1、 培优点八培优点八 平面向量平面向量 1代数法 例 1：已知向量a，b满足 =3a ，=2 3b，且 aab，则b在a方向上的投影为（ ） A3 B3 C 3 3 2 D 3 3 2 【答案】C 【解析】考虑b在a上的投影为 a b b ，所以只需求出a，b即可 由 aab可得： 2 0aabaa b， 所以9 a b进而 93 3 22 3 a b b 故选 C 2几何法 例 2：设a，b是两个非零向量，且 2abab ，则 =ab _ 【答案】2 3 【解析】可知a，b，ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由 2abab 可知满足条件的只能是底角为60o，边长2a 的菱形， 从而可求
2、出另一条对角线的长度为32 3a 3建立直角坐标系 例 3：在边长为 1 的正三角形ABC中，设2BCBD uuu vuuu v ，3CACE uuvuu u v ，则AD BE uuu v uu u v _ B C A D E 【答案】 1 4 AD BE uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个 角度解题， 观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, 2 A ， 1 ,0 2 B ， 1 ,0 2 C ， 下面求E坐标：令 ,E x y， 1 , 2 CExy uu u v ， 13
3、, 22 CA uuv ， 由3CACE uuvuu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 6 2 xx y y ， 13 , 36 E ， 3 0, 2 AD uuu v ， 53 , 66 BE uu u v ， 1 4 AD BE uuu v uu u v 一、单选题 1已知向量a，b满足 1a ， 2b ，且向量a，b的夹角为 4 ，若ab与b垂直，则实 数的值为（ ） A 1 2 B 1 2 C 2 4 D 2 4 【答案】D 【解析】因为1 2cos2 4 a b，所以 2 240 4 abb，故选 D 2已知向量a，b满足 1a ， 2b ，7ab，则a b（ ） A1
4、 B2 C3 D2 【答案】A 对点增分集训对点增分集训 【解析】由题意可得： 222 21427 ababa ba b，则1a b故选 A 3 如图， 平行四边形ABCD中，2AB ，1AD ，60A o， 点M 在AB边上， 且 1 3 AMAB， 则DM DB uuuu v uuu v （ ） A1 B1 C 3 3 D 3 3 【答案】B 【解析】因为 1 3 AMAB，所以DB ABAD uuu vuu u vuuu v ， 1 3 DMAMADABAD uuuu vuuuvuuu vuuu vuuu v ， 则 22114 333 DB BMABADABADABAB ADAD uu
5、u v uuuvuuu vuuu vuuu vuuu vuuu vuuu v uuu vuuu v 141 42 111 332 故选 B 4如图，在ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB uu u v a，AC uuu v b，则 AO uuu v （ ） A 11 22 ab B 11 24 ab C 11 42 ab D 11 44 ab 【答案】B 【解析】由题意，在ABC中，BE是边AC的中线，所以 1 2 AEAC uuu vuuu v ， 又因为O是BE边的中点，所以 1 2 AOABAE uuu vuuu vuuu v ， 所以 11111 22224 AOAB
6、AEABAE uuu vuuu vuuu vuuu vuuu v ab，故选 B 5在梯形ABCD中，ABCD，1CD ，2ABBC，120BCD o，动点 P和Q分别 在线段BC和CD上，且BPBC uuvuuu v ， 1 8 DQDC uuu vuuu v ，则AP BQ uuu v uuu v 的最大值为（ ） A2 B 3 2 C 3 4 D 9 8 【答案】D 【解析】因为ABCD，1CD ，2ABBC，120BCD o， 所以ABCD是直角梯形，且3CM ，30BCM， 以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系： 因为BPBC uuvuuu v ，
7、 1 8 DQDC uuu vuuu v ，动点P和Q分别在线段BC和CD上， 则 01，20B， 2, 3P， 1 3 8 Q ， ， 所以 111 232354 848 AP BQ uuu v uuu v ， ， 令 11 54 48 f 且01， 由基本不等式可知，当1时可取得最大值， 则 max 119 154 488 ff故选 D 6已知ABC中， 2AB ， 4AC ，60BAC，P为线段AC上任意一点， 则PB PC uuv uuu v 的范围是（ ） A 14， B 0 4， C 9 4 4 ， D 2 4 ， 【答案】C 【解析】根据题意，ABC中， 2AB ， 4AC ，6
8、0BAC， 则根据余弦定理可得 2 416224cos6012BC ，即2 3BC ABC为直角 三角形 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则 0 2A， 2 3 0C， 则线段AC的方程为 1 22 3 xy ，02 3x 设 ,P x y，则 222 410 3 2 32 34 33 PB PCxyxyxyxxx uuv uuu v ， 02 3x， 9 4 4 PB PC uuv uuu v 故选 C 7已知非零向量a，b，满足 2 2 ab且 320abab ，则a与b的夹角为（ ） A 4 B 2 C 3 4 D 【答案】A 【解析】非零向量a，b，满足 2 2 ab且
9、320abab ，则 320abab ， 22 320aa bb， 22 3cos20aabb， 2212 3cos20 22 bbbb， 2 cos 2 ， 4 ，a与b的夹角为 4 ，故选 A 8在RtABC中斜边BCa，以A为中点的线段 2PQa ，则BP CQ u u v u u u v 的最大值为（ ） A2 B0 C2 D2 2 【答案】B 【解析】在RtABC中斜边BCa，BACA， A为线段PQ中点，且 2PQa ， 原式 22222 cosaBA AQAQ CAaAQ BACAaAQ CBaa uuv uuu vuuu v uuvuuu v uuvuuvuuu v uuv ，
10、 当cos1时，有最大值，0BP CQ uuv uuu v 故选 B 9设向量a，b，c，满足 1ab ， 1 2 a b，6,0 o abcc，则c的最大值等于 （ ） A1 B2 C3 D2 【答案】D 【解析】设OA uuv a，OB uuu v b，OC uuu v c，因为 1 2 a b，6,0 o abcc， 所以120AOB，60ACB，所以O，A，B，C四点共圆， 因为AB uu u v ba， 2 2 22 23AB uu u v babaa b，所以3AB ， 由正弦定理知22 sin120 AB R ，即过O，A，B，C四点的圆的直径为 2， 所以c的最大值等于直径 2
11、，故选 D 10已知a与b为单位向量，且ab，向量c满足 2cab ，则c的取值范围为（ ） A1,1 2 B2 2,22 C 2,2 2 D3 2 2,32 2 【答案】B 【解析】由a，b是单位向量，0a b，可设 1,0a ， 0,1b ， , x yc ， 由向量c满足 2cab ， 1,12xy ， 22 112xy，即 22 141xy，其圆心1,1C，半径2r ， 2OC ， 22 2222xyc故选 B 11平行四边形ABCD中，AC uuu v ，BD uuu v在 AB uuu v 上投影的数量分别为3，1，则BD uuu v在 BC uuu v 上的 投影的取值范围是（
12、） A 1, B 1,3 C 0, D 0,3 【答案】A 【解析】建立如图所示的直角坐标系：设 ,0B a ， 则 3,Cb，1,D ab ，则 31aa ，解得2a 所以 1,Db，3,CbBD uuu v在 BC uuu v 上的摄影 2 cos1cosBMBDb uuu v ， 当0b 时，cos1 ，得到：1BM ，当b 时，0，BM ，故选 A 12如图，在等腰直角三角形ABC中，2ABAC，D，E是线段BC上的点，且 1 3 DEBC，则AD AE uuu v uuu v 的取值范围是（ ） A 8 4 , 9 3 B 4 8 , 3 3 C 8 8 , 9 3 D 4 , 3
13、【答案】A 【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， 则 0,1A ， 1,0B ， 1,0C ，设 ,0D x ，则 2 ,0 3 E x ， 1 1 3 x 据此有, 1ADx uuu v ， 2 , 1 3 AEx uuu v ， 则 2 2 218 1 339 AD AExxx uuu v uuu v 据此可知，当 1 3 x 时，AD AE uuu v uuu v 取得最小值 8 9 ； 当1x 或 1 3 x 时，AD AE uuu v uuu v 取得最大值 4 3 ； AD AE uuu v uuu v 的取值范围是 8 4 , 9 3
14、故选 A 二、填空题 13已知向量 1,2a ， 2, 2b ， 1,c ，若 2 cab，则_ 【答案】 1 2 【解析】因为 1,2a ， 2, 2b ，所以 24,2ab ， 又 1,c ，且 2 cab，则42 ，即 1 2 14若向量a，b满足 1a ，2b，且 aab，则a与b的夹角为_ 【答案】 3 4 【解析】由 aab得，0aab ，即 2 0aa b， 据此可得 2 cos, a baba ba， 12 cos, 212 a b， 又a与b的夹角的取值范围为 0,，故a与b的夹角为 3 4 15已知正方形ABCD的边长为 2，E是CD上的一个动点，则求AE BD uuu v
15、 uuu v 的最大值为 _ 【答案】4 【解析】设DEDCAB uuu vuuu vuuu v ，则AEADDEADAB uuu vuuu vuuu vuuu vuu u v ， 又BD ADAB uuu vuuu vuu u v， 22 144AE BDADABADABADABAB AD uuu v uuu vuuu vuu u vuuu vuu u vuuu vuu u vuu u v uuu v ， 01，当0时，AE BD uuu v uuu v取得最大值 4，故答案为 4 16在ABC中，90C，30B， 2AC ，P为线段AB上一点，则PB PC uuvuuu v 的 取值范围为
16、_ 【答案】 3,2 7 【解析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系， 可得 0,0C ， 0,2A ，2 3,0B，则直线AB的方程为 1 22 3 xy ， 设 ,P x y，则2 3 x y ，02 3x，2 3,PBxy uuv ，,PCxy uuu v ， 则| 22 2 2 322PBPCxy uuvuuu v 2 222 448 31244 28 312 3 x xyxxx 2 2 163165 3 40283 3334 xxx ， 由 5 3 0,2 3 4 x ，可得PB PC uuvuuu v 的最小值为 ，时， 则PB PC uuvuuu v 的最大值为 即PB PC uuvuuu v 的取值范围为 3,2 7 故答案为 3,2 7
