1、2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 高斯高斯 (1777(177718551855） 德国著名数学家德国著名数学家 1+2+3+98+99+100=1+2+3+98+99+100=？ 高斯高斯1010岁时曾很快算出这一结岁时曾很快算出这一结 果，如何算的呢？果，如何算的呢？ 我们先看下面的问题我们先看下面的问题. 怎样才能快速计算怎样才能快速计算 出一堆钢管有多少根呢？出一堆钢管有多少根呢？ 一一 二二 4+10=14 三三 5+9=14 6+8=14 四四 7+7=14 五五 8+6=14 六六 9+5=14 七七 10+4=14 (1)(1)先算出各层的根数，先算出各
2、层的根数， 每层都是每层都是1414根；根； (2)(2)再算出钢管的层数，共再算出钢管的层数，共7 7层层. . 所以钢管总根数是：所以钢管总根数是： 根根 1 (410) 749() 2 1+2+3+ +100=? 带着这个问题，我们进入本节课的学习！带着这个问题，我们进入本节课的学习！ 1.1.通过教学使学生理解等差数列的前通过教学使学生理解等差数列的前n n项和公式的项和公式的 推导过程，并能用公式解决简单的问题推导过程，并能用公式解决简单的问题. .( (重点）重点） 2.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊 到一般，再从一般到特殊的思
3、想方法，通过公式到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式 的运用体会方程的思想的运用体会方程的思想（难点）（难点） 下面再来看下面再来看1+2+3+98+99+1001+2+3+98+99+100的高斯算法的高斯算法. . 设设S S100 100=1 + 2 + 3 +98+99+100 =1 + 2 + 3 +98+99+100 反序反序S S100 100=100+99+98+ 3+ 2 + 1 =100+99+98+ 3+ 2 + 1 + + + + + + + 作作 加加 法法 + + + + + + + 作作 加加 法法 多少个多少个101 ?101 ? 100100个个1011
4、01 2S100=101+101+101+101+101+101 / / / / / + + + + + + + 作作 加加 法法 探究点探究点1 1：等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式 所以所以S S100 100= = (1+100) (1+100)100100 ？ ？ 首首 项项 尾尾 项项 ？ 总总 和和 ？ 项项 数数 这就是等差这就是等差 数列前数列前n n项和项和 的公式！的公式！ =5 050=5 050 1 2 1 () 2 n n n aa S 1 ( 2 ） + +得：得： 2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an n-
5、-1 1)+(a)+(a3 3+a+an n- -2 2)+)+(+(a an n+a+a1 1). ). 以下证明以下证明aan n 是等差数列，是等差数列，S Sn n是其前是其前n n项和，则项和，则 证：证：S Sn n= a= a1 1+ a+ a2 2 + a + a3 3 + + +a+an n- -2 2+a+an n- -1 1+a+an n, , 即即S Sn n= = a a1 1, , an + a+ a2 2 + + +a+an n- -1 1+ + a a3 3 a an n- -2 2 + + + . . 1 () 2 n n n aa S 2S2Sn n=(a=
6、(a1 1+a+an n)+(a)+(a1 1+a+an n)+ )+ +(a+(a1 1+a+an n) ) 多少个(a1+an) ? 共有共有n n个个(a1+an) 由等差数列的性质：由等差数列的性质：当当m+n=p+qm+n=p+q时，时，a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q 知： 知： a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an n- -1 1=a=a3 3+a+an n- -2 2= = =a an n+a+a1 1， ，所以 所以式可化为：式可化为： = n n(a(a1 1+a+an n).). 这种求和的这种求和的 方法叫倒序方法叫倒序 相加法！相加
7、法！ 因此，因此， . . 1 () 2 n n n aa S 110 . 5,95,10. 根根据据下下列列条条件件，求求相相应应的的等等差差数数列列的的前前n n项项和和 nn aS aan 1010 1010 (5+95)(5+95) S=S=： 2 2 解解500.500. 【即时练习即时练习】 探究点探究点2 2：等差数列的前等差数列的前n n项和公式的其他形式项和公式的其他形式 （ 1 ) 2 n n n aa S 1 (1) n aand （ 1 1) 2 n n n Snad 1 , 22 dd AB a 2 n SAnBn .根根据据下下列列条条件件，求求相相应应的的等等差差
8、数数列列的的前前n n项项和和 nn aS 1 100,2,50.adn 5050 5050 （50-1)50-1) S=50S=50100+100+ (-2)=2 (-2)=2 解解 2 2 ：550.550. 【即时练习即时练习】 例例1 20001 2000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中小关于在中小 学实施学实施 “校校通”工程的通知“校校通”工程的通知. .某市据此提出某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标：从了实施“校校通”工程的总目标：从20012001年起用年起用 1010年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园年的时间，在全市中小学建成不同标准
9、的校园 网网. .据测算，据测算，20012001年该市用于“校校通”工程的经年该市用于“校校通”工程的经 费为费为500500万元万元. .为了保证工程的顺利实施，计划每为了保证工程的顺利实施，计划每 年投入的资金都比上一年增加年投入的资金都比上一年增加5050万元万元. .那么从那么从20012001 年起的未来年起的未来1010年内，该市在“校校通”工程中的年内，该市在“校校通”工程中的 总投入是多少？总投入是多少？ 解：解：根据题意，从根据题意，从2001200120102010年，该市每年投入年，该市每年投入“校校校校 通通” 工程的经费都比上一年增加工程的经费都比上一年增加5050
10、万元万元. .所以，可以建所以，可以建 立一个等差数列立一个等差数列aan n ，表示从，表示从20012001年起各年投入的资金，年起各年投入的资金， 其中，其中， 1 1 a =500,d =50.a =500,d =50. 1010 那那么么，到到2010年2010年（n =10）n =10），投投入入的的金金 1010 （10-1）10-1） S=10S=10500+500+50 =7 250（50 =7 250（万万元元）. . 2 2 资资总总额额为为 从从该该总总20012010年20012010年，市市在在“校校校校通通”工工程程中中的的 投投入入是是7 27 2 答答： 50
11、万50万元元. . 本题的设计意图：本题的设计意图： 培养学生的阅读能力，引导学生从中提取培养学生的阅读能力，引导学生从中提取 有效信息有效信息. .通过对生活实际问题的解决，让学生通过对生活实际问题的解决，让学生 体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们 学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识 解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合， 对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈. . n.1.1.求求正正整整数数数数列列中
12、中前前 个个数数的的和和 n n nn (1+n)n(n(1+n)n(n 解解： +1)+1) S =.S =. 2222 2.n.求求正正整整数数数数列列中中前前 个个偶偶数数的的和和 n n nn (2+2n)(2+2n) S = n(nS = n(n解解：+1).+1). 2 2 【变式练习变式练习】 例例2 2 已知一个等差数列已知一个等差数列 前前1010项的和是项的和是310310，前，前2020 项的和是项的和是1 220.1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前由这些条件能确定这个等差数列的前n n 项和的公式吗？项和的公式吗？ n a 分析：分析：将已知条件代入等差数列前
13、将已知条件代入等差数列前n n项和的公式后，可项和的公式后，可 得到两个关于得到两个关于 与与d d的二元一次方程，由此可以求得的二元一次方程，由此可以求得 与与d d，从而得到所求前，从而得到所求前n n项和的公式项和的公式. . 1 a 1 a 10201020 n1n1 1 1 1 1 由由意意知知S=310，S=310，S=1 220,S=1 220, n（n（n-1）n-1） 它它代代入入公公式式S = na +d，S = na +d， 2 2 10a +410a +4 解解： 5d =310，5d =310， 得得到到 20a +190d =1 220.20a +190d =1 2
14、20. 题题 将将们们 1 1 1 1 2 2 n n 解解于于a 与a 与d的d的方方程程，得得到到 a = 4，a = 4，d = 6, d = 6, n（n（n-1）n-1） 所所以以S = 4n+S = 4n+6=3n +n.6=3n +n. 2 2 这这个个关关组组 【技巧方法技巧方法】 此例题的目的是建立等差数列前此例题的目的是建立等差数列前n n 项和与方程组之间的联系项和与方程组之间的联系. .已知几已知几 个量，通过解方程组，得出其余的个量，通过解方程组，得出其余的 未知量未知量. . 让我们归让我们归 纳一下！纳一下！ （20142014福建福建高考高考）等差数列等差数列
15、a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若 a a1 12 2，S S3 31212，则，则a a6 6等于等于( ( ) ) A A8 B8 B10 C10 C12 12 D D1414 【解析】【解析】选选 C.C.由已知条件得，由已知条件得，a a1 1=2,3a=2,3a1 1+3d=12+3d=12，解得，解得 a a1 1=2,d=2=2,d=2，所以，所以 a a6 6=a=a1 1+5d=12+5d=12 【变式练习变式练习】 例例 已已知知数数列列的的前前 项项和和为为，求求这这个个数数 列列的的通通项项公公式式 这这个个数数列列是是等等差差数数列列吗吗？如
16、如果果是是，它它的的首首 项项与与公公差差分分别别是是什什么么？ 2 1 3 2 . nn anSnn n12n-1nn12n-1n n-112n-1n-112n-1 根根据据S = a +a +a+a 与S = a +a +a+a 与 解解 S= a +a +a （S= a +a +a （ ： n1）n1）， nnn-1nnn-1 2222 可可知知，n 1，n 1， a = S -Sa = S -S 111111 = n +n-（= n +n-（n-1）n-1）+ （+ （n-1）n-1）= 2n-.= 2n-. 222222 当当时时 2 2 1111 nnnn n n n =1，n =
17、1， 1313 a = S =1 + a = S =1 + 1=，1=，也也足足上上式式. . 2222 1 1 所所以以列列 a的a的通通公公式式a = 2n-.a = 2n-. 2 2 3 3 由由此此可可知知，列列 a是a是一一首首，公公差差2的2的等等差差列列. . 2 2 当当时时 满满 数数项项为为 数数个个项项为为为为数数 1 1 1 1 1 . . . 这这个个例例题题给给出出了了等等差差数数列列通通项项公公式式的的另另一一个个求求法法 （n=1n=1） , , 已已知知前前 项项和和，可可求求出出通通项项 （n2n2） 这这种种用用数数列列的的公公式式来来确确定定的的方方法法
18、对对于于任任何何数数列列 都都是是可可行行的的，而而且且还还要要注注意意 不不一一定定满满足足由由 求求出出的的通通 【技技巧巧方方法法】 项项表表达达式式，所所以以最最后后要要验验证证 首首项项 是是否否满满足足已已求求出出的的 nn nn nn nnn n S nSa SS Sa a SSa aa （20152015新课标新课标高考高考）设设n S 是数列是数列 n a 的前的前n n项和，且项和，且 1 1a ，11nnn aS S ，则，则n S _ 【变式练习变式练习】 【解析】【解析】由已知得由已知得111nnnnn aSSSS ，两边同时除，两边同时除 以以1nn SS ， 得，
19、 得 1 11 1 nn SS ， 故数列， 故数列 1 n S 是以是以- -1 1 为首项，为首项， - -1 1 为公差的等差数列，则为公差的等差数列，则 1 1 (1) n nn S ， 所以所以 1 n S n 答案：答案： 1 n 1.1.（20152015新课标新课标 1 1 高考高考）已知已知 n a 是公差为是公差为 1 1 的等差数的等差数 列，列，n S 为为 n a 的前的前 n n 项和，若项和，若84 4SS ，则，则10 a （ ） A A. . 17 2 B B. . 19 2 C C. .1010 D D. .1212 【解析】【解析】选选 B B. .公差公
20、差 1d ，84 4SS ， 11 11 88 74(44 3) 22 aa ，解得解得 1 1 2 a ， 101 119 99 22 aad . . 2.(20152.(2015新课标全国卷新课标全国卷) )设设S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的的 前前n n项和项和, ,若若a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3,=3,则则S S5 5= = ( ( ) ) A.5 B.7 A.5 B.7 C.9 C.9 D.11D.11 【解析】【解析】选选A.aA.a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3a=3a3 3=3=3a a3 3=1,S=1,S5 5= = =5a=5a3
21、 3=5.=5. 15 5(aa ) 2 3根根据据下下列列条条件件，求求相相应应的的等等差差数数列列的的前前n n项项和和 nn aS 1 14.5,0.7,32. n ada 32-14.532-14.5 n =+1=26,n =+1=26, 0.70.7 解解： 2626 2626 (14.5+32)(14.5+32) S=604.5.S=604.5. 2 2 4.5,4,3,2,等等差差数数列列前前多多少少项项和和是是-30-30？ 1n1n n n a =5,d = -1,S = -30.a =5,d = -1,S = -30. n(n-1)n(n-1) 所所以以S =5n+S =5n+ (-1)= -30，(-1)= -30， 2 2 n =15 或n =15 或 n = -4 n = -4 解解： (舍(舍去去).). . 1 1等等差差数数列列前前 项项和和公公式式的的推推导导； n nS ,.,. 1 1 ()(1) 22 n nn n aan n SSnad 说明：两个求和公式的使用说明：两个求和公式的使用知三求一知三求一. . . 2 2 等等差差数数列列前前 项项和和公公式式的的记记忆忆与与应应用用. . n nS 青年之文明，奋斗之文明也，与境遇奋斗， 与时代奋斗，与经验奋斗。故青年者，人生之王， 人生之春，人生之华也。 李大钊
