1、 1 北师大版八年级上册北师大版八年级上册数学数学第七章第七章平行线的证明平行线的证明 7.5 三角形内角和定理三角形内角和定理（第一课时）（第一课时） 青海省青海省海东市海东市平安平安区区第二中学第二中学 郭延菊郭延菊 一、一、教材分析教材分析 （一） 、教材的地位与作用：（一） 、教材的地位与作用： 本节是北师大版教材八年级上册第七章平行线的证明第五节的内容。通过上 一节课的学习，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证 明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能 力。 本节课旨在利用平行线的相关知识来证明三角形的内角和定理以及灵活运
2、用这个定 理解决相关问题，使学生突破原有的形象思维限制，引入几何证明中的重要方法添 加辅助线法，从而为下一节三角形外角的学习作好铺垫，同时也为以后继续学习几何证 明打下良好的基础。因此，本节课的内容在教材编排上起着承上启下的重要作用。 （二） 、教学目标：（二） 、教学目标： 知识与技能：掌握三角形内角和定理的证明，灵活运用三角形内角和定理解决相关 问题。 过程与方法：经历探索与证明的过程，培养学生探索、归纳的能力，一题多解的能 力、转化知识并解决问题的能力，发展学生的推理能力。 情感、态度、价值观：初步体会思维的多向性，引导学生个性发展，使学生体验到 解决问题的成就感，体会“合作双赢”的理念
3、。 （三） 、教学重点、难点（三） 、教学重点、难点 重点：探索三角形内角和定理的证明过程及其简单的应用。 难点：在三角形内角和定理的证明过程中正确添加辅助线。 二、学情分析二、学情分析 学生技能基础：学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与性质定 理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，他们已经具有初步的几何意 识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。而本节课是建立在学生掌握了平行线的判 定定理与性质定理以及它们的严格证明的基础上展开的，因此，学生具有良好的基础。 活动经验基础：活动经验基础： 本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流
4、的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验。 2 三、教法和学法三、教法和学法 教法：教法：教师采用点拨的方法，启发学生主动思考，尝试运用多种方法来证明三角形 的内角和定理，使整个课堂生动有趣，极大限度地培养学生观察问题、发现问题、归纳 解决问题的能力，体现新课程标准中的知识与技能、过程与方法及情感、态度与价值观 的统一。 学法：学法：教学中逐步设置疑问，让学生动手、动脑、动口、合作探究，积极参与知识 获取的全过程，渗透多观察、多动脑的研讨式学习方法，培养学生学习数学的兴趣和合 作探究精神，运用已有知识和经验，通过交流、类比、转化、证明等方法寻找解决问题 的途径和策略。 四四、教学过程、教学过程：本
5、节课的设计分为五个环节：情境引入、探索求知合作学习、证明 定理例题解析、活用知识反馈练习、拓展延伸课堂小结、布置作业。 第第一一环节：情境引入环节：情境引入、探索求知、探索求知 开场白：开场白：同学们，今天我们来学习三角形的内角和定理 。或许有同学会说： “老 师，老掉牙了，地球人都知道！ ”没错，今天的内容确实很简单。但如果大家能在特别 简单的知识中挖掘出更有价值的知识，那么你们将是最棒的！下面我们一起来进入今天 的学习中来。 活动内容：活动内容： 1、旧知回顾、引入新课： 问题 1：你知道三角形的三个内角之间存在怎样的关系吗？（由于学生在以前学过 这个知识点，所以很轻松地就可以答出。 ）
6、问题 2：你还记得这个结论的探索过程吗? 设计意图：设计意图：爱因斯坦说过： “问题的提出往往比解答问题更重要” ，上课开始，我通 过提出问题，激发学生的学习热情。 教学效果：教学效果：学生能够很快进入学习状态，从心理上感知这节课的内容很简单，排除 学生对几何证明的胆怯情绪。 2、动手操作、初步感知： （让学生分小组讨论：有什么办法可以验证得出这样的结 论。学生会提出度量、撕拼或折叠的方法，然后让每个学生用准备好的三角形卡片将它 的内角撕下，试着拼折看。通过小组合作交流最后师生共同归纳总结拼图方法。 ） 实验 1：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 （指名同学上台展演， 其他同学互
7、相展示；对于不同拼法要给于鼓励和肯定。等撕拼展示的同学完成后，还可 3 让其他同学对照模型图抽象出几何图形，培养学生的理性思维意识和细心观察、善于发 现问题之关键的能力。 ） 撕拼验证三角形的内角和为 180 的基本方法如下所示： 图1 图2 图3 A BC C B A A B B C C B A B 由以上拼法可以让学生抽象出三种几何图形，使学生由形象思维过渡到理性思维 （实际上是三种证法） ，为第二环节定理的证明做好充分准备： 实验 2：将三角形的三个角折拼成一个平角。 （小组交流后再展示，指定一位同学带 领大家一块儿完成折叠过程。老师故意折错，使三个顶点不重合在一起，旨在让学生理 解折叠
8、的实质在于折痕与底边是平行的，进而为添加辅助线作平行线埋下伏笔。 ） 具体方法：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行 （图 638（1） ）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2） 、 （3） ） ，最后得图（4）所示的结果。 （试用自己的语言说明这一结论的证明思路） （1） （2） （3） （4） A B C D E 2 1 A B CD E 4 设计意图设计意图：对比度量、撕纸、拼折等探索过程，让学生体会思维实验和符号化的理 性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难。但撕拼图和折拼 示意图中的平行线为学生搭建了一个台阶，使
9、学生想到把平行线的判定定理逆变成性质 定理作平行线构造同位角、内错角、同旁内角或平角来证明。 教学效果：教学效果：说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用度量、撕纸、 折叠的方法可以验证三角形内角和定理的原因构造一个平角，为后面添加辅助线证 明定理做好铺垫。 第第二二环节：合作学习，环节：合作学习，证明定理证明定理 活动内容活动内容：教是为学服务的，教的最终目的是为了不教，教给学生学习方法比单纯 教给学生证明更有效。教师设问：从刚才的活动过程中，你能说出证明： “三角形内角 和等于 180 ”这个结论的正确方法吗？（1） 、把你的想法与同伴交流。 （2） 、各小组派 代表展示说理方
10、法。 （3） 、请同学们让小明的想法变成现实。 探究探究：刚才的撕纸、折纸都是把三角形的三个内角移到一起，如果不实际移动A 和B，你有什么方法可达到同样的效果？根据前面的公理和定理，你能用自己的语言 比较简捷的写出这一证明过程吗？与同伴交流，比比哪一个小组的方法好？ 已知：ABC 求证：A+B+C=180 （在证明中，当原来的条件不够时，可添加辅助线，从而构造新图形，形成新关系， 找到已知与未知桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况，这是解决问题常用的方法之 一，辅助线通常画成虚线。 ） 方法方法总结：总结： 方法 1： （作平行线，构造内错角、平角） 过 A 点作 DEBC DEBC DAB=
11、B，EAC=C （两直线平行，内错角相等） DAB+BAC+EAC=180 BAC+B+C=180(等量代换) 方法 2： （作平行线，构造内错角、同位角、平角） A B C D E 5 作 BC 的延长线 CD，过点 C 作射线 CEBA CEBA B=ECD（两直线平行，同位角相等） A=ACE（两直线平行，内错角相等） BCA+ACE+ECD=180 A+B+ACB=180(等量代换) 3、课本“想一想”中小明的想法已经变为现实，由此你受到什么启发?你有新的证法吗? 添加辅助线思路：构造平角或平行线 （学生讲解或老师讲解，了解即可） 方法 3： （作平行线，构造内错角、同旁内角） 过点
12、A 作 ADBC（如图） ADBC， 1=C，DAB+ABC=180 BAC+B+C=DAB+ABC=180 方法 4： （作平行线，构造同位角、内错角、平角） 如图，在 BC 边上任取一点 D，过 D 作 DEAB 交 AC 于 E，作 DFAC 交 AB 于 F DEAB 1=B，2=4 DFAC 3=C，A=4 2=A 又1+2+3=180 A+B+C=180 方法 5： （作平行线，构造内错角、同旁内角） 如图，过点 A 任作一条射线 AD， 再作 BEAD，CFAD BEADCF， 1=3，2=4，EBC+BCF=180 BAC+ABC+ACB=EBC+BCF=180 设计意图设计意
13、图：通过小组讨论，让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法， 2 1 A B CD E 6 从中获益； 有意识地培养学生的说理能力、 逻辑推理能力、 语言表达能力以及一题多思、 一题多解的创新精神，让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中渗透初中阶段 一个重要数学思想转化思想，为学好初中数学打下坚实的基础。 教学效果：教学效果：添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公 理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达 到证明的目的。 第第三三环节：例题解析、活用知识环节：例题解析、活用知识 活动内容：活动内容： 例题 1：如图，在在
14、ABC 中，B=38,C=62，AD 是ABC 的角平分线，求 ADB 的度数？ A B D 分析：要求ADB 的度数，根据三角形内角和定理可知道B 和BAD 的度数， BAD 的度数可以由BAC 的度数得到，而BAC 又可以由ABC 的内角和来得到。 设计意图设计意图：通过例题的解析，让学生体会分析问题的基本方法，渗透初中阶段另一 数学思想数形结合思想，灵活运用三角形内角和定理来解决问题，达到活用知识 的目的。 教学教学效果效果：学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解 决与三角形内角和定理相关的问题，但书写过程可能会不尽人意。 第第四四环节：反馈练习环节：反馈练习、拓
15、展延伸、拓展延伸 活动内容：活动内容： （1） 、ABC 中，C=90，A=30，B=？ （2） 、A=50，B=C，则ABC 中B=？ （3） 、三角形的三个内角中，只能有_个直角或_个钝角。 （4） 、任何一个三角形中，至少有_个锐角；至多有_个锐角。 （5） 、三角形中三角之比为 123，则三个角各为多少度？ （6） 、已知：ABC 中，C=B=2A。 C 7 (a)、求B 的度数； (b)、若 BD 是 AC 边上的高，求DBC 的度数？ 设计意图设计意图：通过习题，巩固三角形内角和知识，培养学生思维的广阔性；通过讨论 一个三角形中最多有几个直角、钝角，至少有几个锐角，以及知道角度之比
16、求角的度和 需要学生数形结合解决第（6）小题等，为学生提供充分从事数学活动的时间、空间， 让学生在自主探索、合作交流的氛围中，有机会分享学友的想法，培养学生之间良好的 人际关系，拓展了三角形内角和是180的知识外延。教师能全面了解学生对三角形内 角和定理内容是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺 补漏。 教学效果：教学效果：学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解 决与三角形内角和定理相关的问题，可能会在书写过程方面需要老师指导或提醒。 第第五五环节：环节：课堂课堂小结小结、布置、布置作业作业 （一） 、（一） 、课堂小结：课堂小结：采用先让学生
17、归纳补充，然后教师再补充的方式进行：这节 课我们学了哪些知识？你有什么收获？ 1、证明三角形内角和定理有哪几种方法？（度量、撕拼、折叠、证明） 2、辅助线的作法技巧：添加辅助线的实质是通过平行线来移动角构造平行线 间的内错角、同位角、同旁内角，构造平角。 3、三角形内角和定理的简单应用。 设计意图设计意图：充分发挥学生的主体意识，培养学生的语言概括能力。 教学效果：教学效果：学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深刻，并 能熟练运用三角形内角和定理进行相关证明。 （二） 、（二） 、布置布置作业作业 1、课后练习：课本第 179 页随堂练习第 1、2、3 题； 2、课堂作业：第
18、 180 页习题 7.6 第 1、2 题或 3、4 题。 设计意图设计意图：作业的布置是对本节课的学习作出及时的反馈，有助于学生了解自己的 学习情况，便于教师了解学生掌握的总体情况，可以及时适当的对教学作出调整。 教学效果教学效果：分层作业，让不同层次的学生都能体验成功的快乐！ 五、五、板书设计：板书设计： 8 7.5 三角形内角和定理三角形内角和定理 （一） 、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 （二） 、学生展示的拼图方法： （三） 、三角形内角和定理的证明方法 ：度量（有误差） ；撕拼、折叠（不严谨） ； 证明（推理论证、有理有据）添加辅助线构造平行线间的内错角、同位角、同
19、 旁内角或构造平角。 （四） 、例题或练习过程的书写或展示 六、六、教学反思教学反思 三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基 本的平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础。而三角形内角和定理又是 三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看 似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理。因此本节课的设计力图实现以下特 点： 1、通过撕拼与折纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐 步转到符号化处理，最后达到推理论证的目的。 2、充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题。 3、本节的难点是添加辅
20、助线，应该大胆放给学生去交流讨论，并展示出自己的思 维过程。 本节课我注重了三角形内角和定理的证明的推导过程，在这个过程中留给学生充足 的时间进行不同证明方法的尝试，旨在发散学生的思维，巩固、规范学生的证明过程， 为今后的进一步学习打下坚实的基础。本节课采取了尽量让学生自己探究、自己发现、 自己交流、自己总结的方法，让学生在探究过程中感受收获的喜悦，体验解决问题的成 就感和“合作双赢”的理念，从而实现本节课的情感目标。在三角形内角和定理的探究 这一环节，学生很感兴趣，探究比较积极，通过小组探究、交流，最终都能得出正确的 结论，基本达到预期效果。但学生的思维受定式影响，探究的途径受到约束，说理的过 程还不是很规范，部分学生证明过程的书写不是很到位。 北师大版的教材内容看似简单，实际包含很多知识点，如果仅仅按教材上课，是远 远不够的。因为学生现有的能力有限，如果没有老师的指导，很难进行应用。所以把握 好知识点并潜心钻研教材是很有必要的。除此之外，除了精心备课，还要关注学生课堂 上的参与程度也是很重要的，根据学生的状态适时调节讲授方式会使课堂效率更高。 9 总之，在教学过程中，我始终注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究，合 作学习来主动发现、探索，实现师生互动。我认识到教师不仅要教给学生知识，更要培 养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，学会生活。
