1、2 2.3 3二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式一元二次函数、方程和不等式一二一、一元二次不等式的概念1.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-30,x2+5x0,-3x2-6x+10(a0);ax2+bx+c0(a0);ax2+bx+c0;x2-y0;-x2-3x0.其中是一元二次不等式的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:中当a=0时,它不是一元二次不等式;中有两个未知数,它不是一元二次不等式;是一元二次不等式;是分式不等式.答案:A一二二、一元二次不等式的解法1.(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?提示:把使ax2+
2、bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.当x为何值时,y=0?当x为何值时,y0.上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);当0 x5时,y0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x0;当x5时,y0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x0.一二(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?提示:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;抛物线
3、y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.(4)抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何用一元二次方程来说明这些位置关系?提示:抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴可能有两个交点(相交),一个交点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式与0的关系来判断.一二2.填空 一二3.做一做(1)不等式x2-2x0的解集是.(2)不等式x2+3x+62或x0;(2)-3x2+6x-20;(3)4x2-4x+10;(4)x2-2x+20.分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂
4、演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1解下列不等式:(1)4x2-20 x-25;(2)(x-3)(x-7)0;(3)-3x2+5x-40;(4)x(1-x)x(2x-3)+1
5、.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)不等式可化为4x2-20 x+250,由于=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是x|3x7.(3)不等式-3x2+5x-40,由于判别式=25-48=-230(x10时,其解集是x|xx2,当a0时,其解集是x|x1xx2.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集.解:关于x的不等式x2+ax+b0,得2x2-3x+10.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练
6、含参数的一元二次不等式的解法例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.分析:先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟 解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式进行讨论.(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3解关于x的不等式x2+3ax-4a2
7、0(aR).解:由于x2+3ax-4a20可化为(x-a)(x+4a)-4a,即a0时,解不等式为-4axa;当a-4a,即a0时,解不等式为ax0时,不等式的解集为x|-4axa;当a0时,不等式的解集为x|ax80,因此该车超速行驶.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设f(x)=ax2+bx+c(a0),则探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练当未说明不等式为一元二次不等式时,有2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.探究一探究二探究三探究四思维辨
8、析随堂演练典例若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-10对于xR恒成立,求实数m的取值范围.解:当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1.若m=3,不等式化为-10,显然对于xR恒成立,满足题意;若m=-1,不等式化为4x-10的解集为(-,-2)(0,+).(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的x-2,2,y+m3恒成立,求实数m的最大值.y=3x2+6x.(2)y+m3即m-3x2-6x+3,而x-2,2时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,m-21,实数m的最大值为-21.探究一探究二探究三探究
9、四思维辨析随堂演练1.不等式x2-90的解集为()A.x|x-3B.x|x3C.x|x3D.x|-3x3解析:由x2-90,可得x29,解得-3x0的解集为R,则实数a的取值范围是()A.(-16,0)B.(-16,0C.(-,0)D.(-8,8)解析:不等式4x2+ax+40的解集为R,=a2-4440,解得-8a8,实数a的取值范围是(-8,8),故选D.答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练3.已知关于x的不等式x2-ax+b0的解集为2,3,则a+b=.解析:关于x的不等式x2-ax+b0的解集为2,3,关于x的方程x2-ax+b=0的实数根为2和3,答案:11探究一探究二探
10、究三探究四思维辨析随堂演练4.某地年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少 t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是.解析:设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,令y900,即60(8t-t2)900,解得3t5.故t的取值范围是3,5.答案:3,5探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练5.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a0.解方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以当a-1时,原不等式的解集为x|ax-1时,原不等式的解集为x|-1xa.
