1、2.绝对值不等式的解法 【自主预习自主预习】 1.1.含绝对值不等式含绝对值不等式|x|a的解法的解法 (1)|x|a _(a0). _(a0),_(a0), _(a0)._(a0). - -aa或或x0)和和|ax+b|c(c0)|ax+b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法 (1)|ax+b|c(1)|ax+b|c_._. (2)|ax+b|c(2)|ax+b|c_._. - -cax+bccax+bc ax+bcax+bc或或ax+bax+b- -c c 3.|x3.|x- -a|+|xa|+|x- -b|cb|c和和|x|x- -a|+|xa|+|x- -b|cb|c型不等式的三种
2、型不等式的三种 解法解法 (1)(1)利用绝对值不等式的几何意义利用绝对值不等式的几何意义. . (2)(2)利用利用x x- -a=0,xa=0,x- -b=0b=0的解的解, ,将数轴分成三个区间将数轴分成三个区间, ,然后然后 在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式 而解之而解之. . (3)(3)通过构造函数通过构造函数, ,利用函数图象利用函数图象. . 【即时小测即时小测】 1.1.若不等式若不等式|8x+9|x- -b|(ab)b|(ab)型的不等式如何来型的不等式如何来 解解? ? 提示提示: :可通过两边平方去绝对值符号的
3、方法求解可通过两边平方去绝对值符号的方法求解. . 【归纳总结归纳总结】 1.|x1.|x- -a|a|x|x- -b|b|的几何意义的几何意义 数轴上的点数轴上的点x x到点到点a,ba,b的距离之和的距离之和( (差差) ) 2.2.解含绝对值不等式的关键解含绝对值不等式的关键 解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号, ,转化为不转化为不 含绝对值的不等式含绝对值的不等式. . 3.|f(x)|0的解集相同的解集相同, ,则则a,ba,b的值为的值为 ( ( ) ) A.a=A.a=- -8,b=8,b=- -1010 B.a=B.a=- -4,b=4
4、,b=- -9 9 C.a=C.a=- -1,b=91,b=9 D.a=D.a=- -1,b=21,b=2 2.2.对于对于xR,xR,解不等式解不等式|2x|2x- -3|3|- -x3.x3. 【解题探究解题探究】1.|8x+9|0的解集相同的解集相同, , 所以所以- -2 2和和 是方程是方程axax2 2+bx+bx- -2=02=0的两根的两根, , 由根与系数的关系得由根与系数的关系得: : 1 , 4 1 4 1b 2, a4, 4a 12b9. 2 (), 4a 解得 2.2.方法一方法一: :原不等式等价于原不等式等价于|2x|2x- -3|x+3,3|x+3,即即2x2x
5、- -3x+33x+3 或或2x2x- -33- -x x- -3,3,解得解得x6x6或或x0.x0.所以不等式的解集为所以不等式的解集为 ( (- -,06,+).,06,+). 方法二方法二: :由题知由题知 解得解得x6x6或或x0,x0, 所以不等式的解集为所以不等式的解集为( (- -,06,+).,06,+). 2x302x3 0 x333 3x3, ， ， 或 【方法技巧方法技巧】含有一个绝对值号不等式的常见类型及含有一个绝对值号不等式的常见类型及 其解法其解法 (1)(1)形如形如|f(x)|a(aR)|f(x)|a(aR)型不等式型不等式. . 当当a0a0时时,|f(x)
6、|af(x)af(x)a或或f(x)af(x)0;f(x)0; 当当aaf(x)f(x)有意义即可有意义即可. . (2)(2)形如形如|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)型不等式型不等式. . |f(x)|g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)0)a0)型不等式型不等式. . af(x)f(x)3 B.x|B.x|- -13或或x0)|ax+b|c(c0)或或 |ax+b|0)|ax+b|0)型不等式后逐一求解型不等式后逐一求解, ,也可利用分区讨也可利用分区讨 论法分两种情况去掉绝对值符号论法分两种情况去掉绝对值符号, ,还可用平方法转化为还可用平方法转化为 不含绝对值的
7、不等式不含绝对值的不等式. . 【解析解析】方法一方法一: :原不等式等价于不等式组原不等式等价于不等式组 即即 解得解得- -1xa恒成立恒成立, ,求实数求实数a a的取值范的取值范 围围. . 【解题探究解题探究】典例典例(1)(1)如何去掉如何去掉|2x+1|+|2x|2x+1|+|2x- -3|63|6的绝的绝 对值符号对值符号? ? (2)(2)如何求如何求f(x)f(x)的最小值的最小值? ? 提示提示: :(1)(1)将将x x分成分成x ,x ,- - x x 和和x ,所以所以a a的取值范围是的取值范围是 1 2 1 (). 2 ， 2.2.本例条件不变本例条件不变, ,
8、若若f(x)|2xf(x)|2x- -4|4|的解集包含的解集包含1,2,1,2, 求求a a的取值范围的取值范围. . 【解析解析】f(x)|2xf(x)|2x- -4|,4|, 即即|2x|2x- -4|4|- -|2x+1|2x+a|,|2x+1|2x+a|, 而而|2x|2x- -4|4|- -|2x+1|2x|2x+1|2x- -4 4- -2x2x- -1|=51|=5 所以所以|2x+a|5,|2x+a|5,得得 由条件得由条件得: : 解得解得- -7a1.7a1. 所以所以a a的取值范围是的取值范围是 - -7,1.7,1. 5 a5 a x 22 5 a 1 2 5 a
9、2 2 ， 【方法技巧方法技巧】 1.1.形如形如|f(x)|0)型不等式的型不等式的 解法解法 (1)|x(1)|x- -a|+|xa|+|x- -b|c,|xb|c,|x- -a|+|xa|+|x- -b|c(c0)b|c(c0)型不等式型不等式 有三种解法有三种解法: :分区间分区间( (分类分类) )讨论法、图象法和几何法讨论法、图象法和几何法. . 分区间讨论的方法具有普遍性分区间讨论的方法具有普遍性, ,但较麻烦但较麻烦; ;几何法和图几何法和图 象法直观象法直观, ,但只适用于数据较简单的情况但只适用于数据较简单的情况. . (2)“(2)“零点分段法”的关键在于对绝对值代数意义
10、的理零点分段法”的关键在于对绝对值代数意义的理 解解, ,即即|x|= |x|= 也即也即xR.xxR.x为非负数时为非负数时,|x|,|x|为为 x;xx;x为负数时为负数时,|x|,|x|为为- -x,x,即即x x的相反数的相反数. . xx0 xx0 ， ， (3)|x(3)|x- -a|+|xa|+|x- -b|c,|xb|c,|x- -a|+|xa|+|x- -b|c(c0)b|c(c0)型不等式型不等式 的图象解法和画出函数的图象解法和画出函数f(x)=|xf(x)=|x- -a|+|xa|+|x- -b|b|- -c c的图象是的图象是 密切相关的密切相关的, ,正确地画出其图象的关键是写出正确地画出其图象的关键是写出f(x)f(x)的分的分 段表达式段表达式. .不妨设不妨设a 恒成立恒成立. . 由绝对值不等式的几何意义知由绝对值不等式的几何意义知 |x+3|x+3|- -|x+7|(x+3)|x+7|(x+3)- -(x+7)|=4,(x+7)|=4, 即即 所以所以mm- -2.2. 1 2 log m 1 ( ) 2 m2 11 ( )4( ) , 22
