1、-1-北师大版高中数学选修2-2习题课件2.1变化的快慢与变化率变化的快慢与变化率XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1.函数的平均变化率函数y=f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为f(x2).记x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1).(3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.(4)作用:刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢.XINZHID
2、AOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页名师点拨对平均变化率的理解(1)y=f(x)在区间x1,x2上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间x1,x2上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间x1,x2上越“陡峭”,反之亦然.(3)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在时间段t1,t2上的平均速度,即(4)改变量并不一定都是正值,也可以是负值,函数值的改变量还可以是0,比如常数函数,其函数值的改变量就是0.(5)注意变量的对应,若x=x2-x1,则y=f(
3、x2)-f(x1),而不是y=f(x1)=f(x2).XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页【做一做1】函数f(x)=x2在区间-1,3上的平均变化率是()答案:B XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页2.瞬时变化率及瞬时速度对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设x=x1-x0,y=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是而当x趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.名师点拨1.瞬时变
4、化率是刻画函数值在x0点处变化的快慢,而平均变化率刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢.2.瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页【做一做2】如果某物体作运动方程为s=2(1-t2)的直线运动(s的单位:m,t的单位:s),那么,物体在1.2 s末的瞬时速度为()A.-4.8 m/sB.-0.8 m/sC.0.88 m/sD.4.8 m/s即t=1.2 s时的瞬时速度为-4.8 m/s.答案:A XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解
5、惑首页思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)对于常数函数y=a(a是常数),它的平均变化率为0.()(2)若函数f(x)在区间x1,x2内的平均变化率为0,则说明函数f(x)在区间x1,x2上没有发生变化.()(3)在平均变化率的定义中,自变量x在区间x1,x2上的改变量x为任意实数.()(4)函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+x时,函数值的改变量y是f(x0+x)-f(x0).()(5)瞬时速度是平均速度的极限值.()XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨
6、析平均变化率平均变化率【例1】求函数y=3x2+2在下列区间上的平均变化率.(1)2,2.1;(2)2,2+x.分析:可以先求自变量的增量和函数值的增量,再代入公式求解.解:(1)函数y=3x2+2在区间2,2.1上的平均变化率为(2)函数y=3x2+2在区间2,2+x上的平均变化率为 反思感悟求函数平均变化率的步骤第一步,求自变量的改变量x=x2-x1,第二步,求函数值的改变量y=f(x2)-f(x1).XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间
7、1,1+t内相应的平均速度为()A.-3t-6B.-3t+6C.3t-6D.3t+6解析:质点在1,1+t内的平均变化率,答案:A XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析瞬时变化率瞬时变化率【例2】已知s(t)=gt2,其中g=10 m/s2.(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度.解:(1)t=3.1-3=0.1(s),t指时间改变量,XINZHIDAOXUE新知导学
8、DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析(2)t=3.01-3=0.01(s),t指时间改变量,(3)由瞬时速度的定义可知 当t=3 s时的瞬时速度为30 m/s.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析反思感悟根据条件求瞬时速度的步骤(1)探究非匀速直线运动的规律s=s(t);(2)由时间改变量t确定位移改变量s=s(t0+t)-s(t0);XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探
9、究三思维辨析变式训练变式训练2以初速度v0(v00)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t-gt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度.因此物体在时刻t0的瞬时速度为v0-gt0.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析平均变化率的应用平均变化率的应用【例3】求函数y=x2在x0到x0+x之间的平均变化率,并结合图像探讨当x取定值后,随x0取值不同,该函数的平均变化率的变化特点及其含义.分析:由题目可获取以下主要信息:已知函数的解析式;求该函数的平均变化率并指出变化率的变化特点及含义,解答本题时可数形结合,
10、根据定义求解.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析则函数图像越陡峭.反思感悟函数的平均变化率反映了函数图像上两点连线的斜率,函数平均变化率的绝对值越大,斜率的绝对值越大,图像也越陡峭.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练3一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+1,该质点在2,2+t(t0)上的平均速度不大于5,则t的取值范围是.解析:质点在2,2+t上的平均速度 又t0,t的取值范围是(
11、0,1.答案:(0,1 XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析因错用平均变化率公式而致误【典例】已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,-14),求该曲线在PQ段的平均变化率.易错分析:在函数的平均变化率的求法公式中,y必须对应x,即若x=x2-x1,则y=f(x2)-f(x1),若x=x1-x2,则y=f(x1)-f(x2).解:x1=1,y1=0,x2=2,y2=-14,x=x2-x1=2-1=1,y=y2-y1=-14-0=-14.纠错心得在平均变化率的定义中,增量x的形式是
12、多种多样的,但不论x是哪种形式,y必须选择相对应的形式.如x=x0-(x0-x),则y=f(x0)-f(x0-x);x=(x0+h)-(x0-h),则y=f(x0+h)-f(x0-h).XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,请计算t0,0.5时的平均速度 及t1,2时的平均速度 .解:当t0,0.5时,t=0.5-0=0.5(s),h=(-4.90.52+6.
13、50.5+10)-(-4.902+6.50+10)=2.025(m),当t1,2时,t=2-1=1(s),h=(-4.922+6.52+10)-(-4.9+6.5+10)=-8.2(m),XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1 2 3 41.设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变化到1.1时,函数的平均变化率为()A.2.1B.1.1 C.2D.0答案:A XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1 2 3 42.一物体的运动曲线为s=2t3,则其在第t=3秒时的瞬时
14、速度是()A.6B.18C.54 D.81解析:由瞬时速度的定义可知s=2(t+t)3-2t3=2(3+t)3-233=54t+18(t)2+2(t)3,答案:C XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1 2 3 43.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,第二年婴儿体重的平均变化率为 kg/月.答案:0.25 XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1 2 3 44.质点M按规律s=at2+1运动,若质点M在t=2时的瞬时速度为8,求常数a的值.解:质点M运动的平均速度为 瞬时速度为4a,即4a=8.a=2.
