1、第三章 函数概念与性质2网络构建核心归纳1.函数表示法函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：必须注明函数的定义域.图象法：描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解析式，观察函数特征.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.分段函数：由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组.2.函数性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势.3.函数最大(小)值 求函数最值问题，常利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；或利用函数单调性，如果函数f(x)在区间a
2、，b上单调递增，在b，c上单调递减，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)，最小值为f(a)与f(c)中的较小者.4.解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.要点一求函数的定义域求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.(3)复合函数问题：若f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由ag(x)b解出；若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义
3、域为g(x)在a，b上的值域.注意：a.f(x)中的x与f(g(x)中的g(x)地位相同；b.定义域是指x的范围.(2)由yf(x1)的定义域是1，2，则x12，1，即f(x)的定义域是2，1，令213x1，解得0 x1，即yf(13x)的定义域为0，1.答案(1)D(2)C【训练1】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为yx2，值域为1，4的“同族函数”共有()A.7个 B.8个 C.9个 D.10个解析由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数.函数解析式为yx2，值域为1，4，当x1时，y1；当x2时，y4，则定义域可以为1，2
4、，1，2，1，2，1，2，1，1，2，1，1，2，1，2，2，1，2，2，1，1，2，2，因此“同族函数”共有9个.答案C要点二求函数的解析式【例2】(1)已知f(x1)2x5，则f(x)的解析式为_.(2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)1，并且x，yR，都有f(xy)f(x)y(2xy1)，则f(x)_.解析(1)法一(换元法)设x1t，则xt1，f(t)2(t1)52t7，f(x)2x7.法二(配凑法)f(x1)2x52(x1)7，所以f(x)2x7，即函数的解析式为f(x)2x7.(2)法一由已知条件得f(0)1，又f(xy)f(x)y(2xy1)，设yx，则f(xy)f(
5、0)f(x)x(2xx1)1，所以f(x)x2x1.法二令x0，得f(0y)f(0)y(y1)，即f(y)1y(y1)，将y 用x代换得f(x)x2x1.答案(1)f(x)2x7(2)x2x1【训练2】根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式.当1x1时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，2(a1)2a，无解.当a1时，a12，f(1)0，f(2)2，不符合题意.答案C(2)当a2时，f(a)a3，此时不等式的解集是(，3)；当2a4时，f(a)a13，此时不等式无解；当a4时，f(a)3a3，此时不等式无解.故a的取值范围是(，3).答案(1)B(2)(，3)
6、要点四函数的概念与性质函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，比较得nn，n0.因此，实数m和n的值分别是2和0.任取x1，x22，1，且x1x2，2x1x21，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数f(x)在2，1上为增函数，解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以x0时，f(
7、x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，所以10时，图象都通过点(0，0)，(1，1)；在第一象限内，函数值随x的增大而增大；在第一象限内，1时，图象是向下凸上升的；01时，图象是向上凸上升的；在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.(2)当0，得1m2恒成立，则c12，即c3.故实数c的取值范围为(3，).解(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.【训练7】为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市.
8、通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：(1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，一次函数；二次函数；幂函数，并求出函数的解析式；(2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格.上市时间x天126市场价y元5210解(1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，而模型均为单调函数，不符合题意，故选择二次函数模型，设f(x)ax2bxc(a0)由表中数据可知f(x)x26x10(x0)，(2)由(1)知f(x)x26x10(x3)21，当x3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元，故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元.39404142434445464748495051525354555657585960616263
