1、第2课时 等比数列的性质 定义：一般地，如果一个数列从第定义：一般地，如果一个数列从第2 2项起，项起， 每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么 这个数列叫做等比数列，这个常数叫做这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数等比数 列的公比，列的公比，公比通常用字母公比通常用字母q q表示表示(q0).(q0). n 1 n a q(qn,q0 a 是与 无关的数或式子 且） 如果一个数列如果一个数列 是等比数列，它的公比是是等比数列，它的公比是q q，那么，那么 , 1 a, 2 a, 3 a, n a ， ， 21 aaq 由此可知，等比数列由此可知，
2、等比数列 的通项公式为的通项公式为 n a 2 321 aaqaq 3 431 aaqaq 4 541 aaqaq n 1 n11 aa qa ,q0 （） 1.1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用理解并掌握等比数列的性质及其初步应用. . ( (重点、难点）重点、难点） 2.2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法， 提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能 力力 (1) 1，2，4，8，16， 观察数列观察数列 111 (2)8,4,2,1, 248 (3) 4，4，4，4，4，4，4， (4) 1，
3、-1，1，-1，1，-1，1， 公比公比 q=2 公比公比 q= 1 2 公比公比 q=1 公比公比 q=-1 探究点探究点1 1：等比数列的图象：等比数列的图象 等比数列的图象等比数列的图象1 1 数列：数列：1，2，4，8，16， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 O 递增数列递增数列 通过图象观察性质通过图象观察性质 等比数列的图象等比数列的图象2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 数列：数列： , 8 1 , 4 1 , 2 1 , 1 ,2,4 , 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 递减数列递减数
4、列 等比数列的图象等比数列的图象3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 O 数列：数列：4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4， 常数列常数列 等比数列的图象等比数列的图象4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数列：数列：1，-1，1，-1，1，-1，1， 摆动数列摆动数列 - -1 在在6 6和和768768之间插入之间插入6 6个数个数，使它们组成共使它们组成共8 8项的等比项的等比 数列数列，则这个等比数列的第则这个等比数列的第6 6项是项是_ 【解析解
5、析】a8a1q7,7686q7，q2， a6625192. 【即时练习即时练习】 192192 类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？ 探究点探究点2 2：等差、等比数列的性质比较等差、等比数列的性质比较 an-an-1=d （n2） 等差数列等差数列 等比数列等比数列 常数常数 减减除除 加加乘乘 dnaa n ) 1( 1 ) 0( 1 1 1 qaqaa n n 加加- -乘乘 乘乘乘方乘方 迭加法迭加法 迭乘法迭乘法 等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”等比数列用“比”代替了等差数列中的“差” 定义定义 数学表数学表 达式达式 通项公通
6、项公 式证明式证明 通项通项 公式公式 1 (0n2) n n a q q a ， , 提示提示: 由等差数列的性质，猜想等比数列的性质由等差数列的性质，猜想等比数列的性质 aan n 是公差为是公差为d d的等差数列的等差数列 bbn n 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列 性质性质1 1： a an n=a=am m+(n+(n- -m)dm)d 性质性质2 2：若：若a an n- -k k,a,an n,a,an+k n+k 是是aan n 中的三项中的三项 ， 则则2a2an n=a=an+k n+k+ a + an n- -k k 猜想猜想2 2： 性质性质3 3： 若若n
7、+m=p+q,n+m=p+q, 则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q 猜想猜想1 1： nm nm b b q 若若b bn n- -k k,b,bn n,b,bn+k n+k 是是bbn n 中的三项中的三项, ,则则 若若n+m=p+qn+m=p+q，则，则 b bn nbbm m=b=bp pbbq q 2 nnknk bbb 猜想猜想3 3： 性质性质4 4：从原数列中取出偶：从原数列中取出偶 数项组成的新数列公差为数项组成的新数列公差为 2d.(2d.(可推广可推广) ) 性质性质5: 5: 若若ccn n 是公差为是公差为 dd的等差数列，则数列的等差数列，则
8、数列 a an n+c+cn n 是公差为是公差为d+dd+d的等的等 差数列差数列. . 若若ddn n 是公比为是公比为 qq的等比数列的等比数列, ,则数列则数列 bbn nddn n 是公比为是公比为 qqqq的等比数列的等比数列. . 猜想猜想4 4：从原数列中取：从原数列中取 出偶数项，组成的新出偶数项，组成的新 数列公比为数列公比为 ( (可推可推 广广) ) 2 q 猜想猜想5 5： 若数列若数列aan n 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列, ,则则 (1)(1)当当q1,aq1,a1 100或或01, a1 10时时, a, an n 是递减数列是递减数列; ; 当
9、当q=1q=1时时, a, an n 是常数列是常数列; ; 当当q0. (3)a(3)an n=a=am mq qn n- -m m(n,mN(n,mN* *).). (4)(4)当当n+m=p+q(n,m,p,qNn+m=p+q(n,m,p,qN* *) )时时, ,有有a an na am m=a=ap pa aq q. . (5)(5)当当aan n 是有穷数列时是有穷数列时, ,与首末两项等距离的两与首末两项等距离的两 项的积都相等项的积都相等, ,且等于首末两项的积且等于首末两项的积. . 【知识提升知识提升】 (7)(7)若若bbn n 是公比为是公比为qq的等比数列的等比数列,
10、 ,则数列则数列aan n b bn n 是公比为是公比为qqqq的等比数列的等比数列. . (6)(6)数列数列 a an n( 为不等于零的常数为不等于零的常数) )仍是公比仍是公比 为为q q的等比数列的等比数列. . (9)(9)在在aan n 中中, ,每隔每隔k(kNk(kN* *) )项取出一项项取出一项, ,按原来顺序排按原来顺序排 列列, ,所得的新数列仍为等比数列所得的新数列仍为等比数列, ,且公比为且公比为q qk+1 k+1. . (10)(10)当当m m，n n，p(mp(m，n n，pNpN* *) )成等差数列时，成等差数列时， a am m , a , an
11、n , a , ap p 成等比数列 成等比数列. . (8)(8)数列数列 是公比为是公比为 的等比数列的等比数列. . q 1 n a 1 在等比数列在等比数列an中中，an0，a 2 a4+2a3a5+a4a6=36, 那么那么a3+a5=_. 6 6 【即时练习即时练习】 例例 已知已知 an n 、 bn n 是项数相同的等比数列，求是项数相同的等比数列，求 证证 an n bn n 是等比数列是等比数列. . 当当数数项项数数两两个个数数时时 数数数数数数吗吗 为为类类证证 nnnn nnnn 1212 列列 a、a、b是b是相相同同的的等等差差列列， 列列 pa +qb其pa +
12、qb其中中p,q是p,q是常常也也是是等等差差列列？ 是是的的，公公差差pd +qd .可pd +qd .可 分分 以以 ： 比比 析析 明明. . 证明：证明：设数列设数列aan n 的首项是的首项是a a1 1，公比为，公比为q q1 1; ; bbn n 的的 首项为首项为b b1 1，公比为，公比为q q2 2，那么数列，那么数列aan nb bn n 的第的第n n项与项与 第第n+1n+1项分别为：项分别为： n 1n 1nn 11121112 aqbqaqbq, 与 n-1nn-1n 1112111211121112 即即a b (q q )与a b (q q )与a b (q
13、q ) .a b (q q ) . 为为 n n n+1n+11112n+1n+11112 1212n-1n-1 nn1112nn1112 aba b (q q )aba b (q q ) 因因= q q .= q q . aba b (q q )aba b (q q ) 它是一个与它是一个与n n无关的常数，所以无关的常数，所以aan n b bn n 是一个是一个 以以q q1 1q q2 2为公比的等比数列为公比的等比数列. . 特特别别地地，如如果果是是等等比比数数列列， 是是 不不等等于于0 0的的常常数数，那那么么数数列列也也是是 等等比比数数列列. . 说说明明： n n ac
14、c a 已知等比数列已知等比数列 的公比为的公比为q q， 记记 ， cn=am(n-1)+1 am(n-1)+2am(n-1)+m(m,nN*)，则以下结则以下结 论一定正确的是（论一定正确的是（ ） A. A. 数列数列 为等差数列，公差为为等差数列，公差为 B. B. 数列数列 为等比数列，公比为为等比数列，公比为q q2m 2m C. C. 数列数列 为等比数列，公比为为等比数列，公比为 D. D. 数列数列 为等比数列，公比为为等比数列，公比为 n a mnmnmnmn aaab )1(2)1(1)1( n b m q 2 m q m m q n b n c n c 【变式练习变式练
15、习】 【解题指南解题指南】如何判定一个数列是等差或等比数列，如何判定一个数列是等差或等比数列， 注意一定是作差，或作比，看看是不是常数注意一定是作差，或作比，看看是不是常数. . (1) 1(1) 2(1) nm nm nm nm caaa 112 nmnmnmn m caaa 2 112 (1) 1(1) 2(1) () mmmm mm nmnmnmn m nm nm nm nm caaa q qqqq caaa 【解析解析】选选C.C.显然，显然， 不可能是等比数列；不可能是等比数列； 是等比是等比 数列；证明如下：数列；证明如下： n b n c （ ） A A7 7 B.5 CB.5
16、C- -5 D5 D- -7 7 n a 47 2aa 56 8a a 110 aa 47 2aa 564747 84,2a aa aaa 1.1.已知已知 为等比数列，为等比数列， ， ， 【解析解析】选选D.D. ， 47 47110110 47101110 2,4, 4,28,17, 2,48,17. 或或aa aaaaaa aaaaaa D D 则则 2 2. .如果如果- -1 1，a a，b b，c c，- -9 9成等比数列成等比数列，那么那么( ( ) ) A A. .b=b=3 3，ac=ac=9 9 B B. .b=b=- -3 3，ac=ac=9 9 C C. .b=b=
17、3 3，ac=ac=- -9 9 D D. .b=b=- -3 3，ac=ac=- -9 9 【解析解析】选选B B. . b是是1 1，9 9的等比中项的等比中项，b29， b3 3，又由等比数列奇数项符号相同又由等比数列奇数项符号相同，得得b b0 0, ,qq0 0) )的 两 个 不 同 的 零 点的 两 个 不 同 的 零 点 , ,且且 a a, ,b b, ,- -2 2 这三个数可适当排序后成等差数列这三个数可适当排序后成等差数列, ,也可也可 适当排序后成等比数列适当排序后成等比数列, ,则则 p+qp+q 的值等于的值等于 ( ( ) ) A.6A.6 B.7B.7 C.8
18、C.8 D.9D.9 D 【解析】【解析】选选 D.D.由题可得由题可得 a + b = p 0a + b = p 0 ab = q 0ab = q 0 所以所以 a0,b0,a0,b0,不不 妨设妨设 ab,ab,所以等比数列为所以等比数列为 a,a,- -2,b2,b 或或 b,b,- -2,a2,a 从而从而 得到得到 ab=4=q,ab=4=q,等差数列为等差数列为 a,b,a,b,- -2 2 或或- -2,b,a2,b,a 从而得从而得 到到 2b=a2b=a- -2,2,两式联立解出两式联立解出 a=4,b=1,a=4,b=1,所以所以 p=a+b=5,p=a+b=5, 所以所以
19、 p+q=4+5=9.p+q=4+5=9. 4.4.在等比数列在等比数列aan n 中，中， a a15 15 =10, a=10, a45 45=90, =90,则则 a a30 30 =_. =_. 5 5. .在等比数列在等比数列aan n 中中，a a1 1+a+a2 2 = =3030, , a a3 3+a+a4 4 = =120120, , 则则a a5 5+a+a6 6=_=_. . 3030 480480 或或- -3030 6 6. 3232 3232 与 的等比中项是的等比中项是_. 7 7.已知正数等比数列已知正数等比数列 n a 中，中， 12nnn aaa 1 对所
20、有的自然数对所有的自然数 n 都成立，则公比都成立，则公比 q =_. 5 1 2 【解析】【解析】方法一方法一: :各项均为正数的等比数列各项均为正数的等比数列aan n 中中 a a1 1a a5 5=a=a2 2a a4 4= = 2 3 a=4,=4,则则 a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5=2=2 5 5, , loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a2 2+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a4 4+log+log2 2a a5 5=log=log2 2( (a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5
21、 5) ) =log=log2 22 2 5 5=5. =5. 方法二方法二: :各项均为正数的等比数列各项均为正数的等比数列aan n 中中 a a1 1a a5 5=a=a2 2a a4 4= = 2 3 a=4,=4, 设设 loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a2 2+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a4 4+log+log2 2a a5 5=S,=S, 则则 loglog2 2a a5 5+log+log2 2a a4 4+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a2 2+log+log2 2a a1 1=S,=S, 2
22、S=5log2S=5log2 2(a(a1 1a a5 5)=10,S=5.)=10,S=5. 答案答案: :5 5 8 8.(2014.(2014广东高考广东高考) )等比数列等比数列aan n 的各项均为正数的各项均为正数, ,且且 a a1 1a a5 5=4,=4,则则 loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a2 2+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a4 4+log+log2 2a a5 5= = . . 1.1.证明或判断一个数列为等比数列的方法证明或判断一个数列为等比数列的方法: : (1) =q (n(1) =q (n 2 2 且且q0
23、q0) )aan n 为等比数列为等比数列. . ( (适用于选择题、填空题和解答题适用于选择题、填空题和解答题) ) (2)a(2)an n=cq=cqn n (c,q0) (c,q0)aan n 为等比数列为等比数列. . ( (适用于选择题、填空题适用于选择题、填空题) ) (3)a(3)a2 2n+1 n+1=a =an na an+2 n+2 aan n 为等比数列为等比数列. . ( (适用于选择题、填空题适用于选择题、填空题) ) n n 1 a a 2 2. .等差、等比数列的判定方法等差、等比数列的判定方法比较比较 定义法定义法 中项法中项法 a an+1 n+1- -a a
24、n n=d(d =d(d为常数为常数) ) 方法方法 分类分类 等差等差 数列数列 等比等比 数列数列 2a2an+1 n+1 a an n+a+an+2 n+2（ （nNnN* *） n 1 n a q(q a q0) 为常数， 2 n 1nn 2 n aaa (nN*a0) ， 3.3.等比数列的性质等比数列的性质: : (1)a(1)an n=a=am mq qn n- -m m（n,mNn,mN* *） (2)(2)若若m+n=p+qm+n=p+q，则，则a am ma an n= a= ap pa aq q（m,n,p,qNm,n,p,qN* *） (3)(3)等比数列中，每隔等比数列中，每隔k k项取一项项取一项, ,按原来顺序排按原来顺序排 列列, ,所得的新数列仍为等比数列所得的新数列仍为等比数列. . (4)a(4)a1 1a a2 2, a, a3 3a a4 4, a, a5 5a a6 6, , 仍为等比数列仍为等比数列. . (5)(5)在等比数列中在等比数列中, ,从第二项起从第二项起, ,每一项都是它等每一项都是它等 距离的前后两项的等比中项距离的前后两项的等比中项. . 珍惜现在，别在毫无意义的事情上浪费时间。
