1、5.15.1 相交线相交线1 1 对顶角对顶角第第5 5章章 相交线与平行线相交线与平行线1.1.掌握对顶角的定义并能够在图形中识别出来掌握对顶角的定义并能够在图形中识别出来.2.2.能够用对顶角的性质解决有关的问题能够用对顶角的性质解决有关的问题.大桥上的钢梁和钢索大桥上的钢梁和钢索棋盘上的横线和竖线棋盘上的横线和竖线 学校操场上的双杠学校操场上的双杠,教室中课桌面、黑板面相邻教室中课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边的两条边与相对的两条边都给我们以平行线、都给我们以平行线、相交线的形象相交线的形象.请你画出任意两条相交直线，看看这四个角有什请你画出任意两条相交直线，看看这四个角有什么关
2、系么关系?问题问题:两条相交直线形成的小于平角的角有几个两条相交直线形成的小于平角的角有几个?问题探究：问题探究：观察剪布片的过程中有关角的变化观察剪布片的过程中有关角的变化.任意画两条相交直线任意画两条相交直线,在形成的四个角在形成的四个角(如图如图)中中,两两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系?它它们的大小关系如何？们的大小关系如何？两直线相交两直线相交所形成的角所形成的角分分 类类A AB BC CD D）（1 13 34 42 2）（3311224411和和2,2,4 422和和 和和,和和1 14 43 34 411和和3 3，和
3、和2 23 3，对顶角的概念对顶角的概念2 23 31 14 4A AB BD D11和和3 3具有相同的顶点，且具有相同的顶点，且1 1的两边的两边OAOA，OCOC分别与分别与3 3的两边的两边OBOB，ODOD互为反向延长线，我们把这样的两个互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做角叫做对顶角对顶角.性质：性质：对顶角相等对顶角相等.C CO O1 1下列各图中下列各图中1 1，2 2是对顶角吗？为什么？是对顶角吗？为什么？2 21 12 22 21 1练一练：练一练：不是不是不是不是不是不是【例例】已知：直线已知：直线a a，b b相交，相交，1=401=40.求求2 2，3 3，4 4
4、的度数？的度数？a ab b1 12 23 34 4解：解：3=1=403=1=40 （对顶角相等），（对顶角相等），2=1802=180-1=180-1=180-40-40=140=140 （平角的定义），（平角的定义），4=2=1404=2=140（对顶角相等）（对顶角相等）.【例题例题】若若2 2是是1 1的的3 3倍，求倍，求3 3的度数的度数.a ab b1 12 23 34 4解：解：设设1=x1=x，则，则2=3x.2=3x.因为因为2+1=1802+1=180,所以所以3x+x=1803x+x=180，解得解得 x=45x=45，所以所以3=1=453=1=45（对顶角相等）（
5、对顶角相等）.【跟踪训练跟踪训练】1.1.（邵阳（邵阳中考）如图所示，已知中考）如图所示，已知O O是直线是直线ABAB上一点，上一点，1 14040，ODOD平分平分BOCBOC，则，则2 2的度数是（的度数是（)A A2020 B B2525 C C3030 D D70702 2D DC CA AB BO O1 1【解析解析】选选D.D.因为因为1 14040，所，所以以BOCBOC140140，因为，因为ODOD平分平分BOCBOC，所以，所以2 27070.2.2.如图所示，三条直线如图所示，三条直线AB,AB,CD,EFCD,EF相交于一点相交于一点O,AOCO,AOC的对的对顶角是
6、顶角是 ，COFCOF的对顶角是的对顶角是_._.A AB BC CD DE EF FO OBODBODEODEOD3.3.如图所示，如图所示，1=21=2，则，则2 2与与3 3的关系是的关系是 ，1 1与与3 3的关系是的关系是 .1 12 23 3互补互补互补互补4.4.（芜湖（芜湖中考）一个角的补角是中考）一个角的补角是36363535，这个角，这个角是是 【解析解析】根据互为补角的定义，这个角根据互为补角的定义，这个角=180=180363635=14335=14325.25.答案：答案：1431432525通过本课时的学习，需要我们掌握对顶角的相关知识如下：通过本课时的学习，需要我
7、们掌握对顶角的相关知识如下：1.1.特征：特征：两条直线相交形成的角；两条直线相交形成的角；有一个公共顶点；有一个公共顶点；没有公共边没有公共边.2.2.性质：性质：对顶角相等对顶角相等 忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获.3 3 平行线的性质平行线的性质1.1.掌握平行线的性质掌握平行线的性质2.2.能应用平行线的性质计算角度或辨别角之间的关系能应用平行线的性质计算角度或辨别角之间的关系3.3.能综合运用平行线的性质与判定进行简单的推理，提能综合运用平行线的性质与判定进行简单的推理，提高对几何语言的认识，发展逻辑推理能力高对几何语言的认识，发展逻辑推理能力问题
8、问题1 1：如图一束平行光线如图一束平行光线ABAB和和DEDE射向一个水平镜面射向一个水平镜面后被反射，此时后被反射，此时1,31,3的大小有什么关系？的大小有什么关系？1 12 23 34 4你知道理由吗？你知道理由吗？水平方向水平方向水平方向水平方向12问题问题2 2：当两人目光相对时：当两人目光相对时,视线与水视线与水平方向的夹角平方向的夹角1 1与与2 2相等吗？相等吗？探索：两直线平行，同位角有什么关系探索：两直线平行，同位角有什么关系？探索探索：两直线平行，内错角两直线平行，内错角、同旁内角又有什么关系同旁内角又有什么关系？探究活动1探究活动2活动要求：活动要求：利用坐标纸上的直
9、线或者用直尺利用坐标纸上的直线或者用直尺和三角尺画两条平行线和三角尺画两条平行线a,ba,b，然，然后，画一条截线后，画一条截线c c与这两条平行线与这两条平行线相交，标出如图的角相交，标出如图的角;(1)(1)探索探索：两直线平行，同位角有什么关系两直线平行，同位角有什么关系？探究活动1度量这些角，把结果填入下表度量这些角，把结果填入下表;你发现各对你发现各对同位角同位角的度数之间有什么关系？写出你的的度数之间有什么关系？写出你的猜想猜想再任意画一条截线再任意画一条截线d d，同样度量并计算各个角的同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立度数，你的猜想还成立吗？（要求学生多画几条吗？（要求
10、学生多画几条截线来验证）截线来验证）()验证验证“两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等”度量法度量法a ab bc cd d叠合法叠合法 c ca ab b()问题：如果直线问题：如果直线a a与与b b不平行，你的猜想还成立吗？不平行，你的猜想还成立吗？结论：结论：如果直线如果直线a a与与b b不平行，不平行，同位角则不相等同位角则不相等.一般地，平行线具有的性质：一般地，平行线具有的性质：性质性质1 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等两条平行线被第三条直线所截，同位角相等以上性质可简单说成：以上性质可简单说成：两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等abab，1 12
11、.2.()归纳概括：你能否将你得到的结论用数学语言表述？归纳概括：你能否将你得到的结论用数学语言表述？问题：你用什么方法验证你的猜想？问题：你用什么方法验证你的猜想？(学生当学生当“小老师小老师”角色）角色）()探索：探索：两直线平行，内错角、同旁内角又有什么关系？两直线平行，内错角、同旁内角又有什么关系？探究活动2一般地，平行线具有的性质：一般地，平行线具有的性质：性质性质1 1 两条平行线被第三条直线所截，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等同位角相等性质性质2 2 两条平行线被第三条直线所截，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等内错角相等性质性质3 3 两条平行线被第三条直线所截，两
12、条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补同旁内角互补(2)(2)归纳概括归纳概括以上性质可简单说成：以上性质可简单说成：两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等abab，2 23.3.两直线平行，同旁两直线平行，同旁内角互补内角互补abab，2+4 2+4 180180.两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等abab，1 12.2.思考思考1 1：你能根据性质你能根据性质1“1“两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等”推出推出“两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等”吗？吗？能能说明：说明：如图，如图，abab（已知），（已知），1 1 2 2（两直线平行，同位角相等）（两
13、直线平行，同位角相等）.又又 3 31 1（对顶角相等），（对顶角相等），2 2 3.3.(3)(3)推理论证推理论证思考思考2:2:你能根据性质你能根据性质1“1“两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等”推出推出“两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补”吗？吗？能能说明：说明：如图，如图，abab（已知），（已知），1 12 2(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 ).).又又 1 14 4180180，2 24 4180180.【例例1 1】如图，已知直线如图，已知直线abab，1=501=50，求，求2 2的度数的度数.【解析解析】abab，1=21=2（两直线
14、平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）.1=50 1=50，2=502=50.【例题例题】【例例2 2】如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，已知中，已知ABCDABCD，B=60B=60，求，求C C的度数的度数.能否求得能否求得A A的度数？的度数？【解析解析】ABCDABCD，B+C=180B+C=180（两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补）.B=60 B=60，C=120C=120.根据题目的已知条件，无法求出根据题目的已知条件，无法求出A A的度数的度数.1.1.完成并比较如图，完成并比较如图，(1)ab(1)ab(已知已知)，1_2().1_2()
15、.(2)ab(2)ab(已知已知)，2_3().2_3().(3)ab(3)ab(已知已知)，2 24 4_()._().=两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 =两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 180 180 两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补【跟踪训练跟踪训练】.如图，直线如图，直线abab，1 15454，那么，那么2,3,2,3,4 4 各是多少度？各是多少度？答案：答案：2 2 54543 3 1261264 4 5454a ab b1 12 23 34 41 1（成都（成都中考）如图，已知中考）如图，已知ABABED,ECF=65ED,ECF=6
16、5,则则BACBAC的度数为（的度数为（）A.115A.115 B.65B.65C.60C.60 D.25D.25B B2 2（中山（中山中考）如图，已知中考）如图，已知1=701=70 ，如果，如果CDBECDBE，那么，那么B B的度数为（的度数为（）A.70A.70 B B 100100 C C110110 D D120120 C C.（郴州（郴州中考）下列图形中，由中考）下列图形中，由ABABCD CD，能得到，能得到1=21=2的是（）的是（）.如图，已知如图，已知AGAGCFCF，ABABCDCD，A A4040，求，求C C的度数的度数.FABCDEG解析解析:AG AGCF(C
17、F(已知已知)，A AAEC (AEC (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等).).AB ABCD(CD(已知已知)，C CAEC (AEC (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等).).C CA A4040.A A4040，C CA(A(等量代换）等量代换）.还有其他方法吗？还有其他方法吗？两直线平行两直线平行判定判定性质性质 已知已知 得到得到 得到得到 已知已知平行线的性质与平行线的判定的联系与区别：平行线的性质与平行线的判定的联系与区别：同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补 任何人都可以成为自己想成为的那种人,任何人都可以实现自己的愿望,只要你愿意!
