超过x的最大整数，则( ) f xxx，()xR的值域是( ) A0，1) B( 1,1) C 1，1 D( 1，0
4、10（4 分） 设平面与平面相交于直线m， 直线a在平面内， 直线b在平面内， 且bm， 则“”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 7 个小题，多空题每题个小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. 11 （4 分）在圆内接四边形ABCD中，5AB ，6BC ，3CD ，4AD ，则ABC的 面积为 12 （6 分）设函数 1 ( )f xx x ， 1 ,3 2 x，则函数的最小值为 ；若 1 ,3 2 x ，使得 2 ( )aa f x 成立，则实数a的
5、取值范围是 13 （6 分）在二项式 6 1 (2)x x 的展开式中，所有项的二项式系数之和是 ，含 2 x项的系 数是 14 （6 分）函数( )yf x是定义域为R的偶函数，当0x时，函数( )f x的图象是由一段抛 物线和一条射线组成（如图所示） 当 1x ，1时，y的取值范围是 ； 第 3 页（共 20 页） 如果对任意xa，(0)b b ，都有 2y ，1，那么b的最大值是 15 （4 分）已知,a b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足 1 | 2 ca，则 | 2 |abccb的最小值为 16 （4 分）已知a，bR，( ) x f xeaxb，若( ) 1f x 恒成
6、立，则 ba a 的取值范围是 17 （6 分）在四棱锥PABCD中，PDAC，AB 平面PAD，底面ABCD为正方形， 且3CDPD若四棱锥PABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最 小值为 ； 当四棱锥PABCD的体积取得最大值时， 二面角APCD的正切值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18已知函数( )sin()f xx，其中0，| 2 （1）若1， 3 ，且对任意的0, 6 x ，都有()(2)1 36 f xfxm ，求实数m 的取值范围； （2
7、）若()() 66 fxfx ，()0 6 f ，且( )f x在(,) 24 8 单调递增，求的最大值 19已知直三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC， 1 BB， 1 AA 的中点 第 4 页（共 20 页） （）求证：平面 1 / /B FC平面EAD； （）求证： 1 BC 平面EAD 20设满足以下两个条件的有穷数列 1 a， 2 a， n a为(2n n ，3，4，)阶“期待数 列” ： 123 0 n aaaa； 123 | 1 n aaaa （1）分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ； （2）若某 2013 阶“期待数列”是等差
8、数列，求该数列的通项公式； （3）记n阶“期待数列”的前k项和为(1 k Sk ，2，3，)n，试证： 1 | 2 k S 21已知抛物线 2 4xy的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点 （1）当| 2PF 时，求点P的坐标； （2）过F且斜率为 1 的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求PAB面积的最大 值 22已知函数 32 ( )f xxxxa ， 3 ( )2(,)g xaxxR aR （1）求函数( )f x的单调区间 （2）求函数( )f x的极值 （3）若任意0x，1，不等式( )( )g xf x恒成立，求a的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2020 年浙江省高考
9、数学全真模拟试卷（年浙江省高考数学全真模拟试卷（1） （） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分） 设全集0U ， 1， 2， 3，4， 集合0A， 1，2， 集合2B ，3， 则()( UA B ) A B1，2，3，4 C2，3，4 D0， 11， 2， 3，4 【解答】解：全集0U ，1，2，3，4，集合0A，1，2，集合2B ，3， 3 UA ，4，
10、则()2 UA B ，3，4， 故选：C 2 （4 分）从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角BPAC 的余弦值是( ) A 1 2 B 3 3 C 1 3 D 3 2 【解答】解：如图， 在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EFPA交PB于F，在平面APC内过E作 EGPA交PC于G， 连接GF，设PEa，在Rt PEG中，60EPG，2PGa，3GEa， 同理求得2PFa，3EFa，则2GFa， 在FGE中，由余弦定理得： 222 ( 3 )( 3 )(2 )1 cos 3233 aaa FEG aa 故选：C 第 6 页（共 20 页） 3 （4 分）某棱柱
11、的三视图如图示，则该棱柱的体积为( ) A3 B4 C6 D12 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱， 棱柱的底面面积 1 (24)26 2 S ， 棱柱的高为 1， 故棱柱的体积6V 故选：C 4 （4 分）若函数 2 32 20 ( ) 40 x lnxx f x xxx 的图象和直线yax有四个不同的公共点，则实 数的取值范围是( ) A 2 ( e ，4) B(0,4) C 2 ( e ，0) D 2 ( e ，0)(0，4) 【解答】解：当0x 时，由( )f xax得 2 2x lnxax， 得2axlnx， 当0x时，由( )f xax得 3
12、2 4xxax， 第 7 页（共 20 页） 此时0x 是方程的一个根， 当0x 时，4axx ， 设 2 2,0 ( ) 4 ,0 xlnxx h x xxx ， 当0x 时， 1 ( )2222h xlnxxlnx x 2(1)lnx， 由( )0h x得10lnx得1lnx ， 得 1 x e 此时函数为增函数， 由( )0h x得10lnx得1lnx ， 得 1 0x e ，此时函数为减函数， 即当 1 x e 时，( )h x取得极小值 1112 ( )2hln eeee ， 当0x 时， 22 ( )4(2)4h xxxx ， 作出( )h x的图象如图： 要使( )f x与直线y
13、ax有四个不同的公共点，等价为( )h x与ya有 3 个不同的交点， 则a满足 2 0a e 或04a， 即实数a的取值范围是 2 ( e ，0)(0，4)， 故选：D 5 （4 分）若x，y满足约束条件 1 3 0 1 x xy xy ，则3zxy的最大值是( ) 第 8 页（共 20 页） A7 B1 C5 D7 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由 30 1 xy xy 解得(2,1)A 当直线3zxy过点(2,1)A时， 在y轴上截距最小，此时z取得最大值 5 故选：C 6 （4 分）已知随机变量X的分布列如表： X 1 3 5 P 0.4 0.1 x 则X的方差为( )
14、A3.56 B3.56 C3.2 D3.2 【 解 答 】 解 ： 根 据 随 机 变 量 分 布 列 的 性 质 ， 知0.40.11x， 所 以0 . 5x ， 0.40.32.53.2EX ， 222 2.20.40.20.1 1.80.53.56DX ， 故选：A 7 （4 分）双曲线 22 1xy右支上一点( , )P a b到直线: l yx的距离2d 则(ab ) A 1 2 B 1 2 C 1 2 或 1 2 D2 或2 【解答】解：( , )P a b点在双曲线上， 有 22 1ab，即()()1ab ab 第 9 页（共 20 页） ( , )A a b到直线yx的距离为2
15、， | 2 2 ab d ， | 2ab 又P点在右支上，则有ab， 2ab 1 2 ab， 故选：B 8 （4 分） 已知数列 n a满足 1 39 3 nn aa ， * nN， 且 246 9aaa， 则 3 579 1 l o g( aaa ) A 1 3 B3 C3 D 1 3 【解答】解：数列 n a满足 1 39 3 nn aa ， 两边取对数得到 1 333 log 3log 9log 3 nn aa ， 整理得 1 2 nn aa （常数） ， 所以数列 n a是以 2 为公差的等差数列 则 2464 39aaaa， 整理得 4 3a ，所以 74 2(74)369aa， 故
16、 5797 327aaaa， 所以 33 579 11 log3 27 log aaa 故选：C 9 （4 分）若 x表示不超过x的最大整数，则( ) f xxx，()xR的值域是( ) A0，1) B( 1,1) C 1，1 D( 1，0 【解答】解：设1n xn，则 xn； 1nxn ； 1 0xx ； ( )f x的值域为( 1，0 第 10 页（共 20 页） 故选：D 10（4 分） 设平面与平面相交于直线m， 直线a在平面内， 直线b在平面内， 且bm， 则“”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：bm，当，则由
17、面面垂直的性质可得ab成立， 若ab，则不一定成立， 故“”是“ab”的充分不必要条件， 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 7 个小题，多空题每题个小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. 11 （4 分）在圆内接四边形ABCD中，5AB ，6BC ，3CD ，4AD ，则ABC的 面积为 30 10 7 【解答】解： 22222 342 3 4cos562 5 6cosACDB ，coscos0BD 2 247 7 AC， 3 cos 7 B，可得 2 2 10 sin1 7 Bcos B ABC的面积 12 1030 10 5 6 2
18、77 S 故答案为： 30 10 7 12 （6 分）设函数 1 ( )f xx x ， 1 ,3 2 x，则函数的最小值为 2 ；若 1 ,3 2 x ，使得 2 ( )aa f x 成立，则实数a的取值范围是 【解答】解： 1 ,3 2 x， 由基本不等式可得， 11 ( )22f xxx xx ，当且仅当 1 x x 即1x 时取得最小值 2， 1 ,3 2 x ，使得 2 ( )aa f x 成立， 2 ( )minaa f x ， 2 2aa ， 解不等式可得，2a或1a， 第 11 页（共 20 页） 故a的范围为(，12， 故答案为：2；(，12， 13 （6 分）在二项式 6
19、1 (2)x x 的展开式中，所有项的二项式系数之和是 64 ，含 2 x项的 系数是 【解答】解：在二项式 6 1 (2)x x 的展开式中，所有项的二项式系数之和是 6 2264 n ， 而通项公式为 16 ( 1) rr r TC 66 2 2 rr x ，令622r，求得2r ，可得含 2 x项的系数是 24 6 2240C， 故答案为：64；240 14 （6 分）函数( )yf x是定义域为R的偶函数，当0x时，函数( )f x的图象是由一段抛 物线和一条射线组成（如图所示） 当 1x ，1时，y的取值范围是 1，2 ； 如果对任意xa，(0)b b ，都有 2y ，1，那么b的最
20、大值是 【解答】解：根据( )f x是偶函数，图象关于y轴对称，当 1x ，1时，值域为0x， 1时相同， 可得y的取值范围是1，2 当0x时，设抛物线的方程为 2 ( )f xaxbxc，图象过(0,1)，(1,2)，(3, 2)，带入计 算 可得：1a ，2b ，1c ， 2 ( )21f xxx ， 当0x 时，0x 第 12 页（共 20 页） 2 ()21fxxx 即 2 ( )21f xxx 令1y ，可得 2 121xx 解得：2x 结合图象可得b的最大值为2 故答案为：1，2；2 15 （4 分）已知,a b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足 1 | 2 ca，则 |
21、 2 |abccb的最小值为 【解答】 解： 如图，(1,0)A，(0,1)B，(1,1)D， 设O A a，OBb， 则向量c满足 1 | 2 ca， 设OCc， 所以点C为以A为圆心，以 1 2 为半径的圆上的一点， 所以| | |abcODOCCD，同理2| 2|cbBC， 取点 1 (1, ) 4 E，则 AEAC ACAD ，又因CAEDAC ， 所以AECACD， 所以 1 2 CE CD ，即2CDCE， 所以| 2|2222()abccbCDBCCEBCBCCE， 由三角形的三边关系知 22 355 2() 22 1( )2 442 BCCEBE 故填： 5 2 第 13 页（
22、共 20 页） 16 （4 分）已知a，bR，( ) x f xeaxb，若( ) 1f x 恒成立，则 ba a 的取值范围是 1，) 【解答】解：( ) x f xeaxb， ( ) x fxea ， 当0a时，( )0fx恒成立，则( )f x单调递增，( ) 1f x 不恒成立， 当0a 时，令( )0 x fxea，解得xlna， 当(,)xlna 时，( )0fx，函数( )f x单调递减， 当(,)xlna时，( )0fx，函数( )f x单调递增， ( )() min f xf lnaaalnab， ( ) 1f x 恒成立， 1aalnab 1b alnaa， 211 2 b
23、aalnaa lna aaa ， 设g（a） 1 2lna a ，0a g （a） 22 111a aaa ， 令g（a）0，解得1a ， 当(0,1)a时，g（a）0，函数g（a）单调递减， 当(1,)x时，g（a）0，函数g（a）单调递增， g（a）0121 min ， 1 ba a ， 故答案为： 1，) 17 （6 分）在四棱锥PABCD中，PDAC，AB 平面PAD，底面ABCD为正方形， 且3CDPD若四棱锥PABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最 小值为 6 ；当四棱锥PABCD的体积取得最大值时，二面角APCD的正切值 为 第 14 页（共 20 页） 【解答】
24、解：设(03)CDxx，则3PDx， 因为AB 平面PAD，所以ABPD， 所以ABPD， 又PDAC，所以PD 平面ABCD， 则四棱锥PABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点， 从而球心O的表面积为： 222 22 (3) 4 ()3 (1)2 6 2 xxx x 四棱锥的体积为 2 1 (3)(03) 3 Vx xx， 则 2 2Vxx ，当02x时，0V ，当23x时， 0V ，所以 max VV（2）此时2ADCD，1PD ， 过D作DHPC于H， 连接AH，则AHD为二面角APCD的平面角 1 12 5 55 DH ， tan5 AD AHD DH 故答案为：6；5 三
25、、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 15 页（共 20 页） 18已知函数( )sin()f xx，其中0，| 2 （1）若1， 3 ，且对任意的0, 6 x ，都有()(2)1 36 f xfxm ，求实数m 的取值范围； （2）若()() 66 fxfx ，()0 6 f ，且( )f x在(,) 24 8 单调递增，求的最大值 【解答】解： （1）1， 3 时，函数( )sin() 3 f xx ， 则 2 ()(2)sin()sin(2)sincos212sinsin
26、 363363 yf xfxxxxxxx ； 不等式()(2)1 36 f xfxm ，可化为 2 2sinsinmxx； 设 2 ( )2sinsing xxx ，0x， 6 ， 则 2 11 ( )2(sin) 48 g xx ， 且0x， 6 时，sin0x， 1 2 ， 所以 1 sin 4 x 时，( )g x取得最大值是 1 8 ， 所以实数m的取值范围是 1 8 m； （2）若()() 66 fxfx ，则 6 x 是( )f x的对称轴，即 62 k ，kZ； 又()0 6 f ，则 6 k ，kZ； 所以 4 ， 3 6 2 k，kZ； 又( )f x在(,) 24 8 单调
27、递增，则 2442 842 ，解得2； 综上知，的最大值是 3 2 19已知直三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC， 1 BB， 1 AA 的中点 （）求证：平面 1 / /B FC平面EAD； 第 16 页（共 20 页） （）求证： 1 BC 平面EAD 【解答】证明： （）由已知可得 1 / /AFB E， 1 AFB E， 四边形 1 AFB E是平行四边形， 1 / /AEFB，（1 分） AE 平面 1 B FC， 1 FB 平面 1 B FC， / /AE平面 1 B FC； （2 分） 又D，E分别是BC， 1 BB的中点， 1 / /DEBC，
28、（3 分） ED平面 1 B FC， 1 BC 平面 1 B FC， / /ED平面 1 B FC； （4 分） AEDEE，AE 平面EAD，ED 平面EAD，（5 分） 平面 1 / /B FC平面EAD（6 分） （）三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱， 1 C C面ABC，又AD 面ABC， 1 C CAD（7 分） 又直三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都相等，D是BC边中点， ABC是正三角形，BCAD，（8 分） 第 17 页（共 20 页） 而 1 CCBCC， 1 CC 面 11 BCC B，BC 面 11 BCC B， AD面 11 BCC B，（9 分） 故 1
29、ADBC（10 分）四边形 11 BCC B是菱形， 11 BCBC，（11 分） 而 1 / /DEBC，故 1 DEBC，（12 分） 由ADDED，AD 面EAD，ED 面EAD， 得 1 BC 面EAD（13 分） 20设满足以下两个条件的有穷数列 1 a， 2 a， n a为(2n n ，3，4，)阶“期待数 列” ： 123 0 n aaaa； 123 | 1 n aaaa （1）分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ； （2）若某 2013 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （3）记n阶“期待数列”的前k项和为(1 k Sk ，2，3，)n，试证：
30、1 | 2 k S 【解答】解： （1）数列 1 2 ，0， 1 2 为三阶期待数列， 数列 3 8 ， 1 8 ， 1 8 ， 3 8 为四阶期待数列 （）设该 2013 阶“期待数列”的公差为d， 122013 0aaa， 12013 2013() 0 2 aa ， 第 18 页（共 20 页） 12013 0aa，即 1007 0a， 1008 ad， 当0d 时，与期待数列的条件矛盾， 当0d 时，据期待数列的条件可得 100810092013 1 2 aaa， 1006 10051 1006 22 dd ，即 1 1006 1007 d ， * 1007 1007 (1007)( 1
31、006 1007 n n aandnN ，2013)n， 当0d 时，同理可得 1007 1006 1007 n n a ， * (nN，2013)n （）当kn时，显然 1 | 0 2 n S 成立； 当kn时，根据条件得： 1212 () kkkkn Saaaaaa ， 即 1212 | | | kkkkn Saaaaaa ， 1212121 2| | 1 kkkknkkn Saaaaaaaaaaa ， 1 |(1 2 k Sk，2，)n 21已知抛物线 2 4xy的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点 （1）当| 2PF 时，求点P的坐标； （2）过F且斜率为 1 的直线与抛物线交与两点A
32、B，若P在弧AB上，求PAB面积的最大 值 【解答】解： （1）设( , )P x y，则12y ，1y， 2x ， ( 2,1)P； （2）过F的直线方程为1yx，代入抛物线方程，可得 2 610yy ， 可得(22 2A，32 2)，(22 2B，32 2)， |2 |22 222 2 | 8AB 平行于直线:10l xy 的直线设为0xyc，与抛物线 2 :4C xy联立，可得 2 440xxc， 第 19 页（共 20 页） 16160c，1c ， 两条平行线间的距离为 2 2 2 ， PAB的面积的最大值为 1 824 2 2 22已知函数 32 ( )f xxxxa ， 3 ( )
33、2(,)g xaxxR aR （1）求函数( )f x的单调区间 （2）求函数( )f x的极值 （3）若任意0x，1，不等式( )( )g xf x恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （1） 32 ( )f xxxxa ， 2 ( )321fxxx ， 2 12 1 3210,1 3 fxxxxx 令得 1 0,1 3 fxx令得 1 0,1 3 fxxx令得或 1 ,1 , 3 1 ,1,. 3 f x 函数的单调递增区间为 单调递减区间为与 （2）由（1）可知， 当 1 3 x 时，函数( )f x取得极小值，函数的极小值为 15 () 327 fa 当1x 时，函数( )f x取得极大值，函数的极大值为f（1）1a， （3）若任意0x，1，不等式( )( )g xf x恒成立， 即对于任意0x，1，不等式 2 a xx恒成立， 设 2 ( )h xxx，0x，1， 则( )21h xx， 0x，1， ( )210h xx 恒成立， 2 ( )h xxx在区间0，1上单调递增， ( )maxh xh（1）2 第 20 页（共 20 页） 2a ， a的取值范围是2，)
