1、23 数学归纳法,自主学习 新知突破,1了解数学归纳法的原理 2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,下图为多米诺骨牌： 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？,提示 (1)处理第一个问题；(相当于推倒第一块骨牌) (2)验证前一问题与后一问题有递推关系(相当于前牌推倒后牌),一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1(归纳奠基)证明当n取_ (n0N*)时命题成立； 2(归纳递推)假设 _时命题成立，证明当_时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,第一个值n0,nk(kn0，kN*),nk1,上述证明方法叫做数学归纳法 可以用
2、框图表示为：,数学归纳法的应用及注意事项 (1)数学归纳法的应用范围是证明与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题，探求数列的通项及前n项和等,(2)应用数学归纳法应注意： 数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明 验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可； 在证明nk1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法,1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为( ) A1 B2 C3 D4 解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n03. 答案： C,答案： D,3用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427
3、k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_ . 解析： 当nk1时，应将表达式1427k(3k1)k(k1)2中的k更换为k1. 答案： 1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2,4用数学归纳法证明：159(4n3)(2n1)n. 证明： 当n1时，左边1，右边1，命题成立 假设nk(k1，kN*)时，命题成立， 即159(4k3)k(2k1) 则当nk1时，左边159(4k3)(4k1) k(2k1)(4k1)2k23k1(2k1)(k1) 2(k1)1(k1)右边， 当nk1时，命题成立 由知，对一切nN*，命题成立,合作探究 课堂互动,用数学归纳法证明等式或不等式
4、,思路点拨,用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项,用数学归纳法证明几何问题,用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析在实在分析不出来的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧,归纳猜想证明,“观察归纳猜想证明”模式的题目的解法 (1)观察：由已知条件写出前几项； (2)归纳
5、：找出前几项的规律，找到项与项数的关系； (3)猜想：猜想出通项公式； (4)证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明,3数列an的前n项和为Sn，满足2Snan，an0(nN*)， (1)求a1，a2，a3的值，并猜想数列an的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想 解析： (1)由2Snan得 当n1时，2a1a1，a11. 当n2时，2S2a2，a22. 当n3时，2S3a3，a33. 猜想：数列an的通项公式为ann.,【错因】 没有利用归纳假设进行证明第(2)步，不可以直接利用等比数列的求和公式求出当nk1时式子的和，在证明nk1时，一定要利用“归纳假设”,高效测评 知能提升,谢谢观看！,
