1、-1-8.6.1直线与直线垂直直线与直线垂直课前篇自主预习异面直线所成的角1.思考(1)平面内两条相交直线的夹角是如何定义的?提示平面内两条直线相交所成的4个角中,不大于90的角称为这两条直线所成的角(或夹角).(2)两条相交直线的夹角有什么意义?提示夹角刻画了平面内一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.(3)平面几何中如何定义两条直线垂直?提示如果两条直线相交所成的角为90,就称这两条直线垂直.课前篇自主预习(4)空间中两条直线垂直,一定要相交吗?提示不一定.如果两条异面直线所成的角是直角,就称这两条直线垂直.(5)空间两条直线所成角的范围是什么?空间两条异面直线所成角的范围呢?提示空间两条直
2、线所成角的范围是090,两条异面直线所成角的范围是090.课前篇自主预习2.填空两条异面直线所成的角(或夹角)课前篇自主预习3.做一做在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BAE=25,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为.答案:65解析:B1C1BC,AEB为异面直线AE与B1C1所成的角.BAE=25,AEB=65.课堂篇探究学习探究随堂演练求异面直线所成的角求异面直线所成的角例例题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.课堂篇探究学习探究
3、随堂演练解法一如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,则OGB1D,EFA1C1.GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.GA1=GC1,O为A1C1的中点,GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.课堂篇探究学习探究随堂演练解法二如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HEDB1,且HE=DB1.于是HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角.HF2=EF2+HE2,HEF=90,异面直线DB1与EF所成的角为90.图 课堂篇探究学习探究随堂演练解法三如图,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1QEF.于是DB1
4、Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90.课堂篇探究学习探究随堂演练反思感悟反思感悟 求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一,而求它的常用方法是空间问题平面化.(1)具体地,求两条异面直线所成角的一般步骤是:构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;证明:证明中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;计算:通过解三角形等知识,求出中所构造的角的大小;结论:假如所构造的角的大小为,若090,则即为所求异面直线所成角的大小;若90180,则180-即为所求.课堂篇探
5、究学习探究随堂演练(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:直接平移法(可利用图中已有的平行线);中位线平移法;补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).课堂篇探究学习探究随堂演练延伸探究延伸探究若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢?解:如图,连接A1C1,A1D.在A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EFA1C1.所以A1C1D为直线DC1与EF所成的角.在A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以A1C1D=60,所以直线DC1与EF所成的角等于60.课堂篇探究学习探究随堂演练1.经过空间一点P作与直线a成60角的直线,
6、这样的直线有()A.0条B.1条C.有限条D.无数条答案:D解析:这些直线可以是以P为顶点,以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线,有无数条直线.课堂篇探究学习探究随堂演练2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面答案:D解析:画出图形,得到结论.如图,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.课堂篇探究学习探究随堂演练3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为()答案:A解析:连接AD1,CD1,BC1AD1,D1AC即为异面直线AC与BC1所成角.又AD1=AC=CD1,
