1、第一课 不等式和绝对值不等式 【网络体系网络体系】 【核心速填核心速填】 1.1.不等式的基本性质不等式的基本性质 (1)(1)对称性对称性:ab:ab_._. (2)(2)传递性传递性:ab,bc:ab,bc_._. (3)(3)加加( (减减):ab):ab_._. (4)(4)乘乘( (除除):ab,c0):ab,c0_;ab,cb,cc a+cb+ca+cb+c acbcacbc ac0:ab0_,nN_,nN* *, ,且且n2.n2. (6)(6)开方开方:ab0:ab0_,nN_,nN* *, ,且且n2.n2. a an nbbn n n a n b 2.2.基本不等式基本不等
2、式 (1)(1)定理定理1:1:如果如果a,bR,a,bR,那么那么a a2 2+b+b2 2_(_(当且仅当当且仅当a=ba=b 时时, ,等号成立等号成立).). (2)(2)定理定理2:2:如果如果a,b0,a,b0,那么那么 _(_(当且仅当当且仅当a=ba=b 时时, ,等号成立等号成立).). ab ab 2 2ab2ab (3)(3)引理引理: :如果如果a,b,cRa,b,cR+ +, ,那么那么a a3 3+b+b3 3+c+c3 3_(_(当且当且 仅当仅当a=b=ca=b=c时时, ,等号成立等号成立).). (4)(4)定理定理3:3:如果如果a,b,cRa,b,cR+
3、 +, ,那么那么 _(_(当且当且 仅当仅当a=b=ca=b=c时时, ,等号成立等号成立).). (5)(5)推论推论: :如果如果a a1 1,a,a2 2a an nRR+ +, ,那么那么 _(_(当且仅当当且仅当a a1 1=a=a2 2= =a=an n时时, ,等号成立等号成立).). abc 3 3 abc 12n aaa n n 1 2n a aa 3abc3abc 3.3.绝对值三角不等式绝对值三角不等式 (1)|a|(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的的几何意义表示数轴上的点到原点的_,_, |a|a- -b|b|的几何意义表示数轴上两点间的的几何意义表示数轴上
4、两点间的_._. (2)|a+b|_(a,bR,ab0(2)|a+b|_(a,bR,ab0时等号成立时等号成立).). (3)_|a(3)_|a- -b|+|bb|+|b- -c|(a,b,cR,(ac|(a,b,cR,(a- -b)(bb)(b- -c)0c)0 时等号成立时等号成立).). 距离距离 距离距离 |a|+|b|a|+|b| |a|a- -c|c| (4)|a|(4)|a|- -|b|a+b|_(a,bR,|b|a+b|_(a,bR,左边“左边“=”=” 成立的条件是成立的条件是ab0,ab0,右边“右边“=”=”成立的条件是成立的条件是ab0).ab0). (5)_|a(5)
5、_|a- -b|a|+|b|(a,bR,b|a|+|b|(a,bR,左边“左边“=”=” 成立的条件是成立的条件是ab0,ab0,右边“右边“=”=”成立的条件是成立的条件是ab0).ab0). |a|+|b|a|+|b| |a|a|- -|b|b| 【易错警示易错警示】 1.1.关注不等式性质的条件关注不等式性质的条件 (1)(1)要注意不等式的等价性要注意不等式的等价性. . (2)(2)应用不等式时应用不等式时, ,要注意不等式成立的条件要注意不等式成立的条件. . 2.2.基本不等式求最值时的关注点基本不等式求最值时的关注点 要注意考虑所给式子是否满足“一正要注意考虑所给式子是否满足“
6、一正, ,二定二定, ,三相等”三相等” 的要求的要求. . 3.3.解绝对值不等式的关注点解绝对值不等式的关注点 由绝对值不等式转化为不含绝对值不等式时由绝对值不等式转化为不含绝对值不等式时, ,要注意转要注意转 化的等价性化的等价性, ,特别是平方时特别是平方时, ,两边应均为非负数两边应均为非负数. . 类型一类型一 不等式的基本性质的应用不等式的基本性质的应用 【典例典例1 1】已知已知:ab0,cb0,cb0,cb0,c0,ab0,a)0,ab0, 所以所以 0,0,所以所以 cc . ab c bacc abab c b a ab cccc 0. abab ，即 【方法技巧方法技巧
7、】不等式的基本性质应用的注意点不等式的基本性质应用的注意点 (1)(1)注意不等式成立的条件注意不等式成立的条件, ,若弱化或强化了条件都可若弱化或强化了条件都可 能得出错误的结论能得出错误的结论. . (2)(2)注意明确各步推理的依据注意明确各步推理的依据, ,以防出现解题失误以防出现解题失误. . 【变式训练变式训练】1.1.若若a,ba,b是任意实数是任意实数, ,且且ab,ab,则则( ( ) ) A.aA.a2 2bb2 2 B. 0 D. D. 【解析解析】选选D.D.因为因为y= y= 是减函数是减函数, , 所以所以abab a b ab 11 ( )( ) 22 x 1 (
8、 ) 2 ab 11 ( )( ) . 22 2.“x0”2.“x0”是“是“x+ 2”x+ 2”的的 ( ( ) ) A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 1 x 【解析解析】选选C.C.当当x0x0时时, =2, =2,因为因为x,x, 同号同号, ,所以当所以当x+ 2x+ 2时时, ,则则x0, 0,x0, 0,所以所以x0.x0. 11 x2 x xx 1 x 1 x 1 x 3.3.已知已知:xy0,mn0:xy0,mn0求证求证: : 【证明证明】因为因为mn0,mn
9、0,所以所以 0,0, 因为因为xy0,xy0, 所以所以 0,0, 所以所以 xy . nm 11 nm xy nm xy . nm 类型二类型二 基本不等式的应用基本不等式的应用 【典例典例2 2】(1)x,y,zR(1)x,y,zR+ +,x,x- -2y+3z=0,2y+3z=0,求求 的最小值的最小值. . (2)(2)若若a,b,cRa,b,cR+ +, ,且且a+b+c=1,a+b+c=1,求证求证: : 2 y xz 1119 . abbcca2 【解析解析】(1)(1)由由x x- -2y+3z=0,2y+3z=0,得得y= ,y= , 则则 当且仅当当且仅当x=3zx=3z
10、时时, ,等号成立等号成立. . x3z 2 222 yx9z6xz6xz6xz 3 xz4xz4xz ， (2)(2)因为因为a,b,cRa,b,cR+ +且且a+b+c=1,a+b+c=1, 所以所以2=(a+b)+(b+c)+(c+a)2=(a+b)+(b+c)+(c+a) 所以所以(a+b)+(b+c)+(c+a)(a+b)+(b+c)+(c+a) 所以所以 111 () abbcca 33 111 3abbc ca39. ab bc ca 1119 . abbcca2 【方法技巧方法技巧】利用基本不等式求最值问题的类型利用基本不等式求最值问题的类型 (1)(1)和为定值时和为定值时,
11、 ,积有最大值积有最大值. . (2)(2)积为定值时积为定值时, ,和有最小值和有最小值. . 在具体应用基本不等式解题时在具体应用基本不等式解题时, ,一定要注意适用的范围一定要注意适用的范围 和条件和条件:“:“一正、二定、三相等”一正、二定、三相等”. . 【变式训练变式训练】1.1.已知已知xRxR+ +, ,则函数则函数y=xy=x2 2(1(1- -x)x)的的 最大值为最大值为_._. 【解析解析】y=xy=x2 2(1(1- -x)=xx(1x)=xx(1- -x)x) =xx(2=xx(2- -2x)2x) 1 2 3 1 xx22x184 (). 2322727 当且仅当
12、当且仅当x=2x=2- -2x,2x,即即x= x= 时取等号时取等号. . 此时此时,y,ymax max= . = . 答案答案: : 2 3 4 27 4 27 2.2.求函数求函数y= y= 的最小值的最小值. . 【解析解析】y=y= +2+2tan+2+2tan2 2 =3+=3+ +2tan+2tan2 23+23+2 =3+2=3+2 . . 当且仅当当且仅当2tan2tan2 2= = 即即tan= tan= 时时, ,等号成立等号成立. .所以所以y ymin min=3+2 . =3+2 . 22 12 sincos 222 121 1 sincostan 2 1 tan
13、 2 2 1 2tan tan 2 2 1 tan 4 1 2 2 类型三类型三 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 【典例典例3 3】解关于解关于x x的不等式的不等式|2x|2x- -1|0,又又xg(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)g(x)f(x)f(x)2 2g(x)g(x)2 2. . (4)|x(4)|x- -a|+|xa|+|x- -b|c(c0)b|c(c0)和和|x|x- -a|+|xa|+|x- -b|c(c0)b|c(c0)型型: : 零点分段讨论法零点分段讨论法; ; 利用利用|x|x- -a|a|的几何意义法的几何意义法; ; 在直角坐标系中作出不等
14、式两边所对应的两个函数在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数 的图象的图象. . 【变式训练变式训练】1.1.解不等式解不等式|x+1|x|x+1|x- -3|.3|. 【解析解析】方法一方法一: :由由|x+1|x|x+1|x- -3|3|两边平方得两边平方得 (x+1)(x+1)2 2(x(x- -3)3)2 2, ,所以所以8x8,8x8,所以所以x1,x1,所以原不等式的解所以原不等式的解 集为集为x|x1.x|x1. 方法二方法二: :当当xx- -1 1时时, ,有有- -x x- -11- -x+3,x+3,此时此时x x无解无解; ; 当当- -1- -x+3,x+3,即
15、即x1,x1, 所以此时所以此时13时时, ,有有x+1xx+1x- -3 3成立成立, ,所以所以x3.x3. 所以原不等式解集为所以原不等式解集为x|x1.x|x1. 2.2.已知函数已知函数f(x)=|2x+1|f(x)=|2x+1|- -|x|x|- -2.2. (1)(1)解不等式解不等式f(x)0.f(x)0. (2)(2)若存在实数若存在实数x,x,使得使得f(x)|x|+a,f(x)|x|+a,求实数求实数a a的取值范的取值范 围围. . 【解析解析】(1)(1)函数函数f(x)=|2x+1|f(x)=|2x+1|- -|x|x|- -2 2 1 x3,x, 2 1 3x 1
16、,x0, 2 x 1,x0 ， 当当x0),g(x)=x+2. (1)(1)当当a=1a=1时时, ,求不等式求不等式f(x)g(x)f(x)g(x)的解集的解集. . (2)(2)若若f(x)g(x)f(x)g(x)恒成立恒成立, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析解析】(1)(1)当当a=1a=1时时, ,不等式不等式f(x)g(x),f(x)g(x), 即即|2x|2x- -1|+|2x+1|x+2,1|+|2x+1|x+2, 1 x, 2 4xx2 111 x,x, 222 2x24xx2 等价于 或 或 解求得解求得x x无解无解, ,解求得解求得0x 0x 解求
17、得解求得 综上综上, ,不等式的解集为不等式的解集为 1 , 2 12 x, 23 2 x|0x. 3 (2)(2)由题意可得由题意可得|2x|2x- -a|+|2x+1|x+2a|+|2x+1|x+2恒成立恒成立, , 转化为转化为|2x|2x- -a|+|2x+1|a|+|2x+1|- -x x- -2020恒成立恒成立, , 令令h(x)=|2xh(x)=|2x- -a|+|2x+1|a|+|2x+1|- -x x- -2=2= 1 5xa3,x, 2 1a xa 1,x, 22 a 3xa 1,x, 2 易得易得h(x)h(x)的最小值为的最小值为 - -1,1,令令 - -10,10
18、,解得解得a2.a2. a 2 a 2 【方法技巧方法技巧】对于恒成立不等式求参数范围问题的常对于恒成立不等式求参数范围问题的常 见类型及其解法见类型及其解法 (1)(1)分离参数法分离参数法: :运用运用 “f(x)af(x)af(x)f(x)max maxa,f(x)a a,f(x)af(x)f(x)min mina” a”可解决可解决 恒成立中的参数范围问题恒成立中的参数范围问题. . (2)(2)更换主元法更换主元法: :不少含参数的不等式恒成立问题不少含参数的不等式恒成立问题, ,若直若直 接从主元入手非常困难或不可能时接从主元入手非常困难或不可能时, ,可转换思维角度可转换思维角度
19、, , 将主元与参数互换将主元与参数互换, ,常可得到简捷的解法常可得到简捷的解法. . (3)(3)数形结合法数形结合法: :在研究曲线交点的恒成立问题时在研究曲线交点的恒成立问题时, ,若能若能 数形结合数形结合, ,揭示问题所蕴含的几何背景揭示问题所蕴含的几何背景, ,发挥形象思维发挥形象思维 与抽象思维各自的优势与抽象思维各自的优势, ,可直观地解决问题可直观地解决问题. . 【变式训练变式训练】1.1.若不等式若不等式|x|x- -a|+|xa|+|x- -2|12|1对任意实数对任意实数x x 恒成立恒成立, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析解析】设设y=|x
20、y=|x- -a|+|xa|+|x- -2|,2|,则则y ymin min=|a =|a- -2|2| 因为不等式因为不等式|x|x- -a|+|xa|+|x- -2|12|1对任意对任意x x恒成立恒成立, , 所以所以|a|a- -2|1,2|1,解得解得a3a3或或a1.a1. 2.(20162.(2016南昌高二检测南昌高二检测) )已知函数已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a. (1)(1)当当a=0a=0时时, ,解不等式解不等式f(x)g(x).f(x)g(x). (2)(2)若存在若存在xR,xR,使得使得f(x
21、)g(x)f(x)g(x)成立成立, ,求实数求实数a a的取值的取值 范围范围. . 【解析解析】(1)(1)当当a=0a=0时时, ,由由f(x)g(x)f(x)g(x)得得|2x+1|x|,|2x+1|x|, 两边平方整理得两边平方整理得3x3x2 2+4x+10,+4x+10, 解得解得xx- -1 1或或xx- - , , 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为( (- -,- -1 1 1 3 1 ,). 3 (2)(2)由由f(x)g(x)f(x)g(x)得得a|2x+1|a|2x+1|- -|x|,|x|, 令令h(x)=|2x+1|h(x)=|2x+1|- -|x|,|x|,即即h(x)=h(x)= 故故h(x)h(x)min min= , = ,故可得到实数故可得到实数a a的范围为的范围为 1 x 1,x, 2 1 3x 1,x0, 2 x 1,x0 ， 11 h() 22 1 ). 2 ，
