1、数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3.1.3 导数的几何意义 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间 的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义 2了解导函数的概念，会求导函数 3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方 程
2、 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点 B(x0x，f(x0x)的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割 线AB的斜率kAB与曲线在点A处的切线的斜率k之间有什么关 系？与f(x0)有什么关系？ 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 提示 割线AB的斜率kAB无限接近于曲线在点A处的切线 的斜率k，kf(x0) 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数
3、及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x) 在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0) 切线方程为_ 导数的几何意义 yf(x0)f(x0)(xx0) 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 函数yf(x)的导函数 从求函数 f(x)在 xx0处导数的过程可以看到，当 xx0时， f(x0)是一个_的数这样，当 x 变化时，f(x)便是 x
4、 的 一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称_)yf(x)的导 函数有时也记作 y， 即 f(x)y_. 确定 导数 lim x0 fxxfx x 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 “函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间 的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量 与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)“导函
5、数”：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可 导，就说 f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一 个确定的值 x0，都对应着一个导数 f(x0)，这样就在开区间(a， b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a， b)内的导函数， 记作f(x)或y， 即f(x)yli m x0 y xli m x0 fxxfx x . 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)导函数也简称导数所以 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自
6、主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (4)函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在 点 xx0处的函数值，f(x0)f(x)|xx0. 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数， 再计算这点的导函数值 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是( ) A在点x0处的斜率 B在点(x0，f(x0)处切线与x轴所夹锐角的正切值 C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率 D点(x0，f(x0)与
7、点(0,0)连线的斜率 解析： 由导数的几何意义知，选项C正确 答案： C 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2已知曲线y2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( ) A4 B16 C8 D2 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 曲线在点 A 处的切线的斜率就是函数 y2x2在 x 2 处的导数 f(2)lim x0 y xlim x0 22x2222 x lim x0 8x2x2 x 8，故选
8、C. 答案： C 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3已知曲线y3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为 _ 解析： y x 3xx23x2 x 6x3x， y|x1lim x0 (63x)6. 通过验证得点 A(1,3)在曲线 y3x2上 曲线在点 A(1,3)处的切线斜率为 6. 所求的切线方程为 y36(x1)， 即 6xy30. 答案： 6xy30 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4求曲线 f(x
9、)2 x在点(2，1)处的切线方程 解析： 点(2，1)在曲线 y2 x上， 曲线y2 x在点(2， 1)处的切线斜率就等于y 2 x在点( 2，1)处的导数 kf(2) lim x0 f2xf2 x 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 lim x0 2 2x 2 2 x lim x0 1 2x 1 2， 曲线 y2 x在点(2，1)处的切线方程为 y1 1 2(x 2)，整理得 x2y40. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测
10、评 知能提升 合作探究 课堂互动 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 在点P处的切线 已知曲线 y1 3x 3 上一点 P 2，8 3 ，如图所示 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程 思路点拨 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)因为 y1 3x 3， 所
11、以 ylim x0 y xlim x0 1 3xx 31 3x 3 x 1 3 lim x0 3x2x3xx2x3 x 1 3 lim x0 3x 23xx(x)2x2， 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 所以 y|x2224， 所以曲线 y1 3x 3 在点 P 处的切线的斜率为 4. (2)曲线y1 3x 3 在点P处的切线方程是y8 34(x2)， 即12x 3y160. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
12、利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线 方程的步骤： (1)求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 yy0f(x0)(xx0) 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1函数 yf(x)1 x在 x1 处的切线方程为_ 解析： y|x1f(1)lim x0 y x lim x0 f1xf1 x lim x0 1 1x1 x lim x0 1 1x1， 则切线方程为 y1(x1)， 即 xy20. 答案： xy20 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及
13、其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 过点P的切线 求经过点(2,0)且与曲线 y1 x相切的直线方程 思路点拨 设切点x0，y0求曲线在x0，y0处切线方程 切线过 ， 得x0得切线方程 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为 P(x0， y0) 由 y|xx0lim x0 1 x0x 1 x0 x lim x0 x x x0x x0 lim x0 1 x0x0x 1 x2 0， 4 分 故所求直线方程为 yy0 1 x2
14、0(xx0)， 6 分 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 由点(2,0)在所求的直线上，得 x2 0y02x0， 再由 P(x0，y0)在曲线 y1 x上，得 x0y01， 8 分 联立可解得 x01，y01， 10 分 所以直线方程为 xy20. 12 分 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否 在曲线上若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不 在曲线上，可设出切点，写出切
15、线方程，结合已知条件求出切 点坐标或切线斜率，从而得到切线方程 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2直线l过点(2,2)且与曲线yx33x相切，求直线l的方 程 解析： 直线 l 过点(2,2)与曲线 yx33x 相切，设切点坐 标为(a，b)， 则 f(a)lim x0 y xlim x0 ax33axa33a x lim x0 x33a x23a23x x 3a23. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 l 的
16、方程为 yb(3a23)(xa) 又直线 l 过点(2,2)， 2b(3a23)(2a) 又 ba33a 解，得 a2， b2 或 a1， b2. l 的方程为 9xy160 或 y2. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求切点坐标 已知抛物线y2x21分别满足下列条件，请求出切 点的坐标 (1)切线的倾斜角为45； (2)切线平行于直线4xy20； (3)切线垂直于直线x8y30. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能
17、提升 思路点拨 设出切点坐标x0，y0求出在该点处的导数 利用所给条件建立方程求出切点的坐标 解析： 设切点坐标为(x0，y0)，则 y2(x0x)212x2 014x0x2(x) 2， y x4x02x， 当 x0 时，y x4x0，即 f(x0)4x0. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)抛物线的切线的倾斜角为 45 ， 斜率为 tan 45 1. 即 f(x0)4x01，得 x01 4， 切点的坐标为 1 4， 9 8 . 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自
18、主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)抛物线的切线平行于直线 4xy20， k4，即 f(x0)4x04，得 x01， 切点坐标为(1,3) (3)抛物线的切线与直线 x8y30 垂直， k 1 8 1 即 k8， 故 f(x0)4x08，得 x02， 切点坐标为(2,9) 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解此类问题的步骤： (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f(x)； (3)求切线的斜率f(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (
19、5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐 标 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3曲线yx33x21在点P处的切线平行于直线y9x 1，则切线方程为( ) Ay9x By9x26 Cy9x26 Dy9x6或y9x26 解析： y x fx0xfx0 x x 0x 33x 0x 21x3 03x 2 01 x (x)23x0x3x3x2 06x0. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
20、所以 f(x0)lim x0 (x) 23x 0x3x3x 2 06x03x 2 0 6x0，于是 3x2 06x09，解得 x03 或 x01，因此，点 P 的坐 标为(3,1)或(1，3) 又切线斜率为 9，所以曲线在点 P 处的切线方程为 y9(x 3)1 或 y9(x1)3，即 y9x26 或 y9x6. 答案： D 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 试求过点P(3,5)且与yx2相切的直线方程 【错解】 y x xx2x2 x 2xxx 2 x 2xx， 当 x 趋近于零时的极限为 2x，即
21、f(x)2x. 所以切线的斜率为 k6，切线方程为 y56(x3)， 即 6xy130. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区 别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未 必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同 【正解】 f(x)2x(解法同上)， 设所求切线的切点为 A(x0，y0)， 因为点 A 在曲线 yx2上，所以 y0x2 0， 又因为 A 是切点， 所以过点 A 的切线的斜率为 f(x0)2x0， 因为所求的切线过 P(3,
22、5)和 A(x0，x2 0)两点， 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 所以其斜率为x 2 05 x03， 所以 2x0x 2 05 x03，解得 x01 或 x05， 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25)， 当切点为(1,1)时，切线的斜率为 k12x02， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为 k22x010， 因此所求的切线有两条， 方程分别为 y12(x1)和 y2510(x5)， 即 2xy10 和 10xy250. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 谢谢观看！谢谢观看！
