1、第五章第五章 一元一次方程一元一次方程5.6 应用一元一次方程应用一元一次方程 追赶小明追赶小明1.列方程解应用题的一般步骤有哪些？列方程解应用题的一般步骤有哪些？2.路程、速度、时间的关系有哪些？路程、速度、时间的关系有哪些？复复习习回回顾顾1知识点知识点一般行程问题一般行程问题知知1 1导导 小明每天早上要在小明每天早上要在7:50之前赶到距家之前赶到距家1 000 m的学校上学的学校上学.一天，小明以一天，小明以80 m/min的速度出发，的速度出发，知知1 1导导5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是于是,爸爸爸立即以爸立即以180 m/min
2、的速度去追小明，并且在途中的速度去追小明，并且在途中追上了他追上了他.(1)爸爸追上小明用了多长时间？爸爸追上小明用了多长时间？(2)追上小明时，距离学校还有多远？追上小明时，距离学校还有多远？知知1 1讲讲分析：当爸爸追上小明时，两人所行路程相等分析：当爸爸追上小明时，两人所行路程相等.在解决在解决 这个问题时，要抓这个问题时，要抓 住这个等量关系住这个等量关系.画出线段图，画出线段图，关系就很清楚了关系就很清楚了.知知1 1讲讲解：解：(1)设爸爸追上小明用了设爸爸追上小明用了 x min.根据题意，得根据题意，得180 x=80 x+805.化简，得化简，得 100 x=400.x=4.
3、因此，爸爸追上小明用了因此，爸爸追上小明用了 4 min.(2)1804=720(m),1000-720=280(m).所以，追上小明时，距离学校还有所以，追上小明时，距离学校还有280 m.知知1 1讲讲1.行程问题的基本关系式：行程问题的基本关系式：路程速度路程速度时间；时间；时间路程时间路程速度，速度路程速度，速度路程时间时间2.行程问题中的等量关系：行程问题中的等量关系：(1)相遇问题中的等量关系：相遇问题中的等量关系：甲走的路程乙走的路程甲、乙出发点之间甲走的路程乙走的路程甲、乙出发点之间 的路程；的路程；若甲、乙同时出发，甲用的时间乙用的时间若甲、乙同时出发，甲用的时间乙用的时间知
4、知1 1讲讲(2)追及问题中的等量关系：追及问题中的等量关系：快者走的路程慢者走的路程追及路程；快者走的路程慢者走的路程追及路程；若同时出发，快者追上慢者时，快者用的若同时出发，快者追上慢者时，快者用的 时间慢者用的时间时间慢者用的时间知知1 1讲讲 例例1 甲站和乙站相距甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站开出，一列慢车从甲站开出，速度为速度为60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为 90 km/h.(1)若两车相向而行，慢车先开若两车相向而行，慢车先开30 min，快车开出，快车开出 几小时后两车相遇？几小时后两车相遇？(2)若两车同时开出，相背而行
5、，多少小时后两车若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车 相距相距1 800 km？(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距多少小时后两车相距1 200 km(此时快车在慢车此时快车在慢车 的后面的后面)?知知1 1讲讲导引：导引：(1)列表：列表：速度速度/(km/h)时间时间/h路程路程/km慢车慢车60 x60(x )快车快车90 x90 x1212等量关系：慢车行驶的路程快车行驶的路等量关系：慢车行驶的路程快车行驶的路程程1 500 km.知知1 1讲讲(2)列表：列表：等量关系：两车行驶的路程和等量关系：两车行驶的路程和
6、1 500 km1 800 km.(3)列表：列表：等量关系：慢车行驶的路程等量关系：慢车行驶的路程1 500 km快车行驶快车行驶 的路程的路程1 200 km.速度速度/(km/h)时间时间/h路程路程/km慢车慢车60y60y快车快车90y90y速度速度/(km/h)时间时间/h路程路程/km慢车慢车60z60z快车快车90z90z知知1 1讲讲解：解：(1)设快车开出设快车开出x h后两车相遇后两车相遇 由题意，得由题意，得60 90 x1 500，解得解得x9.8.答：快车开出答：快车开出9.8 h后两车相遇后两车相遇 (2)设设y h后两车相距后两车相距1 800 km.由题意，得
7、由题意，得60y90y1 5001 800，解得解得y2.答：答：2 h后两车相距后两车相距1 800 km.1+2x知知1 1讲讲 (3)设设z h后两车相距后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面此时快车在慢车的后面)由题意，得由题意，得60z1 50090z1 200，解得解得z10.答：答：10 h后两车相距后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的此时快车在慢车的 后面后面)总总 结结知知1 1讲讲(1)行程问题中，分析时，可借助图示、列表来分析数行程问题中，分析时，可借助图示、列表来分析数 量关系，图示可直观找出路程等量关系，列表可将量关系，图示可直观找出路程等量关系，列
8、表可将 路程、速度、时间的关系清晰地展示出来路程、速度、时间的关系清晰地展示出来(2)本例是求时间，我们可设时间为未知数，从表中求本例是求时间，我们可设时间为未知数，从表中求 路程；如果要求的是路程，那么我们可设路程为路程；如果要求的是路程，那么我们可设路程为 未知数，从表中求时间，其依据是路程、速度和未知数，从表中求时间，其依据是路程、速度和 时间三者间的关系式时间三者间的关系式.知知1 1讲讲如如(1)小题若将小题若将“几小时后两车相遇？几小时后两车相遇？”改为改为“相遇时相遇时快车走了多少千米？快车走了多少千米？”如设间接未知数，则原解析及如设间接未知数，则原解析及解不变，仅只将解不变，
9、仅只将x求出后，再求出求出后，再求出90 x的值即可，如设的值即可，如设直接未知数，则解析改为：列表：直接未知数，则解析改为：列表：速度速度/(km/h)时间时间/h路程路程/km慢车慢车601500-x快车快车90 x150060 x 90 x知知1 1讲讲 等量关系：慢车行驶时间等量关系：慢车行驶时间 h=快车行驶时间快车行驶时间.方程为：方程为：(3)一般规律：在路程、速度、时间这三个量中，甲一般规律：在路程、速度、时间这三个量中，甲 量已知，从乙量设元，则从丙量中找相等关系列量已知，从乙量设元，则从丙量中找相等关系列 方程；在所有行程问题中，一般都已知一个量，方程；在所有行程问题中，一
10、般都已知一个量，另两个量相互之间都存在相等关系另两个量相互之间都存在相等关系.1215001.60290 xx 知知1 1讲讲 例例2 小明和他的哥哥早晨起来沿长为小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形的环形 跑道练习跑步小明跑跑道练习跑步小明跑2圈用的时间和他的圈用的时间和他的 哥哥跑哥哥跑3圈用的时间相等两人同时同地同圈用的时间相等两人同时同地同 向出发，结果经过向出发，结果经过2 min 40 s他们第一次相遇，他们第一次相遇，若他们两人同时同地反向出发，则经过几秒若他们两人同时同地反向出发，则经过几秒 他们第一次相遇？他们第一次相遇？知知1 1讲讲导引：列表：导引：列表：相等关系
11、：小明跑的路程哥哥跑的路程相等关系：小明跑的路程哥哥跑的路程 400 m.速度速度/(m/s)时间时间/s路程路程/m小明小明x160160 x哥哥哥哥 x1601603232x 知知1 1讲讲解：设小明的速度为解：设小明的速度为x m/s，则他的哥哥的速度为则他的哥哥的速度为 x m/s，由题意得由题意得160 x160 400.解得解得x5.则小明的哥哥的速度为则小明的哥哥的速度为5 7.5(m/s)设经过设经过y s他们第一次相遇，他们第一次相遇，由题意，得由题意，得(57.5)y400.解得解得y32.答：经过答：经过32 s他们第一次相遇他们第一次相遇32x32 32总总 结结知知1
12、 1讲讲 (1)本例在求小明及哥哥的速度时，也可设他们两人的速本例在求小明及哥哥的速度时，也可设他们两人的速 度分别为度分别为2x m/s和和3x m/s.(2)环形运动问题中的等量关系环形运动问题中的等量关系(同时同地出发同时同地出发)：同向相：同向相 遇：第一次相遇快者的路程第一次相遇慢者的路程遇：第一次相遇快者的路程第一次相遇慢者的路程 跑道一圈的长度；反向相遇：第一次相遇快者的跑道一圈的长度；反向相遇：第一次相遇快者的 路程第一次相遇慢者的路程跑道一圈的长度路程第一次相遇慢者的路程跑道一圈的长度知知1 1练练 汽车以汽车以72 km/h的速度在公路上行驶，开向寂静的山的速度在公路上行驶
13、，开向寂静的山谷，驾驶员摁一下喇叭，谷，驾驶员摁一下喇叭，4 s后听到回声，这时汽车后听到回声，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340 m/s，设听到回声时，汽车离山谷，设听到回声时，汽车离山谷x m，根据题意，根据题意，列出方程为列出方程为()A2x4204340 B2x4724340C2x4724340 D2x42043401A知知1 1练练 张昆早晨去学校共用时张昆早晨去学校共用时15 min，他跑了一段，走了，他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是一段，他跑步的平均速度是250 m/min，步行的平均，步行的平均速度是速度是80
14、 m/min，他家与学校的距离是，他家与学校的距离是2 900 m，若，若他跑步的时间为他跑步的时间为x min，则列出的方程是，则列出的方程是()A250 x80 2 900B80 x250(15x)2 900C80 x250 2 900D250 x80(15x)2 90014x 14x 2D2知识点知识点顺速、逆速问题顺速、逆速问题 知知2 2讲讲 顺流（风）、逆流（风）问题：船在静水中的顺流（风）、逆流（风）问题：船在静水中的速度记为速度记为v静，水的速度记为静，水的速度记为v水，船在顺水中的速水，船在顺水中的速度度记为记为v顺，船在逆水中的速度记为顺，船在逆水中的速度记为v逆，则逆，则
15、 v顺顺=v静静+v水，水，v逆逆=v静静-v水水.知知2 2讲讲 例例3 一架飞机飞行在两个城市之间，风速为一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24 km/h，顺风飞行需要顺风飞行需要2 h 50 min，逆风飞行需要，逆风飞行需要3 h，求，求 飞机在无风时的平均速度及两城市之间的距离飞机在无风时的平均速度及两城市之间的距离 方法一：设速度为未知数方法一：设速度为未知数 导引：设飞机无风时的平均速度为导引：设飞机无风时的平均速度为x km/h，2 h 50 min h.176知知2 2讲讲速度速度/(km/h)时间时间/h路程路程/km顺风飞行顺风飞行x24 (x24)逆风飞行逆风飞行x24
16、33(x24)176176 列表：列表：相等关系：顺风行驶路程逆风行驶路程相等关系：顺风行驶路程逆风行驶路程知知2 2讲讲解：解：2 h 50 min h.设飞机在无风时的平均速度为设飞机在无风时的平均速度为x km/h，则顺风速度为则顺风速度为(x24)km/h，逆风速度为逆风速度为(x24)km/h，根据题意，得根据题意，得 (x24)3(x24)解得解得x840.3(x24)2 448.答：飞机在无风时的平均速度为答：飞机在无风时的平均速度为840 km/h，两城市之间的距离是两城市之间的距离是2 448 km.176176知知2 2讲讲速度速度/(km/h)时间时间/h路程路程/km顺
17、风飞行顺风飞行x逆风飞行逆风飞行x31763x方法二：设路程为未知数方法二：设路程为未知数 导引：设两城市之间的距离为导引：设两城市之间的距离为x km.列表：列表：相等关系：顺风行驶速度风速逆风行驶速相等关系：顺风行驶速度风速逆风行驶速度风速即：无风时速度相等度风速即：无风时速度相等176x知知2 2讲讲 解：设两城市之间的距离为解：设两城市之间的距离为x km，则顺风行驶的速度为则顺风行驶的速度为 km/h，逆风行驶的速度为逆风行驶的速度为 km/h，根据题意，得：根据题意，得：解得解得x2 448.所以所以 答：飞机在无风时的平均速度为答：飞机在无风时的平均速度为840 km/h，两城市
18、之间的距离为两城市之间的距离为2 448 km.3x176x2424.1736xx 244824+24=840.33x 总总 结结知知2 2讲讲(1)行程问题：虽然不同的问题有不同的关系式，但列行程问题：虽然不同的问题有不同的关系式，但列 表格分析的方式是一致的，在路程、速度、时间这表格分析的方式是一致的，在路程、速度、时间这 三个量中，已知量是一致的，设的未知量不同，所三个量中，已知量是一致的，设的未知量不同，所 列方程也不同列方程也不同(2)解有关行程问题时，我们始终要记住一句话：在行解有关行程问题时，我们始终要记住一句话：在行 程问题三个基本量程问题三个基本量(路程、速度、时间路程、速度
19、、时间)中：如果速中：如果速 度已知，若从时间设元，则从路程找等量关系列方程；度已知，若从时间设元，则从路程找等量关系列方程；总总 结结知知2 2讲讲 若从路程设元，则从时间找等量关系列方程；如果若从路程设元，则从时间找等量关系列方程；如果时间已知，若从速度设元，则从路程找等量关系列方时间已知，若从速度设元，则从路程找等量关系列方程；若从路程设元，则从速度找等量关系列方程；程；若从路程设元，则从速度找等量关系列方程；如果路程已知，若从时间如果路程已知，若从时间(速度速度)设元，则从速度设元，则从速度(时间时间)找等量关系列方程找等量关系列方程知知2 2练练 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用一艘
20、船从甲码头到乙码头顺流行驶用4 h，从乙码，从乙码头到甲码头逆流行驶用头到甲码头逆流行驶用4 h 40 min，已知水流速，已知水流速度为度为3 km/h，则船在静水中的平均速度是多少？，则船在静水中的平均速度是多少？1解：设船在静水中的平均速度是解：设船在静水中的平均速度是x千米千米/小时，小时，根据题意，得根据题意，得 4(x3)解得解得x39.答：船在静水中的平均速度是答：船在静水中的平均速度是39千米千米/小时小时14(3),3x 2一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞机出航时顺风飞行，在无风时的速度是飞机出航时顺风飞行，在无风时的速度
21、是575 km/h，风速为，风速为25 km/h，这架飞机最远能飞出多，这架飞机最远能飞出多少千米就应返回？少千米就应返回？知知2 2练练 设飞机顺风飞行的时间为设飞机顺风飞行的时间为t h.依题意，有依题意，有(57525)t(57525)(4.6t)解得解得t2.2.则则(57525)t6002.21 320.答：这架飞机最远能飞出答：这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回就应返回解：解：知知3 3讲讲3知识点知识点上坡、下坡问题上坡、下坡问题例例4 (中考中考株洲株洲)家住山脚下的孔明同学想从家出发家住山脚下的孔明同学想从家出发 登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：登山游玩，据以
22、往的经验，他获得如下信息：他下山时的速度比上山时的速度每小时快他下山时的速度比上山时的速度每小时快1 km；他上山他上山2 h到达的位置，离山顶还有到达的位置，离山顶还有1 km；抄近路下山，下山路程比上山路程近抄近路下山，下山路程比上山路程近2 km；下山用下山用1 h.知知3 3讲讲 根据上面信息，他做出如下计划：根据上面信息，他做出如下计划：(1)在山顶游览在山顶游览1 h；(2)中午中午12：00回到家吃中餐回到家吃中餐 若依据以上信息和计划登山游玩，若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？解：设上山的速度为解：设上山的
23、速度为v km/h，则下山的速度为则下山的速度为(v1)km/h，由题意得由题意得2v1v12，解得，解得v2.即上山速度是即上山速度是2 km/h.知知3 3讲讲则下山的速度是则下山的速度是3 km/h，山高为，山高为5 km.则计划上山的时间为则计划上山的时间为522.5(h)，计划下山的时间为计划下山的时间为1 h，则共用时间为则共用时间为2.5114.5(h)，所以出发时间为所以出发时间为7：30.答：孔明同学应该在答：孔明同学应该在7点点30分从家出发分从家出发 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等在运动形式上分直线运问题，上坡、下坡问题等在运动形式上分直线运动及曲线运动动及曲线运动(如环形跑道如环形跑道)相遇问题是相向而行，相遇问题是相向而行，相遇时的总路程为两运动物体的路程和追及问题相遇时的总路程为两运动物体的路程和追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追顺流、逆流、顺风、逆风、上下坡间，快的再追顺流、逆流、顺风、逆风、上下坡问题应注意运动方向问题应注意运动方向
