1、n次方根与分数指数幂1.n1.n次方根次方根如果如果x xn n=a,=a,那么那么x x叫叫a a的的n n次方根次方根,其中其中n1,nNn1,nN*.可用下可用下表表示表表示:n n为奇数为奇数n n为偶数为偶数aRaRa0a0a=0a=0a0a1,nNn1,nN*时时,na_a;a,n_|a|,n.为奇数，为偶数nn(a)nna【思考思考】中的字母中的字母a a的取值范围是否一样的取值范围是否一样?提示提示:取值范围不同取值范围不同.式子式子 中隐含中隐含a a是有意义的是有意义的,若若n n为偶数为偶数,则则a0,a0,若若n n为奇数为奇数,aR;,aR;式子式子 中中,aR.,a
2、R.nnnn(a)a与nn(a)nna3.3.分数指数幂的意义分数指数幂的意义(a0a0,m,nN,m,nN*,且且n1)n1)正分数指数幂正分数指数幂 负分数指数幂负分数指数幂 0 0的分数指数的分数指数幂幂0 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0,00,0的负分数指数幂没的负分数指数幂没有意义有意义mmnnaamnmmnn11aaa【思考思考】为什么分数指数幂的底数规定为什么分数指数幂的底数规定a0?a0?提示提示:(1)(1)当当a0a0,b0,r,sQ)(a0,b0,r,sQ)(1)a(1)ar ra as s=a=ar+sr+s.(2)(a(2)(ar r)s s=a=arsrs
3、.(3)(ab)(3)(ab)r r=a=ar rb br r.【思考思考】同底数幂相除同底数幂相除a ar ra as s,同次的指数相除同次的指数相除 分别等于分别等于什么什么?提示提示:(1)a(1)ar ra as s=a=ar-sr-s;(2);(2)rrabrrraa().bb【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)()(2)(2)对于对于aR,(aaR,(a2 2+a+1)+a+1)0 0=1=1成立成立.()()236122.（）（）1333a aa.（）提示提示:(1)(1).(2).(2).因为因为a a2 2+a+10,+
4、a+10,所以所以(a(a2 2+a+1)+a+1)0 0=1=1成立成立.(3)(3).23622.（）110333a a=a.2.2.化简化简 =_.=_.【解析解析】原式原式=答案答案:x x3 3y y2 211632x y（）11663232(x)yx y.（）3.3.若若x0,x0,则则 【解析解析】因为因为x0,x1)1.n(n1)次方根的个数及符号的确定次方根的个数及符号的确定(1)(1)方根个数方根个数:正数的偶次方根有两个且互为相反数正数的偶次方根有两个且互为相反数,任任意实数的奇次方根只有一个意实数的奇次方根只有一个.(2)(2)符号符号:根式根式 的符号由根指数的符号由
5、根指数n n的奇偶性及被开方的奇偶性及被开方数数a a的符号共同确定的符号共同确定:na当当n n为偶数时为偶数时,为非负实数为非负实数.当当n n为奇数时为奇数时,的符号与的符号与a a的符号一致的符号一致.nana2.2.根式化简与求值的思路及注意点根式化简与求值的思路及注意点(1)(1)思路思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然然后运用根式的性质进行化简后运用根式的性质进行化简.(2)(2)注意点注意点:正确区分正确区分 两式两式.运算时注意变式、整体代换运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的
6、运用完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论必要时要进行讨论.nnnn(a)a与【习练习练破破】1.1.已知已知aR,nNaR,nN*,给出下列给出下列4 4个式子个式子:其中无意义的有其中无意义的有 ()A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.0D.0个个2n 12n432n234222a；，【解析解析】选选A.A.中中-2-22n2n0,0,0,有意义有意义,中根指数为中根指数为3,3,有意义有意义.42n22.2.若若 则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为_._.【解析解析】1-2a.1-2a.所以所以|2a-1|=1-2a,|2a-1|=1-2a,故故2a-10
7、,2a-10,233(2a 1)(12a)，2(2a 1)|2a 1|，33(12a)所以所以a .a .答案答案:1(2，12类型二根式与分数指数幂的互化类型二根式与分数指数幂的互化【典例典例】1.1.根式根式 (式中式中a0)a0)的分数指数幂形式为的分数指数幂形式为_._.2.2.式子式子 化为分数指数幂的形式为化为分数指数幂的形式为_._.11aa33abab【思维思维引引】1.1.由里向外逐层化指数由里向外逐层化指数,再利用运算性质再利用运算性质运算运算.2.2.先将根式化为指数式先将根式化为指数式,再利用同底数幂相除运算再利用同底数幂相除运算.【解析解析】1.1.答案答案:2.2.
8、答案答案:133122411a aaa.aa153321213322aba ba b.aba b512a b34a【内化内化悟悟】1.1.分数指数化根式时需要注意什么分数指数化根式时需要注意什么?提示提示:注意分数指数的分母为根指数注意分数指数的分母为根指数,分子为被开方数分子为被开方数的指数的指数,二者不能颠倒二者不能颠倒.2.2.对于多层根号的根式对于多层根号的根式,应该以什么样的顺序变形应该以什么样的顺序变形?提示提示:应按照从里往外的顺序变形应按照从里往外的顺序变形.【类题类题通通】根式与分数指数幂互化的方法及思路根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)(1)方法方法:根指数根指数 分数
9、指数的分母分数指数的分母,被开方数被开方数(式式)的指数的指数 分数指数的分子分数指数的分子.(2)(2)思路思路:在具体计算中在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数通常会把根式转化成分数指数幂的形式幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题然后利用有理数指数幂的运算性质解题.提醒提醒:如果根式中含有多重根号如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指要由里向外用分数指数幂写出数幂写出.【习练习练破破】用分数指数幂表示用分数指数幂表示 (a0)(a0)为为()3212aaa516611312Aa BaCa Da【解析解析】选选B.B.2132361122aaa.aaa【加练加练固固】1.1.的分数指数幂表示为的分数指数幂表示为()【解析解析】选选C.C.3aaa33324Aa Ba Ca D都不对3133332224aaaaaa aaa.2.2.设设a0,a0,将将 表示成分数指数幂表示成分数指数幂,其结果是其结果是 ()【解析解析】选选C.C.232aaa57136622Aa Ba Ca Da1 17222 3632aaa.aa
