1、无理数指数幂及其运算性质1.1.无理数指数幂无理数指数幂无理数指数幂无理数指数幂a a(a0,(a0,是无理数是无理数)是是一个确定的实数一个确定的实数.【思考思考】一定是实数吗一定是实数吗?提示提示:根据无理数指数幂的定义根据无理数指数幂的定义,是实数是实数.22222.2.实数指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质(a0,b0,r,sR)(a0,b0,r,sR)(1)a(1)ar ra as s=a=ar+sr+s.(2)(a.(2)(ar r)s s=a=arsrs.(3)(ab).(3)(ab)r r=a=ar rb br r.【思考思考】(1)(1)实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的
2、运算性质实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同吗相同吗?提示提示:相同相同.(2)(2)指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的?提示提示:【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)无理数指数幂有的不是实数无理数指数幂有的不是实数.()(2)(2)指数幂指数幂a ax x(a0)(a0)中的中的x x只能是有理数只能是有理数.()(3)(3)()22(3)9.提示提示:(1)(1).无理数指数幂对应一个确定的实数无理数指数幂对应一个确定的实数.(2)(2).指数幂指数幂a ax
3、 x(a0)(a0)中的中的x x是任意实数是任意实数.(3).(3).22222(3)339.2.2.【解析解析】答案答案:36a a_.36362a aaa.2a3.3.【解析解析】答案答案:3n()_.m333n()nm.m33nm类型一无理数指数幂的运算类型一无理数指数幂的运算【典例典例】计算下列各式计算下列各式2633223 2a a1(32).2.a（）（）【思维思维引引】(1)(1)将将 化为指数式化为指数式,再用无理数指数再用无理数指数幂的运算性质运算幂的运算性质运算.(2)(2)利用无理数同底数幂的运算性质计算利用无理数同底数幂的运算性质计算.322【解析解析】(1)(1)原
4、式原式=(2)(2)原式原式=223 2623(32)322 916.2636aa.【内化内化悟悟】无理数指数幂、有理数指数幂在运算时有什么异同无理数指数幂、有理数指数幂在运算时有什么异同?提示提示:运算性质是一样的运算性质是一样的;不同的是一个是进行无理数不同的是一个是进行无理数指数运算指数运算,一个是进行有理数指数运算一个是进行有理数指数运算.【类题类题通通】关于无理数指数幂的运算关于无理数指数幂的运算(1)(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算.(2)(2)若式子中含有根式若式子中含有根式,则先化为指数式再进行运算则先化为指数式再进行运
5、算,一一般指数中的根式可以保留般指数中的根式可以保留.【习练习练破破】计算下列各式计算下列各式:32 3123631().2(m m).【解析解析】(1)(1)原式原式=(2)(2)原式原式=3332 32 3322()().121223 66(m)(m)m.【加练加练固固】计算计算 【解析解析】原式原式=a=a0 0=1.=1.566a a a.566a类型二指数运算在实际问题中的应用类型二指数运算在实际问题中的应用【典例典例】某种细菌在培养过程中某种细菌在培养过程中,每每15 min15 min分裂一次分裂一次(由由1 1个分裂成个分裂成2 2个个),),这种细菌由这种细菌由1 1个分裂成
6、个分裂成4 0964 096个需经个需经过过世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.12 hA.12 hB.4 hB.4 hC.3 hC.3 hD.2 hD.2 h【思维思维引引】先求分裂次数先求分裂次数,再求分裂时间再求分裂时间.【解析解析】选选C.C.设这种细菌由设这种细菌由1 1个分裂成个分裂成4 0964 096个需经过个需经过x x次分裂次分裂,则则2 2x x=4 096,=4 096,解得解得x=12,x=12,所以所以 =3 h.=3 h.12 1560【内化内化悟悟】细菌分裂时细菌分裂时,每次分裂后的细菌数是分裂前的多少倍每次分裂后的细菌数是分裂前的多少倍?提示提示:分裂后的细菌
7、数是分裂前的分裂后的细菌数是分裂前的2 2倍倍.【类题类题通通】指数运算在实际问题中的应用指数运算在实际问题中的应用在成倍数递增在成倍数递增(递减递减)、固定增长率等问题中、固定增长率等问题中,常常用到常常用到指数运算指数运算,用来计算增减的次数、增减前后的数量等用来计算增减的次数、增减前后的数量等.【习练习练破破】一张报纸一张报纸,其厚度为其厚度为a,a,现将报纸对折现将报纸对折(即沿对边中点即沿对边中点连线折叠连线折叠)7)7次次,这时这时,报纸的厚度为报纸的厚度为()A.8aA.8aB.64aB.64aC.128aC.128aD.256aD.256a【解析解析】选选C.C.一张报纸一张报
8、纸,其厚度为其厚度为a,a,现将报纸对折现将报纸对折(即即沿对边中点连线折叠沿对边中点连线折叠)7)7次次,这时报纸的厚度为这时报纸的厚度为a a2 27 7=128a.=128a.【加练加练固固】某林场计划第一年造林某林场计划第一年造林10 00010 000亩亩,以后每年比前以后每年比前一年多造林一年多造林20%,20%,则第四年造林则第四年造林()A.14 400A.14 400亩亩B.172 800B.172 800亩亩C.20 736C.20 736亩亩D.17 280D.17 280亩亩【解析解析】选选D.D.设第设第x x年造林亩数为年造林亩数为y,y,其中其中xNxN*,则则y
9、=10 000y=10 000(1+20%)(1+20%)x-1x-1,所以所以x=4x=4时时,y=17 280(,y=17 280(亩亩).).类型三指数幂运算的综合应用类型三指数幂运算的综合应用角度角度1 1已知某因式的值求值已知某因式的值求值【典例典例】若若a a2x2x=-1,=-1,则则 等于等于()A.2 -1A.2 -1B.2-2 B.2-2 C.2 +1C.2 +1D.+1D.+1222223x3xxxaaaa【思维思维引引】将要求的式子变形将要求的式子变形,化为已知的因式后代化为已知的因式后代入入.【解析解析】选选A.A.3x3xxx2x2xxxxxaa(aa)(a1 a)
10、aaaa 2x2x11a12112 21.a21 【素养素养探探】在指数式的化简求值中在指数式的化简求值中,经常利用核心素养中的数学经常利用核心素养中的数学运算运算,通过对式子的等价变形通过对式子的等价变形,体现了良好的先化简后体现了良好的先化简后求值的数学运算习惯求值的数学运算习惯.将本例中的式子改为将本例中的式子改为 ,试求值试求值.3x3xxxaaaa【解析解析】xx2x2x3x3x2x2xxxxxaaa1 aaaaa1aaaa12112 21.21 角度角度2 2完全平方公式在指数运算中的应用完全平方公式在指数运算中的应用【典例典例】已知已知 的值的值.世纪金世纪金榜导学号榜导学号【思
11、维思维引引】将已知的式子反复利用完全平方公式将已知的式子反复利用完全平方公式,将将x x的指数升高的指数升高,再代入求值再代入求值.1122221xx6xx5xx5，求【解析解析】由已知可得由已知可得:x+x:x+x-1-1=-2=()=-2=()2 2-2=3.-2=3.x x2 2+x+x-2-2=(x+x=(x+x-1-1)2 2-2=3-2=32 2-2=7.-2=7.原式原式=11222(xx)5761.352【类题类题通通】解决条件求值问题的步骤解决条件求值问题的步骤【习练习练破破】1.1.已知已知a+aa+a-1-1=7(a1),=7(a1),求求 【解析解析】a+aa+a-1-
12、1=因为因为a1,a1,所以所以 1122aa.11111122222222(aa)2aa(aa)27.1122aa5.2.2.已知已知3a+2b=1,3a+2b=1,则则 =_.=_.aba9 33【解析解析】因为因为3a+2b=1,3a+2b=1,所以所以 所以所以 答案答案:a3ab2ab2a ba b22aa29 33333,33 31ab.22aba9 33.33【加练加练固固】1.1.若若a1,b0,aa1,b0,ab b+a+a-b-b=2 ,=2 ,则则a ab b-a-a-b-b=_.=_.2【解析解析】因为因为a1,b0,a1,b0,所以所以a ab baa-b-b,(a,
13、(ab b-a-a-b-b)2 2=(a=(ab b+a+a-b-b)2 2-4-4=(2 )=(2 )2 2-4=4,-4=4,所以所以a ab b-a-a-b-b=2.=2.答案答案:2 222.2.已知已知x+xx+x-1-1=4(0 x1),=4(0 x1),求求221122xx.xx【解析解析】因为因为x x2 2-x-x-2-2=(x+x=(x+x-1-1)(x-x)(x-x-1-1)=4(x-x)=4(x-x-1-1),(x-x),(x-x-1-1)2 2=(x+x=(x+x-1-1)2 2-4=12,-4=12,又因为又因为0 x1,0 x1,所以所以x-xx-x-1-1=-2 ,=-2 ,所以所以x x2 2-x-x-2-2=-8 ,=-8 ,又因为又因为 =x+x=x+x-1-1+2=6,+2=6,3311222(xx)所以所以 所以所以 1122xx6，221122xx4 2.xx
