1、第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式 【自主预习自主预习】 二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 (ac+bd)(ac+bd)2 2 | | 22 1212 (xx )(yy ) 【即时小测即时小测】 1.1.已知已知2x2x2 2+y+y2 2=1,=1,则则2x+y2x+y的最大值为的最大值为 ( ( ) ) A. A. B.2B.2 C. C. D.3D.3 【解析解析】选选C.3=(2xC.3=(2x2 2+y+y2 2)(2+1)(2x+y)(2+1)(2x+y)2 2, , 所以所以- - 2x+y .2x+y . 即即2x+y2x+y的最大值为的最大值为
2、. . 23 33 3 2.2.已知已知 =1,=1,则以下成立的是则以下成立的是( ( ) ) A.aA.a2 2+b+b2 211 B.aB.a2 2+b+b2 2=1=1 C.aC.a2 2+b+b2 20,a0,b0,且且a+b=1,a+b=1, 求证求证: : 122 2a 1b. 32 【解题探究解题探究】如何构造向量如何构造向量, ,用向量形式的柯西不用向量形式的柯西不 等式证明等式证明? ? 提示提示: :可构造如下向量形式可构造如下向量形式: : 11 ( ab)2,1 . 23 ， 【证明证明】令令 则则| | |= |= 而而| |= | |= 又又| |= ,| |=
3、,所以所以| | |= ,| | |= , 由由| | | | |,| | |,得得 11 ( ab)2,1 23 ， 1 2a 1b. 3 1111 ab 236 ， 3 22 2 122 2a 1b. 32 【延伸探究延伸探究】在本例题设条件下在本例题设条件下, ,如何证如何证 明明:(ax+by):(ax+by)2 2axax2 2+by+by2 2( (其中其中x0,y0).x0,y0). 【证明证明】设设m=( x, y),=( x, y),n=( , ),=( , ), 则则|ax+by|=|ax+by|=|mn|m|n| | = = = = 所以所以(ax+by)(ax+by)2
4、 2axax2 2+by+by2 2. . abab 22 ( ax)( by) 22 ( a)( b) 22 axby ab 22 axby . 【方法技巧方法技巧】应用二维形式柯西不等式向量形式求最应用二维形式柯西不等式向量形式求最 值及证明不等式的技巧值及证明不等式的技巧 在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或 证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量, ,通通 常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式 一侧的形式一侧的形式, ,再利用
5、柯西不等式的向量形式求解或证明再利用柯西不等式的向量形式求解或证明. . 【变式训练变式训练】 1.1.已知已知abc,abc,若若 恒成立恒成立, ,则则k k的最大的最大 值为值为_._. 11k abbcac 【解析解析】设设a= ,= ,b= = 由由| |ab|a|b| |得得2 2 即即 , ,当且仅当当且仅当a a- -b=bb=b- -c c即即a+c=2ba+c=2b时时, , 等号成立等号成立. .故故k kmax max=4. =4. 答案答案: :4 4 11 () abbc ，( abbc),， 11 abbc abbc ， 114 abbcac 2.2.求函数求函数
6、y= y= 的最大值及最小值的最大值及最小值. . 【解析解析】由原函数式得由原函数式得2sinx+(32sinx+(3- -y)cosx=4y)cosx=4- -2y,2y, 设设a=(2,3=(2,3- -y),y),b=(sinx,cosx),=(sinx,cosx), 由由| |ab|a|b| |得得|4|4- -2y| ,2y| , 解得解得 y3,y3,当且仅当当且仅当 时时, ,等号成立等号成立. . 故最大值及最小值分别为故最大值及最小值分别为3 3与与 . . 2sin x3cos x4 cos x2 2 2 23y 1 3 23y sin xcos x 1 3 自我纠错自我
7、纠错 求函数的最值求函数的最值 【典例典例】已知实数已知实数x,yx,y满足满足 =1,=1,求求x x2 2+2y+2y2 2 的最小值的最小值. . 2 1 x 2 1 y 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是构造柯西不等式的形式错误错误的根本原因是构造柯西不等式的形式错误, , 以及忽视了等号成立的条件以及忽视了等号成立的条件. . 【解析解析】由柯西不等式得由柯西不等式得x x2 2+2y+2y2 2=(x=(x2 2+2y+2y2 2) )1 1 =(x=(x2 2+2y+2y2 2) ) 当且仅当当且仅当x x2 2= y= y2 2时等号成立时等号成立, , 即即x x2 2= +1,y= +1,y2 2= +1= +1时时,x,x2 2+2y+2y2 2有最小值为有最小值为3+2 .3+2 . 2 22 1111 ()(x2y) xyxy 2 2 (12)32 2 ， 2 2 2 2
