1、函数与导数部分易错题分析高中数学内容是以函数为主线展开的。在高考中占有很大分量,学生在做函数题时出错也较多 ,如下几类问题,学生在处理时易出错,易混淆.题目一：忽视函数有意义的条件例1、已知y=loga（2ax）在0,1上是减函数，求a的取值范围。错解：设t=ax+2，则y=logat，由于a0,即a+20，所以a1，故a的取值范围为：（1,2）。上述错误解法忽视了对数有意义的条件之一：真数要大于零。题目二：没有深刻理解函数奇偶性概念例2.定义域为R的函数fx在（8，+）上为单调递减，且函数y= fx+8为偶函数，则（ ） A.f6f7 B. f6f9 C. f7f9 D. f7f10错解：根
2、据y= f x+8为偶函数，所以fx+8= f-x-8，又令t=8+x， 代入fx+8= f-x-8中得：fx= f-x，所以函数fx是偶函数，再去选择答案时，发现不能确定对错正解：由fg(x)为偶函数，则有fg(-x)= fg(x)，而不是f-g(x)= fg(x)，该题还可把y= f(x+8)向右平移8个单位得到y=fx图象，故y=fx的对称轴为X=8，从而得到fx的单调性y= fx+8是偶函数 fx+8= f-x+8，即y= fx关于直线x=8对称，又fx在（8，+）上为减函数，故在（-，8）上为增函数，检验知：选D题目三：不会求抽象函数的反函数例3.设定义域为R的函数y=f(x)、y=
3、g(x)都有反函数，并且f(x1)和g-1(x2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999那么f(4)=（）。（A） 1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。错解：y=f(x1)和y =g-1(x2)函数的图像关于直线y=x对称，y =g-1(x2)反函数是y =f(x1) 而y = g-1(x2)的反函数是:y =g(x-2), f(x1) =g(x-2),有f(51)=g(3) 这样无法解下去。正解：y=f(x1)和y =g-1(x2)函数的图像关于直线y=x对称，y=g-1(x2)反函数是y =f(x1)，而y = g-1(x2)的反函数是:y =2 +g(x
4、), f(x1) =2 +g(x),有f(51)=2 +g(5)=2001故f(4) = 2001,应选（C）题目四：混淆了定义域与值域关系例4若函数， 的值域为R，求a的范围；错解：记，则；值域域为R恒成立。得：，解得实数a的取值范围为。正解。值域为R：值域为R至少取遍所有的正实数，则，解得实数a的取值范围为。题目五：忽视函数单调性的整体性例5、已知上的增函数，求a的取值范围。0x1111y错解：由题设易知上述错误解法忽视了函数的图像可能出现如图所示的情况。正确解法：由题设知，解不等式组得。即a的取值范围为：题目六：没有真正理解复合函数定义域含义例6、设函数的定义域为，求函数的定义域。错解：
5、由正解：由（A）因为，所以当时，不等式组（A）的解集为；当时，不等式组（A）的解集为；当时，不等式组（A）的解集为。综上所述：所求函数的定义域为。上述错解错误的原因在于忽略了对参数的讨论。一般地说，对于含有参数的题，应要进行讨论，假设函数则复合函数中的取值范围，叫做这复合函数的定义域；中间变量的取值范围，即是的值域，也即的定义域。题目七：忽视函数f(x)=ax2+bx+c中a=0的情况例7、若ax2+ax+a+30对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。错解：构造函数f(x)= ax2+ax+a+3，要使f(x)0对一切实数x恒成立，只需fmin(x)0即可，即，解不等式组得。正确解法：当a=
6、0时，原不等式变为30，它对于一切实数x恒成立，所以a=0合题意。当a0时，由题设知解得综合、知：a的取值范围为。上述错误解法忽视了二次项系数可能为0的情况。题目八：对函数单调的充要条件理解不清致错例8、已知函数f(x)=在(2,+ )内是减函数，求实数a的取值范围。错解：=,由函数f(x) 在(2,+ )内单调递减知0在(2,+ )内恒成立，即在(2,+ )内恒成立，因此a.错误的主要原因是由于对于函数f(x)在D上单调递增（或递减）的充要条件是(或)且在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当a=时=0在(2,+ )恒成立，所以不符合题意，所以舍去。即实数a的取值范围为另解：f(x)=a+ 因
7、为f(x) 在(2,+ ) 内是减函数。即实数a的取值范围为题目九：一个函数在某点导数等于0是这个函数在该点取得极值的必要不充分条件例9.已知函数在处取得极值为10，则错解：，根据题意可知且，得方程组所以或满足的、值不一定就满足为函数的极值事实上，当时，在上为单调增函数，因此不是函数的极值点所以这类问题在求出值后，应该再代入导函数以检验是否符合题意正解：经检验，不是符合题意的解；当时，为函数的极小值点，因此只能取题目十：改变了题设条件例10：设函数f(x)=x3+2x2+x-4，g(x)=ax2+x-8, 当x0，+)时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围。错解：依题，x0，+)
8、时，不等式f(x)g(x)恒成立”转化为“fmin(x)gmax(x)”往下分别求x0，+)时，fmin(x)和gmax(x)，以下略去。正解：思路1：构造函数，求新函数的最小值。令，h(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4，x0，+)，只要hmin(x)0。=3x3+2(2-a)x，令 =0x=0或x=1当a2时， 0在0，+)上恒成立， h(x)在0，+)上递增，hmin(x)=h(0)=40，即f(x)g(x)恒成立，符合题意；当时，由或,由在上递减，在上递增，又在恒成立等价于，综上所述，实数的取值范围是.思路2：分离参数法在恒成立等价于在恒成立，（往下求函数在上的最小值可
9、用三个正数的均值不等式或导数法）.题目十一：忽略用函数图像解有关方程问题例11已知函数（1）函数上是增函数还是减函数，并证明你的结论。（2），是否存在正最大的正整数使当时恒成立。若存在求出的值，若不存在说明理由。（2）错解恒成立即恒成立令令。用初等方法无法求出此方程的根。所以不存在这样的正解：在上是增函数假设存在正最大的正整数使当时恒成立即恒成立令令设方程解为 当时，当时， 当时 有最小值为 存在最大正整数m的值为3题目十二：对构造函数法理解不到位。例12设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，() 设，比较与的大小，并证明；() 设，若，比较与的大小，并证明你的结论.剖析：拿到此题许多同学无从下手，想不到构造函数利用此函数单调性来证明。事实上：由于得，而，则，则，因此在上是增函数.()由于，则，而在上是增函数，则，即，（1），同理 （2）（1）+（2）得：，而，因此 .（）证法1: 由于，则，而在上是增函数，则，即， 同理 以上个不等式相加得：而证法2：数学归纳法（1）当时，由（）知，不等式成立；（2）当时，不等式成立，即成立，则当时， +再由()的结论, +因此不等式对任意的自然数均成立.
