1、第2课时 等比数列的性质 【知识提炼知识提炼】 1.1.等比数列的项与序号的关系等比数列的项与序号的关系 两项关系两项关系 a an n=a=am m_(n_(n，mNmN* *) ) 多项关系多项关系 若若aan n 为等比数列，且为等比数列，且m+n=p+qm+n=p+q (m(m，n n，p p，qNqN* *) )，则，则_ q qn n- -m m a am maan n=a=ap paaq q 2.2.等比数列的单调性等比数列的单调性 公比公比q q 单调性单调性 首项首项a a1 1 q1q1 00 _数列数列 _数列数列 _数列数列 摆动摆动 数列数列 a a1 11，则数列，
2、则数列aan n 是递增数是递增数 列列.(.( ) ) 【解析解析】(1)(1)正确正确. .根据等比数列中任意两项关系，即根据等比数列中任意两项关系，即 a an n=a=am mq qn n- -m m(n(n，mNmN* *) )可知该说法正确可知该说法正确. . (2)(2)错误错误. .例如等比数列例如等比数列1 1，2 2，4 4，8 8，中，中，a a1 1a a2 2aa3 3. . (3)(3)错误错误. .在等比数列在等比数列aan n 中，若中，若q1q1，数列，数列aan n 并不一并不一 定是递增数列，如等比数列定是递增数列，如等比数列- -1 1，- -2 2，-
3、 -4 4，公比，公比 q=21q=21，但此数列是递减数列，但此数列是递减数列. . 答案：答案：(1)(1) (2)(2) (3)(3) 2.2.等比数列等比数列aan n 中，中，a a5 5=3=3，q= q= ，则，则a a3 3=(=( ) ) 【解析解析】选选D.D.因为数列因为数列aan n 是等比数列，所以是等比数列，所以a a5 5=a=a3 3q q2 2， 所以所以3=a3=a3 3 ，所以，所以a a3 3=12.=12. 1 2 33 A. B. C.6 D.12 42 2 1 ( ) 2 3.3.若数列若数列aan n 为等比数列，则下列式子一定成立的为等比数列，
4、则下列式子一定成立的 是是( ( ) ) A.aA.a2 2+a+a5 5=a=a1 1+a+a6 6 B.aB.a1 1a a9 9=a=a10 10 C.aC.a1 1a a9 9=a=a3 3a a7 7 D.aD.a1 1a a2 2a a7 7=a=a4 4a a6 6 【解析解析】选选C.C.以等比数列以等比数列332 2n n 为例进行检验，可知为例进行检验，可知 A A，B B，D D均不成立均不成立. .对于对于C C，因为，因为a a1 1a a9 9=a=a1 12 2q q8 8，a a3 3a a7 7=a=a1 12 2q q8 8， 所以所以a a1 1a a9
5、9=a=a3 3a a7 7. . 4.4.已知摆动数列已知摆动数列aan n 是等比数列，且是等比数列，且a a2 2=1=1，a a4 4=16=16，则，则 公比公比q q为为_._. 【解析解析】由由题意得题意得q q2 2= =16= =16， 所以所以q=q=4 4，又因为数列，又因为数列aan n 是摆动数列，是摆动数列， 所以所以q=q=- -4.4. 答案：答案：- -4 4 4 2 a a 5.5.在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a10 10+a +a11 11= = ，a a11 11+a +a12 12=2 =2，则公比，则公比 q=_.q=_. 【解析解析
6、】因为因为a a11 11+a +a12 12=(a =(a10 10+a +a11 11)q )q，所以，所以q= q= 答案：答案： 2 1112 1011 aa2 2. aa2 2 【知识探究知识探究】 知识点知识点1 1 等比数列通项公式的推广等比数列通项公式的推广 观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题： 问题问题1 1：等比数列通项公式的推广形式是如何得出的？：等比数列通项公式的推广形式是如何得出的？ 问题问题2 2：等比数列通项公式的推广形式的主要作用是什：等比数列通项公式的推广形式的主要作用是什 么？么？ 【总结提升总结提升】 1.1.等比数列通项公式推
7、广形式的证明等比数列通项公式推广形式的证明 设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q q，则，则 a an n=a=a1 1q qn n- -1 1，a am m=a=a1 1q qm m- -1 1，m m，nNnN* *，两式相除得，两式相除得 所以所以a an n=a=am mq qn n- -m m. . n 1 n 1m 1 n m n1 m 1 m1 aa q qq aa q ， 2.2.等比数列通项公式的推广形式的作用等比数列通项公式的推广形式的作用 (1)(1)求等比数列的公比求等比数列的公比. . (2)(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，使用在已知等比数列中任
8、意两项的前提下，使用 a an n=a=am mq qn n- -m m，可求出等比数列的任何一项，可求出等比数列的任何一项. . 知识点知识点2 2 等比数列的性质等比数列的性质 观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题： 问题问题1 1：等比数列：等比数列aan n 中，若中，若m+n=s+tm+n=s+t，则，则a am ma an n=a=as sa at t， 该结论是如何证明的？该结论是如何证明的？ 问题问题2 2：已知数列：已知数列aan n 是等比数列，还有哪些与该数列是等比数列，还有哪些与该数列 有关的等比数列呢？有关的等比数列呢？ 【总结提升总结提升】
9、 1.1.等比数列中四项关系的性质及证明等比数列中四项关系的性质及证明 若等比数列若等比数列aan n 中，中，m m，n n，s s，tNtN* *且且m+n=s+tm+n=s+t， 则则a am ma an n=a=as sa at t. . 证明：设等比数列证明：设等比数列aan n 的公比为的公比为q q， a am ma an n= a= a1 1q qm m- -1 1aa1 1q qn n- -1 1=a=a1 12 2q qm+n m+n- -2 2， ， a as sa at t= a= a1 1q qs s- -1 1aa1 1q qt t- -1 1=a=a1 12 2q
10、 qs+t s+t- -2 2， ， 因为因为m+n=s+tm+n=s+t，所以，所以a am ma an n=a=as sa at t. . 2.2.等比数列的“子数列”的性质等比数列的“子数列”的性质 数列数列aan n 是公比为是公比为q q的无穷等比数列的无穷等比数列. . (1)(1)去掉数列去掉数列aan n 的前的前m m项后余下的项仍组成公比为项后余下的项仍组成公比为q q的的 等比数列等比数列. . (2)(2)奇数项数列奇数项数列aa2n 2n- -1 1 是公比为 是公比为q q2 2的等比数列；偶数项的等比数列；偶数项 数列数列aa2n 2n 是公比为 是公比为q q2
11、 2的等比数列的等比数列. . (3)(3)在数列在数列aan n 中每隔中每隔k(kNk(kN* *) )项取出一项，按原来顺项取出一项，按原来顺 序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为q qk+1 k+1. . 【题型探究题型探究】 类型一类型一 等比数列通项公式的推广和应用等比数列通项公式的推广和应用 【典例典例】1.(20151.(2015全国卷全国卷)等比数列等比数列aan n 满足满足a a1 1=3=3， a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=21=21，则，则a a3 3+a+a5 5+a+a7 7=(=( ) ) A.21A.
12、21 B.42B.42 C.63C.63 D.84D.84 2.2.已知等比数列已知等比数列aan n 为递增数列，且为递增数列，且a a5 52 2=a=a10 10， ，2(a2(an n+a+an+2 n+2)= )= 5a5an+1 n+1，则数列的通项公式 ，则数列的通项公式a an n=_.=_. 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，解题的基本思路是什么？中，解题的基本思路是什么？ 提示：提示：利用条件利用条件a a1 1=3=3，a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=21=21求出公比，再利用求出公比，再利用 a a3 3+a+a5 5+a+a7 7=(a=(a1
13、1+a+a3 3+a+a5 5)q)q2 2求值求值. . 2.2.典例典例2 2中，中，a an+2 n+2， ，a an+1 n+1与 与a an n有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：a an+2 n+2=a =an nq q2 2，a an+1 n+1=a =an nq.q. 【解析解析】1.1.选选B.B.设等比数列的公比为设等比数列的公比为q q，则，则 a a1 1+a+a1 1q q2 2+a+a1 1q q4 4=21=21，又因为，又因为a a1 1=3=3， 所以所以q q4 4+q+q2 2- -6=06=0，解得，解得q q2 2=2=2， a a3 3+a+a5
14、5+a+a7 7=(a=(a1 1+a+a3 3+a+a5 5)q)q2 2=42.=42. 2.2.设等比数列的公比为设等比数列的公比为q.q. 因为因为a a5 52 2=a=a10 10，所以 ，所以(a(a1 1q q4 4) )2 2=a=a1 1q q9 9，所以，所以a a1 1=q=q， 所以所以a an n=q=qn n. .因为因为2(a2(an n+a+an+2 n+2)=5a )=5an+1 n+1， ， 所以所以2a2an n(1+q(1+q2 2)=5a)=5an nq q， 所以所以2(1+q2(1+q2 2)=5q)=5q，解得，解得q=2q=2或或q= (q=
15、 (舍去舍去) )， 所以所以a an n=2=2n n. . 答案：答案：2 2n n 1 2 【方法技巧方法技巧】等比数列推广的通项公式的应用技巧等比数列推广的通项公式的应用技巧 (1)(1)由等比数列的任意两项可求出数列的公比，即由由等比数列的任意两项可求出数列的公比，即由a an n =a=am mq qn n- -m m可得可得q qn n- -m m= = ，进一步计算公比，进一步计算公比. . (2)(2)由等比数列的任意一项和公比可以求出该等比数列由等比数列的任意一项和公比可以求出该等比数列 的通项公式的通项公式. . (3)(3)等比数列推广的通项公式可揭示等比数列中两个相等
16、比数列推广的通项公式可揭示等比数列中两个相 同项数的和之间的关系，如同项数的和之间的关系，如a a4 4+a+a6 6+a+a8 8=(a=(a1 1+a+a3 3+a+a5 5)q)q3 3. . n m a a 【变式训练变式训练】已知数列已知数列aan n 为等比数列，且为等比数列，且a a1 1a a9 9=64=64， a a3 3+a+a7 7=20=20，求，求a a11 11. . 【解析解析】因为数列因为数列aan n 为等比数列，为等比数列， 所以所以a a1 1a a9 9=a=a3 3a a7 7=64=64，又因为，又因为a a3 3+a+a7 7=20=20， 所以
17、所以a a3 3，a a7 7是方程是方程t t2 2- -20t+64=020t+64=0的两个根的两个根. . 所以所以a a3 3=4=4，a a7 7=16=16或或a a3 3=16=16，a a7 7=4.=4.当当a a3 3=4=4时，时， a a3 3+a+a7 7=a=a3 3+a+a3 3q q4 4=20=20， 所以所以1+q1+q4 4=5=5，所以，所以q q4 4=4.=4. 当当a a3 3=16=16时，时，a a3 3+a+a7 7=a=a3 3(1+q(1+q4 4)=20)=20， 所以所以1+q1+q4 4= = ，所以，所以q q4 4= .= .
18、 所以所以a a11 11=a =a1 1q q10 10=a =a3 3q q8 8=64=64或或1.1. 5 4 1 4 【补偿训练补偿训练】 1.1.在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a2 012 2 012=8a =8a2 009 2 009，则公比 ，则公比q q的值的值 为为( ( ) ) A.2A.2 B.3B.3 C.4C.4 D.8D.8 【解析解析】选选A.A.因为因为 =q=q3 3=8=8，所以，所以q=2.q=2. 2012 2009 a a 2.2.在等比数列在等比数列aan n 中，存在正整数中，存在正整数m m，有，有a am m=3=3，a am+
19、5 m+5=24 =24， 则则a am+15 m+15=_. =_. 【解析解析】因为因为 =q=q5 5=8=8，又因为，又因为 =q=q10 10=(q =(q5 5) )2 2=8=82 2. . 所以所以a am+15 m+15=a =am mq q10 10=24 =248 82 2=1 536.=1 536. 答案：答案：1 5361 536 m 5 m a a m 15 m 5 a a 类型二类型二 等比数列性质的应用等比数列性质的应用 【典例典例】在等比数列在等比数列aan n 中，已知中，已知a a4 4a a7 7= =- -512512， a a3 3+a+a8 8=1
20、24=124，且公比为整数，求数列，且公比为整数，求数列aan n 的通项公式的通项公式. . 【解题探究解题探究】本例中，哪个条件可以用等比数列的性本例中，哪个条件可以用等比数列的性 质进行转化？如何转化？质进行转化？如何转化？ 提示：提示：条件条件a a4 4a a7 7= =- -512512可利用可利用“若若m+n=k+m+n=k+l，则，则a am ma an n=a=ak ka al” 转化为转化为a a3 3a a8 8= =- -512.512. 【解析解析】由由a a4 4a a7 7= =- -512512，知，知a a3 3a a8 8= =- -512.512. 解方程
21、组解方程组 得得 因为因为q q为整数，所以为整数，所以q= =q= =- -2 2， 所以所以a an n=a=a3 3q qn n- -3 3= =- -4 4( (- -2)2)n n- -3 3=(=(- -1)1)n n- -2 22 2n n- -1 1. . 38 38 a a512 aa124. ， 33 88 a4a128 a128.a4. ， 或 8 5 3 a a 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )若将典例中条件“若将典例中条件“a a4 4a a7 7= =- -512512，a a3 3+a+a8 8=124=124， 且公比为整数”改为“且公比
22、为整数”改为“a a7 7aa11 11=6 =6，a a4 4+a+a14 14=5” =5”，则结果，则结果 又如何？又如何？ 【解析解析】因为数列因为数列aan n 是等比数列，是等比数列， 所以所以a a4 4a a14 14=a =a7 7a a11 11=6. =6.解方程组解方程组 得得 所以所以 所以所以a an n=a=a4 4q qn n- -4 4=2=2 4 14 414 a a6 aa5. ， 44 1414 a2a3 a3.a2. ， 或 14 1010 10 4 a32 q. a23 或 n 4n 4 1010 32 ( )3 ( ). 23 或 2.(2.(变换
23、条件、改变问法变换条件、改变问法) )典例中等比数列满足的条件典例中等比数列满足的条件 改为改为a a4 4+a+a7 7=2=2，a a5 5aa6 6= =- -8 8，求，求a a1 1+a+a10 10. . 【解析解析】因为数列因为数列aan n 为等比数列，所以为等比数列，所以a a5 5a a6 6=a=a4 4a a7 7= =- -8.8. 联立联立 可解得可解得 当当 时，时，q q3 3= =- - ，故，故a a1 1+a+a10 10= +a = +a7 7q q3 3= =- -7 7； 当当 时，时，q q3 3= =- -2 2，同理，有，同理，有a a1 1+
24、a+a10 10= =- -7. 7. 47 47 aa2 a a8. ， 44 77 a4a2 a2.a4. ， 或 4 7 a4 a2 ，1 2 4 3 a q 4 7 a2 a4 ， 【方法技巧方法技巧】巧用等比数列的性质解题巧用等比数列的性质解题 (1)(1)解答等比数列问题的基本方法解答等比数列问题的基本方法基本量法基本量法 基本步骤：运用方程思想列出基本量基本步骤：运用方程思想列出基本量a a1 1和和q q的方程组，的方程组， 解出解出a a1 1和和q q，然后利用通项公式求解；，然后利用通项公式求解； 优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时优缺点：适用面广，入手简单，思
25、路清晰，但有时 运算稍繁运算稍繁. . (2)(2)利用等比数列的性质解题利用等比数列的性质解题 基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分 析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； 优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维 含量含量. . 【补偿训练补偿训练】若等比数列若等比数列aan n 的各项均为正数，且的各项均为正数，且 a a10 10a a1111+a +a9 9a a12 12=2e =2e5 5，求，求lnalna1 1+lna+
26、lna2 2+ +lna+lna20 20. . 【解析解析】方法一：各项均为正数的等比数列方法一：各项均为正数的等比数列aan n 中，中， a a10 10a a1111=a =a9 9a a12 12= = =a=a1 1a a20 20， ， 则则a a1 1a a20 20=e =e5 5， lnalna1 1+lna+lna2 2+ +lna+lna20 20=ln(a =ln(a1 1a a20 20) )10 10=lne =lne50 50=50. =50. 方法二方法二：各项均为正数的等比数列：各项均为正数的等比数列aan n 中，中， a a10 10a a1111=a
27、=a9 9a a12 12= = =a=a1 1a a20 20， ， 则则a a1 1a a20 20=e =e5 5， 设设lnalna1 1+lna+lna2 2+ +lna+lna20 20=S =S， 则则lnalna20 20+lna +lna19 19+ + +lna+lna1 1=S=S， 2S=20ln(a2S=20ln(a1 1a a20 20)=100 )=100，S=50.S=50. 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )若将本题条件“若将本题条件“a a10 10a a1111+a +a9 9a a12 12=2e =2e5 5”改为改为 “a a3
28、 3aa9 9=2=2a a5 52 2，a a2 2=2”=2”，其他条件不变，结果又如何？，其他条件不变，结果又如何？ 【解析解析】因为数列因为数列aan n 是等比数列，所以是等比数列，所以a a3 3a a9 9=a=a6 62 2，又因，又因 为为a a3 3a a9 9= =2a2a5 52 2，所以，所以2a2a5 52 2=a=a6 62 2，又因为，又因为a an n00，所以，所以 a a5 5=a=a6 6， 所以公比所以公比q= q= 又因为又因为a a2 2=2=2， 所以所以a an n= = 所以所以lnalna1 1+lna+lna2 2+ +lna+lna20
29、 20 =ln(a=ln(a1 1a a2 2a a20 20)= )= 2 6 5 a 2 a ， n n 2 2 2 ( 2)2 . 1(1 2 20) 2 ln 2 201 201 ln 2105ln 2. 22 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )将本题条件“将本题条件“a a10 10a a1111+a +a9 9a a12 12 =2e=2e5 5”改为“改为“a a3 3a a8 8=9”=9”，其他条件不变，求，其他条件不变，求loglog3 3a a1 1+ + loglog3 3a a10 10的值 的值. . 【解析解析】loglog3 3a a1 1+
30、log+log3 3a a10 10 =log=log3 3(a(a1 1aa10 10)=log )=log3 3(a(a3 3aa8 8)=log)=log3 39=2.9=2. 类型三类型三 等差、等比数列的综合问题等差、等比数列的综合问题 【典例典例】1.(20151.(2015襄阳高一检测襄阳高一检测) )等比数列等比数列aan n 中，中， a a1 1=512=512，公比，公比q=q=- - ，记，记T Tn n=a=a1 1a a2 2a an n，则，则T Tn n取最大取最大 值时值时n n的值为的值为( ( ) ) A.8A.8 B.9B.9 C.9C.9或或1010
31、D.11D.11 1 2 2.(20152.(2015湖州高一检测湖州高一检测) )已知数列已知数列aan n 满足：满足：a a1 1=2=2， a an+1 n+1=a =an n2 2- -kakan n+k(kR)+k(kR)，a a1 1，a a2 2，a a3 3分别是公差不为零的分别是公差不为零的 等差数列等差数列bbn n 的前三项的前三项. . (1)(1)求求k k的值的值. . (2)(2)求证：对任意的求证：对任意的nNnN* *，b bn n，b b2n 2n， ，b b4n 4n不可能成等比 不可能成等比 数列数列. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中
32、，中，T Tn n符号的变化规律是什么？符号的变化规律是什么？ 如何将如何将|T|Tn n| |表示为关于表示为关于n n的函数？的函数？ 提示：提示：从第从第1 1项开始项开始T Tn n的符号变化规律成正、负、负、的符号变化规律成正、负、负、 正周期变化正周期变化. .利用等比数列的通项公式、指数运算的法利用等比数列的通项公式、指数运算的法 则和等差数列求和公式，可将则和等差数列求和公式，可将|T|Tn n| |表示为关于表示为关于n n的函数的函数. . 2.2.典例典例2 2第第(1)(1)问中问中a a1 1，a a2 2，a a3 3满足什么关系？如何用满足什么关系？如何用k k
33、表示表示a a2 2，a a3 3？第？第(2)(2)问中若问中若b bn n，b b2n 2n， ，b b4n 4n能成等比数列， 能成等比数列， 则可推出什么结果？则可推出什么结果？ 提示：提示：第第(1)(1)问中问中2a2a2 2=a=a1 1+a+a3 3，根据，根据a a1 1=2=2，a a2 2=a=a1 12 2- -kaka1 1+k+k， a a3 3=a=a2 22 2- -kaka2 2+k+k，可用，可用k k表示表示a a2 2，a a3 3. .第第(2)(2)问中若问中若b bn n，b b2n 2n， ， b b4n 4n能成等比数列，则可推 能成等比数列，
34、则可推b b2n 2n2 2=b =bn nbb4n 4n. . 【解析解析】1.1.选选B.aB.an n=a=a1 1q qn n- -1 1=512=512 =(=(- -1)1)n n- -1 12 29 92 21 1- -n n=(=(- -1)1)n n- -1 12 210 10- -n n. . 所以所以|T|Tn n|=|a|=|a1 1a a2 2a an n| | =2=29+8+ 9+8+10+10- -n n= = 所以当所以当n=9n=9或或1010时，时，|T|Tn n| |最大最大. . 又因为又因为T T10 100，所以，所以T T9 9最大最大. . n
35、 1 1 () 2 ， n 9 10 nn 19 n 22 22 ， 2.(1)2.(1)因为因为a a1 1=2=2，所以，所以a a2 2=4=4- -k k，a a3 3=2k=2k2 2- -11k+16.11k+16. 又因为又因为2a2a2 2=a=a1 1+a+a3 3，所以，所以2k2k2 2- -9k+10=09k+10=0，解得，解得k=2k=2或或 ， 又因为又因为bbn n 的公差不为零，所以的公差不为零，所以k= .k= . 5 2 5 2 (2)(2)由由(1)(1)知，知，b bn n= = 假如假如b bn n，b b2n 2n， ，b b4n 4n成等比数列，
36、则 成等比数列，则b bn nb b4n 4n=b =b2n 2n2 2. . 代入化简得：代入化简得：(5(5- -n)(5n)(5- -4n)=(54n)=(5- -2n)2n)2 2，解得，解得n=0.n=0. 与与nNnN* *矛盾，故矛盾，故b bn n，b b2n 2n， ，b b4n 4n不可能成等比数列 不可能成等比数列. . 5 n . 2 【延伸探究延伸探究】在典例在典例1 1的条件下，试分析的条件下，试分析T T2016 2016的符号 的符号. . 【解析解析】由于等比数列由于等比数列aan n 中中a a1 100，q=q=- - 0. 1 2 【方法技巧方法技巧】解
37、决等差、等比数列的综合问题应注意解决等差、等比数列的综合问题应注意 的四个方面的四个方面 (1)(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用. . (2)(2)对于解答题注意基本量及方程思想对于解答题注意基本量及方程思想. . (3)(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构 造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质 解题解题. . (4)(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的 项与项之间的关系，又
38、要横向考查各数列之间的内在项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在 联系联系. . 【变式训练变式训练】已知在等差数列已知在等差数列aan n 与等比数列与等比数列bbn n 中，中， 公差与公比均为公差与公比均为d(d0d(d0，且，且d1).d1).若若a a1 1=b=b1 1，a a3 3=3b=3b3 3， a a5 5=5b=5b5 5，求它们的通项公式，求它们的通项公式. . 【解题指南解题指南】由条件可建立由条件可建立a a1 1与与d d的方程组求解的方程组求解. . 【解析解析】因为因为a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d，b bn n=b=b1
39、1q qn n- -1 1=a=a1 1d dn n- -1 1， 所以由所以由 得得 - -2 2，得，得5a5a1 1d d4 4- -6a6a1 1d d2 2+a+a1 1=0.=0. 因为因为a a1 100，所以，所以5d5d4 4- -6d6d2 2+1=0.+1=0. 33 55 a3b a5b ， ， 2 11 4 11 a2d3a d a4d5a d. ， 解得解得d d2 2= = 或或d d2 2=1=1，又因为，又因为d0d0，且，且d1d1， 所以所以d= .d= .代入，得代入，得a a1 1= =- - . . 所以所以a an n=a=a1 1+(n+(n-
40、-1)d= 1)d= b bn n=b=b1 1d dn n- -1 1=a=a1 1d dn n- -1 1= = 1 5 5 5 5 55 5n 1n6 55 ， n 1n 55 5 ()5 () . 55 【补偿训练补偿训练】已知等比数列已知等比数列bbn n 与数列与数列aan n 满足满足b bn n= = (nN(nN* *).). (1)(1)若若a a8 8+a+a13 13=m =m，求，求b b1 1bb2 2bb20 20. . (2)(2)若若b b3 3bb5 5=3=39 9，a a4 4+a+a6 6=3=3，求，求b b1 1bb2 2bbn n的最大值的最大值
41、. . n a 3 【解析解析】(1)(1)易证得易证得aan n 是以是以loglog3 3q q为公差的等差数列为公差的等差数列 (q(q为等比数列为等比数列bbn n 的公比的公比).). 又因为又因为a a8 8+a+a13 13=m =m，所以，所以b b1 1b b20 20= = 所以所以b b1 1b b2 2b b20 20=(b =(b1 1b b20 20) )10 10=3 =310m 10m. . 201201 aaaam 3333 ， 19219101011211 aaaaaaaamm 2191011 b b3333b b3333 ， ， (2)(2)由由b b3
42、3b b5 5=3=39 9，得，得a a3 3+a+a5 5=9.=9.又因为又因为a a4 4+a+a6 6=3=3， 所以所以d=d=- -3 3，a a1 1= = ，所以，所以a an n= +(n= +(n- -1)1)( (- -3).3). 于是于是a a1 1+a+an n= + +3= + +3- -3n=303n=30- -3n3n，所以，所以b b1 1b b2 2b bn n = = 所以，当所以，当n=5n=5时，时，b b1 1b b2 2b bn n取得最大值取得最大值 . . 27 2 27 2 27 2 27 2 2 1n n3 n n10n aa 22 2
43、 1n b b(3)3 ， 75 2 3 拓展类型拓展类型 等比数列的实际应用等比数列的实际应用 【典例典例】1.1.已知某猪场的猪每一年都在上一年存栏的已知某猪场的猪每一年都在上一年存栏的 基础上增加一倍，并且每年卖出基础上增加一倍，并且每年卖出500500头，该猪场头，该猪场20152015年年 卖出后存栏数为卖出后存栏数为1 0001 000头，则到头，则到_年时，该猪场年时，该猪场 的猪的存栏数开始超过的猪的存栏数开始超过1 024 5001 024 500头头. . 2.“2.“猴子分苹果”的趣题：海滩边五只猴子分一堆苹猴子分苹果”的趣题：海滩边五只猴子分一堆苹 果，第一只猴子把苹果
44、分成五等份，还多一个，把多果，第一只猴子把苹果分成五等份，还多一个，把多 的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分 成五等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一成五等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一 份份. .以后的三只都是如此，则最初至少有多少个苹果？以后的三只都是如此，则最初至少有多少个苹果？ 最后至少剩下多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？ 【解析解析】1.1.设设20152015年，年，20162016年，年，20172017年，年，n n年，年， 猪场的猪的存栏数依次为猪场的猪的存栏数依次为a a1 1，a a2 2，a
45、a3 3，a an n，. . 由题意得由题意得a a1 1=1000=1000，a an n=2a=2an n- -1 1- -500500，n2n2，nNnN* *， 所以所以a an n- -500=2(a500=2(an n- -1 1- -500)500)， 所以所以aan n- -500500是一个首项为是一个首项为500500，公比为，公比为2 2的等比数列，的等比数列， 所以所以a an n- -500=500500=5002 2n n- -1 1，a an n=500+500=500+5002 2n n- -1 1， 令令500+500500+5002 2n n- -1 11 024 5001 024 500，得，得2 2n n- -1 12 048.2 048. 解得解得n12n12，即，即a a13 131 024 500. 1 024 500. 所以所以13+201513+2015- -1=2027.1=2027. 故故20272027
