1、3.3.3 函数的最大(小)值与导数 第三章 3.3 导数在研究函数中的应用 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 函数f(x)在闭区间 a，b 上的最值 函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a， b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取 得. 知识点二 求函数yf(x)在 a，b 上的最值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的 . (2)将函数yf(x)的各极值与 的函数值f
2、(a)，f(b)比较，其中最大的一 个是 ，最小的一个是 . 答案 端点 极值点 极值 端点处 最大值 最小值 知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y
3、Mf(x3) f(b)分别在xx3及xb处取得，最小值 ymf(x4)在xx4处取得. 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 求函数在闭区间上的最值 例1 求下列各函数的最值： (1)f(x)2x36x23，x2,4； 解 f(x)6x212x6x(x2). 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 令f(x)0，得x0或x2. x 2 (2,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4 f(x) 0 0 f(x) 37 极大值3 极小值5 35 当x4时，f(x)取最大值35. 即f(x)的最大值为35，最小值为37. 当x2时，f(x)取最小值37. 解析答案 反思与感悟 (2)f
4、(x)x33x26x2，x1,1. 解 f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23， f(x)在1,1内恒大于0， f(x)在1,1上为增函数. 故x1时，f(x)最小值12； x1时，f(x)最大值2. 即f(x)的最小值为12，最大值为2. 解析答案 跟踪训练1 求下列函数的最值： (1)f(x)1 2xsin x，x0,2； 解 f(x)1 2cos x，x0,2. 令 f(x)0，得 x2 3 或 x4 3 . 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 0，2 3 2 3 2 3 ，4 3 4 3 4 3 ，2 2 f(x) 0 0 f(x) 0 单调递增 3
5、3 2 单调递减 2 3 3 2 单调递增 所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0； 即f(x)的最小值为0，最大值为. 当x2时，f(x)有最大值f(2). 解析答案 (2)f(x)exex，x0，a，a为正实数. 解 f(x) 1 ex (ex) 1 exe x1e 2x ex . 当x0，a时，f(x)0恒成立， 即f(x)在0，a上是减函数. 故当xa时，f(x)有最小值f(a)eaea； 当x0时，f(x)有最大值f(0)e0e00. 即f(x)的最小值为eaea，最大值为0. 解析答案 题型二 含参数的函数的最值问题 例2 已知函数f(x)x33x29xa. (1)求f(x)的单
6、调递减区间； 解 f(x)3x26x93(x1)(x3). 令f(x)0，得x1或x3， 故函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，). 解析答案 (2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 解 因为f(2)81218a2a， 所以f(2)f(2)， 所以f(x)在1,2上单调递增， 所以f(1)是f(x)的极小值，且f(1)a5， 所以f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值， 于是有22a20，解得a2. 所以f(1)257， 即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7. 反思与感悟 f(2)81218a22a， 因为在(1,3)上f(x
7、)0， 解析答案 跟踪训练2 已知函数f(x)ax36ax2b在1,2上有最大值3， 最小值29，求a，b的值. 解析答案 题型三 函数最值的应用 例3 设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0). (1)求f(x)的最小值h(t)； 解 f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)， 当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1， 即h(t)t3t1. 解析答案 (2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围. 解 令g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去). 当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表： t (0,1)
8、1 (1,2) g(t) 0 g(t) 单调递增 1m 单调递减 对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m， 也就是g(t)0对t(0,2)恒成立， 故实数m的取值范围是(1，). h(t)2tm对t(0,2)恒成立， 只需g(t)max1m1. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其 中a，b，c为常数，若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围. 解 由题意，知f(1)3c. 因此bc3c，从而b3. 所以对 f(x)求导，得 f(x)4ax3ln xax4 1 x12x 3x3(4aln xa12). 由
9、题意，知f(1)0，即a120，得a12. 所以f(x)48x3ln x(x0)， 当0x1时，f(x)0，此时f(x)为减函数； 当x1时，f(x)0，此时f(x)为增函数. 所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c， 所以要使f(x)2c2(x0)恒成立， 令f(x)0，得x1. 并且此极小值也是最小值. 只需3c2c2即可. 整理，得 2c2c30，解得 c3 2或 c1. 所以 c 的取值范围是(，1 3 2， . 解析答案 返回 解后反思 思想方法 分类讨论思想的应用 例 4 设 f(x)ln x，g(x)f(x)f(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值； (2)讨论 g(
10、x)与 g 1 x 的大小关系； (3)求 a 的取值范围，使 g(a)g(x)1 a对任意 x0 成立. 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是 ( ) A.f(2)，f(3) B.f(3)，f(5) C.f(2)，f(5) D.f(5)，f(3) 解析 f(x)2x4， 当x3,5时，f(x)0， 故f(x)在3,5上单调递减， 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5). B 解析答案 1 2 3 4 5 2.函数f(x)x33x(|x|1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但
11、有最小值 D.既无最大值，也无最小值 解析 f(x)3x233(x1)(x1)， 当x(1,1)时，f(x)0， 则函数在区间 2， 上为增函数， 所以y的最大值为ymaxsin ，故选C. C 解析答案 1 2 3 4 5 4.函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小 值为_. 解析 f(x)3x26x93(x3)(x1). 由f(x)0得x3或x1. 又f(4)k76，f(3)k27， f(1)k5，f(4)k20. 由f(x)maxk510，得k5， f(x)mink7671. 71 解析答案 1 2 3 4 5 5.已知a为实数，f(x)(x24)(xa)，若
12、f(1)0，函数f(x)在2,2 上的最大值为_，最小值为_. 解析 由原式，得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4. 由 f(1)0，得 a1 2， 此时 f(x)x31 2x 24x2， f(x)3x2x4. 令 f(x)0，得 x1 或 x4 3. 因为 f(1)9 2，f 4 3 50 27，f(2)f(2)0， 所以函数 f(x)在2,2上的最大值为9 2，最小值为 50 27. 9 5 50 27 课堂小结 返回 1.求函数的最值时，应注意以下几点 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值 是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念. (2)闭区间a，b上的连续函数一定有最值.开区间(a，b)内的可导函数不一 定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个， 而函数的极值则可能 不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值). 2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
