1、幂函数(一一)问题引入问题引入(1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜x千克千克,那么她那么她支付和费用支付和费用y=元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为x,则则正方形的面积正方形的面积y=.(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为x,则则立方体的体积立方体的体积y=.(4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形那么这个正方形的边长的边长 y=.(5)如果如果某某人人x秒内骑车行进了秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的那么他骑车的平均速度平均速度 y=.我们先看几个具体问题我们先看几个具体问题:xy 21xy 1 xy2xy
2、3xy 以上问题中的函数具有什么共同特征以上问题中的函数具有什么共同特征?ayx(二二)探究新知探究新知你能说说幂函数有几个基本的特征你能说说幂函数有几个基本的特征?一般地，函数一般地，函数 叫做叫做幂函数幂函数，其中其中x x为自变量，为常数为自变量，为常数(R)R)。ayxaa2,2,如果函数如果函数f(xf(x)=(m+1)x )=(m+1)x 是幂函数是幂函数,则则m=_m=_1m00222)6(;1)5(;1)4(;2)3(;1)2(;31xyxyxyxyxyyx）（练习1、下列函数中，哪几个是幂函数？、下列函数中，哪几个是幂函数？答案答案:(2)(4)(6):(2)(4)(6)幂函
3、数的图象及其性质的探究幂函数的图象及其性质的探究 我们把前面研究指数函数与对数函数的方法应用到幂函数中来(1)y=x (2)y=x2 (3)y=x3(4)y=x1/2 (5)y=x-1 作具体幂函数图象观察图象特征总结函数性质4321-1-2-3-4-2246作出下列函数的图象作出下列函数的图象：yx2yx3yx12yx(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)从图象能得出他从图象能得出他们的性质吗们的性质吗?1 xy y=x y=x2y=x3 y=x1/2 y=x-1定义域值域奇偶性单调性 公共点奇奇偶偶奇奇非奇非奇非偶非偶奇奇(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1
4、)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）x0，+）时,增x（-，0时，减增增增增增增x0，+）时，减x（-，0时，减观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表yx2yx3yx12yx11 xy4321-1246观察图象并思考,在第一象限内:(三三)运用与提高运用与提高1.当0时,图象是_ (填上升或下降)2.当0时,图象是_ (填上升或下降).在直线X=1右侧:(i)当1时,图象在直线Y=X的_(填上方或下方)(ii)当01时,图象在直线Y=X的_(填上方或下方)下降上升上方下方幂函数的性质幂函数的性质:.所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)(
5、0,+)都有定义都有定义,并且函数并且函数图象都通过点图象都通过点(1,1(1,1);幂函数的定义域、值域幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，因奇偶性、单调性，因函数式中函数式中a a的不同而各异的不同而各异.如果如果aa0,0,则幂函数的图象过点则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)并在并在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数;a10a1a04.4.当当a a为奇数时，幂函数为奇函数；为奇数时，幂函数为奇函数；当当a a为偶数时，幂函数为偶函数为偶数时，幂函数为偶函数例例1 1:已知幂函数已知幂函数 (mZ(mZ)为偶函数为偶函数,且在且在区间区间(0,+(0,
6、+)上是单调减函数上是单调减函数,求函数求函数 .322)(mmxxf)(xf31,0322mmm即解:在(0,+)(0,+)上是单调减函数单调减函数,)(xf.2,1,0,mZm所以又f(xf(x)是偶函数是偶函数,m,m2 2-2m-3-2m-3应为偶数应为偶数.当当m=0m=0或或m=2m=2时时,m,m2 2-2m-3=-3-2m-3=-3不是偶数不是偶数,舍去舍去;当当m=1m=1时时,m,m2 2-2m-3=-4.-2m-3=-4.所以所以m=1.m=1.即即f(xf(x)=x-4)=x-4如果幂函数如果幂函数 是奇函数，是奇函数，且在区间（且在区间（0，+）内是增函数，求满足条件
7、）内是增函数，求满足条件的实数的实数m的集合。的集合。mxmmxf12)1()(变式训练:例例2.利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3)2.5-25与 2.7-25解解:(1)y=x0.8在在(0,+)内是增函数内是增函数,5.25.3 5.20.8 5.30.8(2)y=x0.3在在(0,+)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0,+)内是减函数内是减函数2.52.7-2/5练习练习比较大小：比较大小：21.5209.55.03.15.
8、05.15.122a5.121)3)2).),0)(.2上是增函数上是增函数在在证明幂函数证明幂函数例例 xxf则则且且任任取取证证明明,),0,:2121xxxx 2121212121)()()(xxxxxxxxxfxf 2121xxxx ,0,0,0212121 xxxxxx所所以以因因为为.),0)()()(21上上的的增增函函数数在在即即幂幂函函数数所所以以 xxfxfxf 证法二证法二:任取任取x1,x2 0，+）,且且x1 x2；证明幂函数证明幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.1)()(212121xxxxxfxf)()(21xfxf为增函数，在0)(xxf(1)(1)作
9、差法作差法:若给出的函数是有根号的式子若给出的函数是有根号的式子,往往采用有往往采用有理化的方式。理化的方式。(2)(2)作商法作商法:证明时要注意分子和分母均为正数证明时要注意分子和分母均为正数,否则不否则不一定能推出一定能推出(x(x1 1)(x(x2 2)。()f xx即即所以所以幂函数幂函数定义定义五个特殊幂函数五个特殊幂函数图象图象基本性质基本性质本节知识结构本节知识结构:课堂小结：课堂小结：1.P79习题习题2.3：1，2，3.2.思考：思考：幂函数在其他象限有图象吗？幂函数在其他象限有图象吗？其进一步性质（奇偶性）怎样研究呢？其进一步性质（奇偶性）怎样研究呢？1.P79习题习题2.3：1，2，3.2.思考：思考：幂函数在其他象限有图象吗？幂函数在其他象限有图象吗？其进一步性质（奇偶性）怎样研究呢？其进一步性质（奇偶性）怎样研究呢？解解:依题意依题意,得得1122 mm解方程解方程,得得 m=2或或m=0检验检验:当当 m=2时时,函数为函数为1)(xxf当当m=0时时,函数为函数为xxf)(所以所以m=2符合题意符合题意.不合题意不合题意,舍去舍去.
