1、函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）函数的性质（单调性、奇偶性、周期性） 目标目标和要求和要求：1.掌握分段函数的单调性中易错点 2.熟练运用函数单调性和对称性解不等式 3.熟识函数的对称性与周期性抽象表达，掌握对称性与周期的应用 一、课前预习一、课前预习 1. 已 知 函 数)(xf对 任 意 实 数x都 满 足 )( 1 )2( xf xf， 若5) 1 (f， 则 ._)45(ff 设计意图：熟悉周期函数定义的变式设计意图：熟悉周期函数定义的变式 解析：)( )( 1 1 )2( 1 )2)2()4( )( 1 )2(xf xf xf xfxf xf xf 函数周期为4T，所以) 1()
2、5()45(5) 1 ()45(ffffff 又令 5 1 1 ( 1 ) 1( ) 1( 1 )21(1 ）f f f fx 结论：)(xf满足|2)()2( )( 1 )(MTxfMxf xf Mxf 2.函数 0,)( , 0, 2 )( 2 2 xeaa xax xf x 在R上单调，则实数a的取值范围是_. 设计意图：巩固分段函数的单调性的易错点设计意图：巩固分段函数的单调性的易错点 解析：分段函数在整个定义上单调，必须满足每段都是单调递增，且在分段点的左到右的图 像也要单调递增。分两类， （1）函数单增，故 2 0 0 2 2 aa aa a 得 21 a （2）函数单减， 2 0
3、 0 2 2 aa aa a ，得 a 无解；综上 21 a 3.已知函数 ) 1( , 52 ) 1( , )( 2 xax xaxx xf ，若 1212 ,x xxxR，使得 12 ()()f xf x成立，则 实数a的取值范围是_ 设计意图：分段函数的单调性注意点，设计意图：分段函数的单调性注意点， 1212 ,x xxxR，使得，使得 12 ()()f xf x所表达的含义所表达的含义 解析： 1212 ,x xxxR，使得 12 ()()f xf x ，要求函数不能为单调函数 （1）当对称轴1 2 a x 时，抛物线 axxxf 2 )( 在 1 ,(上不单调，所以此时直线 5)(
4、 axxf的单调性可以不考虑，故; 2a （2）当对称轴1 2 a x 时，抛物线 axxxf 2 )( 在 1 ,(上单增，所以以此时 直线5)( axxf在分段点处必须有aa152，得以42 a 综上，; 4a 二、典型例题二、典型例题 例 1设) 1 2 lg()(a x xf 是奇函数，则使0)(xf的x的取值范围_. 设计意图：利用奇函数处理函数中的参数的三种常见方法以及注意点设计意图：利用奇函数处理函数中的参数的三种常见方法以及注意点 解析：利用奇函数的定义) 1 2 lg() 1 2 lg)()(a x a x xfxf （ axa x x axa axa x x axa 2 1
5、 1 2 ) 2 1 lg() 1 2 lg( 待定系数得100) 1 1 lg()(1 x x x xfa 点评：此题学生可能利用0)0(f，这必须在 0 有定义的前提下才能使用。 但此题可以简化利用奇函数定义域关于原点对称，即0 1 2 a x 得到关于原点对称的解集，即分子的零点为-1，可得1a 变式 1：若函数 22 log2 a fxxxa是奇函数，则a _ 解析：观察函数定义域为 R, , 2 1 0)0( 2 af 2 2 , 1, 0aaa 变式 2：已知函数 3 2)(x ee ee xf xx xx 若不等式0) 12()2( 2 axfxxf恒 成立，则a的取值范围为_
6、解析：)(xf为奇函数， 1 2 1 1 1 22 2 xx x xx xx ee e ee ee y单调递增， 3 2xy 也是单调递增，故)(xf单调递增， 0) 12()2( 2 axfxxf恒成立， 即为122 2 axxx恒成立， 8 5 a 利用此题，让学生熟悉几个常见的复合函数为奇函数的模型，如： x x y 1 1 lg xx xx aa aa yxxy ),1lg( 2 例 2.定义在 R R 上的函数 f(x)满足 )0(),2() 1( )0( ,3 )( 1 xxfxf x xf x 则 f(2018)_. 设计意图：分段函数与周期性的函数值的转化，对称性与周期性的转化
7、设计意图：分段函数与周期性的函数值的转化，对称性与周期性的转化 解析： x0 时， f(x)f(x1)f(x2)， f(x1)f(x)f(x1)， 相加得 f(x 1)f(x2)，即 f(x3)f(x)，所以 f(x6)f(x3)f(x)， f(2016)f(3366+2)f(2)， f(2)=f(1)-f(0)，f(1)=f(0)-f(-1), 所以 9 1 -2(）f 变式 2：已知奇函数)(xf的图像关于直线2x对称，当2 , 0x时，,2)(xxf 则_)9(f 解析：由)(xf的图像关于直线2x对称，可以推出)4()- (xfxf 又)(xf为奇函数， 可得)()- (xfxf， 进
8、而得到)4()(xfxf， 可以推出)(xf 周期为 8，所以2) 1 () 1()9- (fff 总结：函数既有对称轴，又有对称中心，则函数必为周期函数 思考：若周期函数有对称轴，能导出它有对称中心吗？ 例 3.已知)(xf满足0)6()4()2(fxfxf， 且)(xf在), 3( 上单调递增， 求解不等式0) 1()2(xfx 设计意图：利用函数的单调性和对称性解不等式关键是画出符合题意的函设计意图：利用函数的单调性和对称性解不等式关键是画出符合题意的函 数图像，利用函数图像解不等式数图像，利用函数图像解不等式 解析：由)4()2(xfxf可以得到函数对称中心为（3,0）,画出符合题 意
9、的函数简图 （1） 31061 02 0) 1( 02 xx x xf x 或 3 6 得417xx或 （2） 61301 02 0) 1( 02 xx x xf x 或 得2x 综上，2417xxx或或 变式3：若函数f(x)是定义在R R上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增.如果实 数t满足f(ln t)+f2f(1),那么t的取值范围是 . 解析：f(ln t)+f=f(ln t)+f(-ln t)=2f(ln t), 于是f(ln t)+f2f(1) f(ln t)f(1) |ln t|1 -1ln t1 te. 1 ln t 1 ln t 1 ln t 1 e 三、三、课后练习：课
10、后练习： 1.已知)1 , 1( 14)( 2 xxaxxf，如果函数图象上任意两点 A、B，直线 AB 都 不与 x 轴平行，则实数 a 的取值范围为_ 解析：函数图象上任意两点 A、B，直线 AB 都不与 x 轴平行，即为函数是单调的。 （1）时0a ，函数是一次函数，肯定单调； （2） 时0a,函数是二次函数，只 要对称轴不在-1,1内，1 2 1 2 aa 或得011aa且综上，11a 2.函数)(xf在定义域 R R 内可导，若 f(x)f(2x)，且当) 1 ,(x时， 0)() 1( / xfx， 设)3(), 2 1 (),0(fcfbfa， 则cba,的 大 小 关 系 为
11、_ 解析：依题意得，当1x时，0)( / xf，f(x)为增函数；又f(3)f(1)， 且101 21，因此有 ) 2 1 ()0) 1(fff， 即有) 2 1 ()0()3(fbfafc 3. 设 奇 函 数 f x在,0上 为 增 函 数 ， 且30f ， 则 不 等 式 2 0 f xfx x 的解集为_. 解析：)(xf为奇函数， 2 0 fxfx x 即为0 )( x xf 画出符合题意的函数 图像，利用图像解不等式，分类讨论。 （1）3 0)( 0 )2( ; 3 0)( 0 x xf x x xf x 综上33xx或 4.已知)(xf是定义在 R 上的奇函数，满足)1 ()1
12、(xfxf，若, 2) 1 (f则 _)50()2() 1 (fff 解析：由)(xf为奇函数，函数图像关于原点对称，由)1 ()1 (xfxf 得函数图像关于1x对称，可得函数的周期为, 2) 1 (, 0)0(4ffT， 2)2() 1 ()50()2() 1 (0)4(, 2)3(, 0)2(ffffffff 5（选做） ：已知函数f(x)在(1,1)上有定义, f(1 2)=1, 当且仅当 0x1 时, f(x)0. 当 x, y(1, 1)时, 都有) 1 ()()( xy yx fyfxf . 求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)在 (1,1)上单调递减. 解析：(1)令0)0(0fyx 令)()(xfxfxy，定义域为（-1,1） ，所以 f(x)为奇函数 （2）设, 11 21 xx则 ) 1 ()()()()( 21 12 1212 xx xx fxfxfxfxf )2 , 0(1) 1 , 1(),2 , 0(, 11 21211221 xxxxxxxx 又) 1 , 0( 1 0)1)(1 ()()1 ( 21 12 211221 xx xx xxxxxx 所以)()(0) 1 ( 12 21 12 xfxf xx xx f 所以函数单调递减
