1、常见求几何体体积的方法一、直接法例1.如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G（）证明：G是AB的中点；（）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABBC，BC=CD=12AB,平面PAD平面ABCD,（1）求证：PDBD（2）若AD=PD,PDA=120,且SPAB=152，求四棱锥P-ABCD的体积.例3.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1
2、C的中点为O，且AO平面BB1C1C.（1）证明：B1CAB（2）若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.过关检测练1.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积练2.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，ABCD，ABBC，AB=3，BC=CD=2. 1）过PD作一个截面，将四棱锥P-ABCD分成一个阳马和一个鳖臑，并说明理由
3、；2）若tanPAD=55，分别求出（1）中阳马和鳖臑的体积。二、等体积法（一） 等体积法求体积例1、如图(1),在直角梯形ABCD中,ABCD,ABAD,且2AB=2AD=CD=4,现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF,然后沿边AD将矩形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,如图(2)(1)求证:BC平面BDE;(2)若点D到平面BEC的距离为2,求三棱锥F-BDE的体积.例2如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AB=1，AD=2，E为PA的中点，F是BC上一个动点（1）若F为BC的中点，证明：BE平面PDF；（2）若BDEF，求三棱锥CPEF的体
4、积例3、如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1,面AA1B1B面ABC,且A1AB=60,AA1=2, ABC为边长为2的等边三角形,G为ABC的重心,取BC中点F,连接B1F与BC1交于E点;(1)求证: GE面AA1B1B；(2)求三棱锥B-B1EA的体积.过关检测练1.如图，在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，PA=2，AB=1设M，N分别为PD，AD的中点（1）求证：平面CMN平面PAB；（2）求三棱锥PABM的体积练2如图，在四棱锥PABCD中，M为侧棱PC上一点，侧棱PA丄底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，O为AC与BD交点，且
5、BAD=60，PBD面积为2（I ）证明：OM丄BD；（）若M为PC三等分点（靠近C点），求三棱锥PDOM的体积练3在平行四边形中，过点作的垂线，交的延长线于点，连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积（二） 等体积法求点到平面的距离例1.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足SPEF:S四边形CDEF=1：3；（1）证明：PB平面ACE;（2）当PA=2AD=2时，求点F到平面ACE的距离.例2.如图,四边形ABCD是边长为2的
6、菱形, ABC=60,E,F分别为DC,AB的中点,将DAE沿AE折起,使得二面角D-AE-B的大小为120.(1)求证:平面DCF平面DCE;(2)求B到平面DCF的距离.例3已知四棱锥，平面，直线与平面所成角的大小为，是线段的中点（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离过关检测练1.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AD,BCCD,平面ABD平面BCD,点E,F分别是BD,CD的中点.(1)求证:CD平面AEF;(2)已知AB=4,BC=2,CD=23 ,求三棱锥B-AEF的高.练2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2AA1=4(1)求证:平面BDC1平面AB1D1;(2
7、)求点C1到平面AB1D1的距离.三、分割求和法（组合体）例1、如图所示的集合体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，DAB=60，ADDC，ABBC，QD平面ABCD，PAQD，PA=1，AD=AB=QD=2.（1）求证：平面PAB平面QBC；（2）求该组合体QPABCD的体积.例2，如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,AC1B是等边三角形,AC=AB=1,B1C1BC,BC=2B1C1()求证:AB1 平面A1C1C()求多面体ABC-A1B1C1的体积.例3，如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，C1C=33，BC=3，AC=23。（1）
8、试在线段B1C上找一个异于点B1，C的点P，使得APPC1，并证明你的结论。（2）在（1）的条件下，求多面体A1B1C1PA的体积。例4、如图所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为()A.B.C. D.过关检测1，平面ABCDCDE，BCAD，BCD=90，CDDE，AD=DC=DE=2BC=2，G，H分别是BE，CE的中点。（1）证明：AGCE；（2）求多面体ABG-DCH的体积2、如图，已知梯形CDEF与ADE所在的平面垂直，ADDE，CDDE，ABCDEF，AE2DE8，AB3，EF9，CD12，
9、连接BC，BF.(1)若G为AD边上一点，DGDA，求证：EG平面BCF；(2)求多面体ABCDEF的体积3、如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE3，圆O的直径CE9. (1)求证：平面ABE平面ADE；(2)求五面体ABCDE的体积四、补形构造法例1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD过关检测练习1、如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点求三棱锥AMNC的体积五、间接法例1、如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形
10、, PBA=PBC(1)证明:PBAC;(2)若M为PB的中点,求截面MAC把四棱锥P-ABCD分成两部分的体积比.例2,四棱锥中,底面,.()求证:平面;()若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.过关检测练1、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且PA=PD=DA=2，BAD=60.设AD、PB、PC中点分别为E、F、G.()求证:PBAD;()求证:EF平面PCD;()若,求四面体G-BCD的体积.练习2、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分别是AA1和B1C的中点(1)求证：DE平面ABC；(2)求三棱锥EBCD的体积夹角问题例1如图，已知正方
11、体，与相交于点（1）判断与平面的位置关系，并证明；（2）求直线与平面所成的角例2如图，平面平面，是正方形，是矩形，且，是的中点，（1）求证平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值例3如图，在三棱锥中，平面，点、分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为（1）求证：平面平面（2）求二面角的平面角的正切值过关检测（10mins）练1如图，在四棱锥中，平面，平分，是的中点，（）求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值练2如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥，点平面，且（）证明：平面；（）求与平面所成的角的正切值练3如图，在平面四边形中，已知，现将四边形沿折起，使平面平面，设点
12、为棱的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值常见求几何体体积的方法（答案）例1.如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G（）证明：G是AB的中点；（）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积【答案】例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABBC，BC=CD=12AB,平面PAD平面ABCD,（1）求证：PDBD（2）若AD=PD,PDA=120,且SPAB=152，求四棱锥P-ABCD的体积.【答
13、案】例3.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.（1）证明：B1CAB（2）若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.【答案】过关检测练1.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【答案】3练2.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，ABCD，ABBC，AB=3，B
14、C=CD=2. 1）过PD作一个截面，将四棱锥P-ABCD分成一个阳马和一个鳖臑，并说明理由；2）若tanPAD=55，分别求出（1）中阳马和鳖臑的体积。【答案】题型二、等体积法（三） 等体积法求体积例1、如图(1),在直角梯形ABCD中,ABCD,ABAD,且2AB=2AD=CD=4,现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF,然后沿边AD将矩形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,如图(2)(1)求证:BC平面BDE;(2)若点D到平面BEC的距离为2,求三棱锥F-BDE的体积.【答案】例2如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AB=1，AD=2，E为P
15、A的中点，F是BC上一个动点（1）若F为BC的中点，证明：BE平面PDF；（2）若BDEF，求三棱锥CPEF的体积【解答】（1）证明：取PD中点M，连结ME，MF，在PAD中，E为PA的中点，MEAD且ME=，在矩形ABCD中，F为BC的中点，即BFAD，且，EMBF且EM=BF，即四边形BEMF为平行四边形，则BEMF，又BE平面PDF，MF平面PDF，BE平面PDF；（2）解：连结AF，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，又BDEF，EFPA=E，BD平面AEF，AF平面AEF，BDAF，又ABBC，BAF=CBD，又AB=CD=1，BC=AD=2，又E为AP的中点，PA平面AB
16、CD，=三棱锥CPEF的体积为例3、如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1,面AA1B1B面ABC,且A1AB=60,AA1=2, ABC为边长为2的等边三角形,G为ABC的重心,取BC中点F,连接B1F与BC1交于E点;(1)求证: GE面AA1B1B；(2)求三棱锥B-B1EA的体积.【答案】过关检测练1.如图，在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，PA=2，AB=1设M，N分别为PD，AD的中点（1）求证：平面CMN平面PAB；（2）求三棱锥PABM的体积【答案】2如图，在四棱锥PABCD中，M为侧棱PC上一点，侧棱PA丄底面ABCD，底面ABC
17、D是边长为2的菱形，O为AC与BD交点，且BAD=60，PBD面积为2（I ）证明：OM丄BD；（）若M为PC三等分点（靠近C点），求三棱锥PDOM的体积【解答】（）证明：PA丄底面ABCD，BD平面ABCD，PABD，四边形ABCD是菱形，BDAC，又PAAC=A，BD平面PAC，OM平面PAC，BDOM；（）解：设PA=h，连接PO，由（）知，BDPO，且PO2=h2+AO2，菱形ABCD的边长为2，BAD=60，BD=2，AO=，由，解得h=1M为PC三等分点（靠近C点），M到平面ABCD的距离为，VPDOM=2VCDOM=2VMCDO=练3在平行四边形中，过点作的垂线，交的延长线于点，
18、连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积【解答】证明：（1）如题图1，在中，所以在中，所以所以如题图2，又因为，所以，所以平面，又因为平面，所以平面平面解：（2）解法一：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面取的中点为，连结，则，所以平面即为三棱锥的高且，三棱锥的体积为：三棱锥解法二：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面因为为的中点所以三棱锥的高等于因为为的中点，所以的面积是四边形的面积的，从而三棱锥的体积是四棱锥的体积的，三棱锥的体积为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空
19、间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题（四） 等体积法求点到平面的距离例1.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足SPEF:S四边形CDEF=1：3；（1）证明：PB平面ACE;（2）当PA=2AD=2时，求点F到平面ACE的距离.【答案】例2.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形, ABC=60,E,F分别为DC,AB的中点,将DAE沿AE折起,使得二面角D-AE-B的大小为120.(1)求证:平面DCF平面DCE;(2)求B到平面DCF的距离.【答案】例3已知四棱锥，平
20、面，直线与平面所成角的大小为，是线段的中点（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离【解答】解：（1）因为平面，平面，所以，因为，是线段的中点，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以取上点，使得，连接，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以直线与平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小，又平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，平面，所以平面（2）由（1）可知平面，所以和均为直角三角形，又，设点到平面的距离为，则，即，化简得，解得，所以点到平面的距离为过关检测1.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AD,BCCD,平面ABD平面B
21、CD,点E,F分别是BD,CD的中点.(1)求证:CD平面AEF;(2)已知AB=4,BC=2,CD=23 ,求三棱锥B-AEF的高.【答案】练2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2AA1=4(1)求证:平面BDC1平面AB1D1;(2)求点C1到平面AB1D1的距离.【答案】三、分割求和法（组合体）例1、如图所示的集合体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，DAB=60，ADDC，ABBC，QD平面ABCD，PAQD，PA=1，AD=AB=QD=2.（1）求证：平面PAB平面QBC；（2）求该组合体QPABCD的体积.答案：例2，如图,在多面体ABC-A1B1C1中
22、,四边形ABB1A1是正方形,AC1B是等边三角形,AC=AB=1,B1C1BC,BC=2B1C1()求证:AB1 平面A1C1C()求多面体ABC-A1B1C1的体积.答案：例3，如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，C1C=33，BC=3，AC=23。（1）试在线段B1C上找一个异于点B1，C的点P，使得APPC1，并证明你的结论。（2）在（1）的条件下，求多面体A1B1C1PA的体积。答案：例4、如图所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为()A.B.C. D.【解析】选A.方法一:如图
23、所示,分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,因为三棱锥高为,直三棱柱柱高为1,AG=,取AD中点M,则MG=,所以SAGD=1=,所以V=1+2=.方法二:如图所示,取EF的中点P,则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥P-AED和三棱锥P-BCF都是棱长为1的正四面体,四棱锥P-ABCD为棱长为1的正四棱锥.所以V=12+2=.过关检测1，平面ABCDCDE，BCAD，BCD=90，CDDE，AD=DC=DE=2BC=2，G，H分别是BE，CE的中点。（1）证明：AGCE；（2）求多面体ABG-DCH的体积答案：2、
24、如图，已知梯形CDEF与ADE所在的平面垂直，ADDE，CDDE，ABCDEF，AE2DE8，AB3，EF9，CD12，连接BC，BF.(1)若G为AD边上一点，DGDA，求证：EG平面BCF；(2)求多面体ABCDEF的体积答案：3、如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE3，圆O的直径CE9. (1)求证：平面ABE平面ADE；(2)求五面体ABCDE的体积答案：四、补形构造法例1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为
25、底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，其底面面积S11，柱体的高为：2，锥体的高为1，故组合体的体积V21，故选：A过关检测练习1、如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点求三棱锥AMNC的体积答案：五、间接法例1、如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形, PBA=PBC(1)证明:PBAC;(2)若M为PB的中点,求截面MAC把四棱锥P-ABCD分成两部分的体积比.答案：例2,四棱锥中,底面,.()求证:平面;()若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.【答案】过关检测练习1、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且PA=PD
26、=DA=2，BAD=60.设AD、PB、PC中点分别为E、F、G.()求证:PBAD;()求证:EF平面PCD;()若,求四面体G-BCD的体积.答案：练习2、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分别是AA1和B1C的中点(1)求证：DE平面ABC；(2)求三棱锥EBCD的体积(1)证明取BC中点G，连接AG，EG.因为E是B1C的中点，所以EGBB1，且EGBB1.由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，所以EG綊AD，所以四边形EGAD是平行四边形所以EDAG.又DE平面ABC，AG平面ABC，所以DE平面ABC.(2)解因为ADEG，EG平面BC
27、E，AD平面BCE，所以AD平面BCE，所以VEBCDVDBECVABCEVEABC，由(1)知，DE平面ABC.所以VEABCVDABCADBCAG36412.夹角问题例1如图，已知正方体，与相交于点（1）判断与平面的位置关系，并证明；（2）求直线与平面所成的角【解答】解：（1）平面证明：在正方体中，平面（2）连接平面于点，直线是直线在平面上的射影为直线与平面所成的角又，例2如图，平面平面，是正方形，是矩形，且，是的中点，（1）求证平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：正方形，面面且交于，面，面，又，是矩形，是的中点，平面，而面，故平面平面（2）解：如图，由（）知面面，且
28、交于，在平面内作，垂足为，则平面，是与平面所成的角在中，又，例3如图，在三棱锥中，平面，点、分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为（1）求证：平面平面（2）求二面角的平面角的正切值【解答】证明：（1）平面，又，平面，又，是、的中点，面，面面，（5分）（2）平面，面面（3分），从而为二面角的平面角，直线与直线所成的角为过点作于点，连接，则在中，由勾股定理得在中，在中，故二面角的正切值为（5分）过关检测（10mins）练1如图，在四棱锥中，平面，平分，是的中点，（）求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值【解答】证明：设，连结在中，因为，且平分，所以为的中点又由题设，为的中点
29、，故又平面，不包含于平面，所以平面证明：因为平面，平面，所以由得，又，故平面（）解：由平面知，为在平面内的射影，所以为直线与平面所成的角由，得，在中，所以直线与平面所成的角的正弦值为练2如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥，点平面，且（）证明：平面；（）求与平面所成的角的正切值【解答】解：（）证明：因为，所以为等腰直角三角形，所以（1分）因为是一个长方体，所以面，而平面，所以面，所以（3分）因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得平面（6分）过点在平面作于，连接平面平面平面就是与平面所成的角，与平面所成的角的正切值为练3如图，在平面四边形中，已知，现将四边形沿折起，使平面平面，设点为棱的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值【解答】（本小题满分14分）（1）证明：在图甲中，且，即，在图乙中，平面平面，且平面平面底面，又，且，平面（7分）（2）解：作，垂足为由（1）知平面平面，又平面平面，平面，即为直线与平面所成角设，得，直线与平面所成角的余弦值为（14分）40
